Vous êtes en classes préparatoires et vous souhaitez décomposer (2x^2-x+1)/((x-1)^3(x+1)^3) en éléments simples ? Voilà comment y parvenir pas à pas.

La forme du dénominateur

Pour décomposer $\dfrac{2x^2-x+1}{(x-1)^3(x+1)^3}$ vous allez vous occuper, disons en premier, de $(x-1)^3$ au dénominateur. Pour effectuer cela, vous posez $y=x-1$.

Vous êtes ramené à décomposer $\dfrac{2x^2-x+1}{y^3(x+1)^3}$.
Vous cherchez à traiter la fraction $\dfrac{2x^2-x+1}{(x+1)^3}$ qui ne comporte pas le $y^3$.

Comme $y+1=x$, vous remplacez les $x$ et vous avez :

$\begin{align*}2x^2-x+1 &=2(y+1)^2-y-1+1 \\ &=2(y^2+2y+1)-y\\&=2y^2+3y+2. \end{align*}$

$\begin{align*}(x+1)^3 &=(y+2)^3 \\ &=y^3+6y^2+12y+8. \end{align*}$

Vous obtenez $\dfrac{2x^2-x+1}{(x+1)^3} =\dfrac{2y^2+3y+2}{y^3+6y^2+12y+8}. $ Au secours ? Pas vraiment… si vous avez le bon outil qui s’appelle la division selon les puissances croissantes.

Vous voulez un reste qui soit un multiple de $y^3$ vous ajoutez un cran de plus.


D’après le calcul ci-dessus, vous avez :

$2y^2+3y+2 = \left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}y^2\right)\times (y^3+6y^2+12y+8)+y^3\left(-\dfrac{1}{16}y^2-\dfrac{3}{8}y-1\right)$

$2y^2+3y+2 = \left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}y^2\right)\times (y+2)^3+y^3\left(-\dfrac{1}{16}y^2-\dfrac{3}{8}y-1\right)$

$\dfrac{2y^2+3y+2}{y^3(y+2)^3} = \dfrac{1}{4y^3}+\dfrac{1}{16y}+\dfrac{-\dfrac{1}{16}y^2-\dfrac{3}{8}y-1}{(y+2)^3}$

$\boxed{\dfrac{2x^2-x+1}{(x-1)^3(x+1)^3} = \dfrac{1}{4(x-1)^3}+\dfrac{1}{16(x-1)}+\dfrac{-y^2-6y-16}{16(y+2)^3}}$

Et la décomposition finale !

Il vous reste à décomposer la fraction $\dfrac{y^2+6y+16}{(y+2)^3}$. Vous posez $z=y+2 = (x-1)+2 = x+1$.

$\begin{align*}y^2+6y+16 &=(z-2)^2+6(z-2)+16 \\ &=z^2-4z+4+6z-12+16\\&=z^2+2z+8. \end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{y^2+6y+16}{(y+2)^3} &= \dfrac{z^2+2z+8}{z^3}\\&= \dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{8}{z^3}\\&=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{(x+1)^2}+\dfrac{8}{(x+1)^3}.\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{2x^2-x+1}{(x-1)^3(x+1)^3} &= \dfrac{1}{4(x-1)^3}+\dfrac{1}{16(x-1)}-\dfrac{1}{16}\times \dfrac{y^2+6y+16}{(y+2)^3}\\&=\dfrac{1}{4(x-1)^3}+\dfrac{1}{16(x-1)}-\dfrac{1}{16}\times \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{(x+1)^2}+\dfrac{8}{(x+1)^3}\right)\end{align*}$

$\boxed{\dfrac{2x^2-x+1}{(x-1)^3(x+1)^3} =\dfrac{1}{4(x-1)^3}+\dfrac{1}{16(x-1)}- \dfrac{1}{16(x+1)}-\dfrac{1}{8(x+1)^2}-\dfrac{1}{2(x+1)^3}.}$

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