Pour comprendre le principe général et trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F(X)=\dfrac{X^4+1}{X^2(X^2+X+1)^2}$, vous pouvez utiliser avec le théorème de Bezout et la division euclidienne comme outils.
Le théorème de Bezout va vous permettre de séparer toutes les parties polaires et la division euclidienne va vous permettre de décomposer en éléments simples les dénominateurs irréductibles restants, c’est-à-dire toutes les fractions rationnelles de la forme $\dfrac{A(X)}{R(X)^n}$ où $R$ est un polynôme réel irréductible (de degré 1 ou de degré 2 avec un discriminant strictement négatif).
Vous êtes prêts ? C’est parti avec la première étape.
Séparation des parties polaires avec le théorème de Bezout
Examinez le dénominateur de la fraction rationnelle $F$. Elle est composée de deux polynômes irréductibles, le premier est $P_1(X)=X$ et le second est $P_2(X) = X^2+X+1.$ Comme ces deux polynômes sont premiers entre eux, il en résulte que $P_1^2$ et $P_2^2$ le sont aussi.
Il existe donc d’après le théorème de Bezout deux polynômes réels $A(X)$ et $B(X)$ tels que $1 = A(X)P_1^2+B(X)P_2^2.$ Divisez le tout par $P_1^2P_2^2$ et vous obtenez $\dfrac{1}{X^2(X^2+X+1)^2} = \dfrac{B(X)}{X^2}+\dfrac{A(X)}{(X^2+X+1)^2}$, puis multipliez par le numérateur de la fraction rationnelle $F$, pour obtenir la séparation voulue des parties polaires :
$F(X)= \dfrac{(X^4+1)B(X)}{X^2}+{(X^4+1)A(X)\over (X^2+X+1)^2}.$
Quels outils utiliser pour trouver les polynômes intervenant dans le théorème de Bezout ?
L’idée majeure c’est que, les polynômes $P_1^2$ et $P_2^2$ s’écrivent comme une combinaison des polynômes $Q_1=P_1^2$ et $Q_2=P_2^2$ :
\begin{aligned}
X^2 &= 1Q_1+0Q_2\\
(X^2+X+1)^2 &= 0Q_1+1Q_2
\end{aligned}
Vous allez diminuer le degré des polynômes du membre de gauche jusqu’à obtenir le polynôme constant $1$.
\begin{aligned}
X^2 &= 1Q_1+0Q_2\\
X^4+2X^3+3X^2+2X+1 &= 0Q_1+1Q_2
\end{aligned}
Vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\longleftarrow L_2-X^2L_1.$
\begin{aligned}
X^2 &= 1Q_1+0Q_2\\
2X^3+3X^2+2X+1 &= -X^2Q_1+1Q_2
\end{aligned}
Puis vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\longleftarrow L_2-2XL_1.$
\begin{aligned}
X^2 &= 1Q_1+0Q_2\\
3X^2+2X+1 &= (-X^2-2X)Q_1+1Q_2
\end{aligned}
Puis vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\longleftarrow L_2-3L_1.$
\begin{aligned}
X^2 &= 1Q_1+0Q_2\\
2X+1 &= (-X^2-2X-3)Q_1+1Q_2
\end{aligned}
Puis vous effectuez l’opération élémentaire $L_1\longleftarrow 2L_1.$
\begin{aligned}
2X^2 &= 2Q_1+0Q_2\\
2X+1 &= (-X^2-2X-3)Q_1+1Q_2
\end{aligned}
Puis vous effectuez l’opération élémentaire $L_1\longleftarrow L_1-XL_2.$
\begin{aligned}
-X &= (X^3+2X^2+3X+2)Q_1-XQ_2\\
2X+1 &= (-X^2-2X-3)Q_1+1Q_2
\end{aligned}
Puis vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\longleftarrow L_2+2L_1.$
Et enfin vous trouvez la relation fondamentale de Bezout :
$1 = (2X^3+3X^2+4X+1)Q_1+(1-2X)Q_2$, soit $1 = (2X^3+3X^2+4X+1)X^2+(1-2X)(X^2+X+1)^2.$
Divisez le tout dans $\R(X)$ par le produit $X^2(X^2+X+1)^2$ pour obtenir :
${1\over X^2(X^2+X+1)^2} ={ 1-2X \over X^2 }+{2X^3+3X^2+4X+1 \over (X^2+X+1)^2} $
et enfin, après multiplication par $X^4+1$, vous obtenez la séparation des parties polaires :
$\boxed{{X^4 +1 \over X^2(X^2+X+1^2)} = {(1-2X)(X^4+1)\over X^2} + {(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1) \over (X^2+X+1)^2}}.$
La première partie est terminée. Maintenant, passez au traitement de chaque partie polaire.
Traitez la partie polaire ${(1-2X)(X^4+1)\over X^2}$
Il suffit de développer le polynôme $(1-2X)(X^4+1)$ puis de diviser chaque terme par $X^2$.
\begin{aligned}
(1-2X)(X^4+1) &= X^4+1-2X^5-2X\\
&=-2X^5+X^4-2X+1
\end{aligned}
$\boxed{{(1-2X)(X^4+1)\over X^2} = -2X^3+X^2-{2 \over X} + {1\over X^2}}.$
Traitez la partie polaire ${(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1) \over (X^2+X+1)^2}$
D’abord développez le polynôme $(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1)$ puis effectuez deux divisions euclidiennes successives par $X^2+X+1.$
\begin{aligned}
(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1) &= 2X^7+3X^6+4X^5+X^4+2X^3+3X^2+4X+1.
\end{aligned}
Première division euclidienne :
\begin{array}{rrrrrrrr|llllll}
2X^7 & +3X^6 & +4X^5 & +X^4 & +2X^3 & +3X^2 & +4X & +1 & X^2 & +X & +1\\
2X^7 & +2X^6 & +2X^5 & & & & & & 2X^5&+X^4&+X^3&-X^2&+2X&+2\\ \hline
& X^6 & +2X^5 & +X^4 & +2X^3 &+3X^2 & +4X &+1 \\
& X^6 & +X^5 & +X^4 \\ \hline
& & X^5 & & +2X^3 &+3X^2 & +4X &+1 \\
& & X^5 & +X^4 & +X^3 \\ \hline
& & & -X^4 & +X^3 &+3X^2 & +4X &+1 \\
& & & -X^4 & -X^3 &-X^2 \\ \hline
& & & & +2X^3 &+4X^2 & +4X &+1 \\
& & & & 2X^3 & +2X^2 & +2X \\ \hline
& & & & &+2X^2 & +2X &+1 \\
& & & & & 2X^2 & +2X &+2 \\ \hline
& & & & & & & -1
\end{array}Elle montre que :
${(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1) \over X^2+X+1 } = 2X^5+X^4+X^3-X^2+2X+2-{1 \over X^2+X+1}.$
Deuxième division euclidienne :
\begin{array}{rrrrrr|lll}
2X^5&+X^4&+X^3&-X^2&+2X&+2 & X^2 & +X & +1 \\
2X^5&+2X^4&+2X^3& & & &2X^3-X^2 \\ \hline
&-X^4&-X^3&-X^2&+2X&+2 \\
&-X^4&-X^3&-X^2& & \\ \hline
& & & &2X&+2
\end{array}Elle montre que :
$\boxed{{(X^4+1)(2X^3+3X^2+4X+1) \over (X^2+X+1)^2 } = 2X^3-X^2 + {2X+2 \over X^2+X+1}-{1 \over (X^2+X+1)^2}}.$
Concluez avec la décomposition finale dans $\R(X)$
En additionnant les parties polaires, vous constatez que la partie entière est nulle : $(-2X^3+X^2) + (2X^3-X^2)=0$, ce que vous pouviez prédire, puisque le degré du numérateur de $F$ est strictement inférieur au degré de son dénominateur. Finalement :
$\boxed{F(X)={X^4 +1 \over X^2(X^2+X+1)^2} = -{2 \over X} + {1\over X^2} + {2X+2 \over X^2+X+1}-{1 \over (X^2+X+1)^2} }.$
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