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057. Décomposez en éléments simples une fraction rationnelle (niveau 1/5)

Vous voulez décomposer $\dfrac{x^2+1}{x-2}$ en éléments simples, pas à pas, acquérir les bonnes connaissances ? Cela se passe ici.

Le bon changement de variable

Posez $y=x-2$ pour simplifier le dénominateur. Puis vous calculez le numérateur en remplaçant $x$ par $2+y$.

\begin{aligned} x^2+1&=(2+y)^2+1\\ &=4+y^2+4y+1 \\ &=y^2+4y+5.\end{aligned}

Et la conclusion arrive !

\begin{aligned} \dfrac{x^2+1}{x-2}&=\dfrac{y^2+4y+5}{y}\\ &=y+4+\dfrac{5}{y}\\ &= x+2+\dfrac{5}{x-2}.\end{aligned}

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