Soient deux réels $x$ et $y$ tels que $x+y=2$ et $x^2+y^2=2\comma$ il s’agit de déterminer la valeur du produit $xy.$
Exprimez $y$ puis $xy$ en fonction de $x$
Comme $x+y=2\comma$ il vient $y=2-x.$ Le produit $xy$ se calcule comme suit :
\begin{align*}
x y &= x(2-x)\\
&= -x^2+2x.
\end{align*}
Utilisez le fait que $x^2+y^2=2$
Vous avez $x^2 = 2-y^2\comma$ ce qui vous permet de poursuivre le calcul.
\begin{align*}
x y &= -(2-y^2)+2x\\
&= y^2+2x-2\\
&= (2-x)^2+2x-2\\
&=(x^2-4x+4)+2x-2\\
&= x^2-2x+2\\
&=-(-x^2+2x)+2\\
&=-xy+2.
\end{align*}
Vous déduisez de ce calcul que $2xy =2\comma$ et par suite $xy=1.$