Dans le plan complexe, soient $A$ le point d’affixe $1+2i$ et $B$ le point d’affixe $-1-i.$ Vous souhaitez déterminer une équation de la droite $(AB)$ avec des nombres complexes.
Raisonnez par équivalences
Pour tout point $M$ d’affixe $z\comma$ vous avez :
\begin{align*}
M\in(AB)&\iff (\exists t\in \R, \vv{AM} = t \vv{AB})\\
&\iff (\exists t\in \R, z-1-2i = t (-2-3i)\ )\\
&\iff \frac{z-1-2i}{-2-3i} \in \R\\
&\iff \frac{(z-1-2i)(-2+3i)}{(-2-3i)(-2+3i)}\in\R\\
&\iff \frac{(z-1-2i)(-2+3i)}{\vert -2-3i\vert^2}\in\R\\
&\iff (z-1-2i)(-2+3i)\in \R\\
&\iff (-2+3i)z + (-1-2i)(-2+3i)\in\R\\
&\iff (-2+3i)z + 2-3i+4i+6\in\R\\
&\iff (-2+3i)z + 8+i\in\R\\
&\iff (-2+3i)z + 8+i = (-2-3i)\overline{z} + 8-i\\
&\iff (-2+3i)z+(2+3i)\overline{z}+2i=0.
\end{align*}
Concluez
La droite $(AB)$ admet pour équation dans le plan complexe :
\boxed{(-2+3i)z+(2+3i)\overline{z}+2i=0.}