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133. Limite d’une suite géométrique dont la raison a une valeur absolue strictement inférieure à 1

Pourquoi la limite d'une telle suite est-elle égale à $0$ ? Il existe un moyen d'y parvenir avec les outils du lycée. Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$ Etablissez la monotonie de…

122. Racine de 2 est irrationnel

Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l'équation $x^2=2.$ Vous allez démontrer qu'il n'existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$ Un tel résultat constitue l'irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l'ensemble $\Q$…

091. Comment calculer la somme des nombres impairs compris entre 12 et 120 ?

Il s'agit de calculer la somme $13+15+...+119$ en progression arithmétique. Utilisez le nombre du milieu Le nombre du milieu est égal à $\dfrac{13+119}{2} = \dfrac{12+120}{2}=66$, c'est-à-dire que la somme peut être partagée en deux de la façon suivante autour de…

070. Comment simplifier une expression ? (1/2)

Ce qui motive cet article, c'est la simplification de la fraction $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^3+1}{4\alpha^2-1}$, sachant que $\alpha$ est un réel vérifiant la relation $4\alpha^3=3\alpha + 8.$ Le plan d'action Il faut faire disparaître le dénominateur présent dans $f(\alpha)$, ce qui motive le…

045. La somme infinie $\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}+\cdots$ vaut $\dfrac{\pi^2}{6}.$

Il s'agit d'une adaptation d'un article dû à Matsuoka en 1961. Gardez en tête les propriétés vérifiées par les fonctions sinus et cosinus, valables pour tout nombre réel \(t\).\(\begin{align*}&\sin'(t)=\cos t\\&\cos'(t)=-\sin t\\&\cos^2 t + \sin^2 t =1.\end{align*}\) Les intégrales de Wallis…

036. Citez une solution de l’équation $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=4.$

Cette équation, bien que d'apparence simple, où on cherche $a$, $b$ et $c$ comme étant des entiers positifs n'admet pas de solution simple.On peut vérifier que :$a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999$$b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579$$c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036$ constitue une solution et qu'il n'en a pas d'autre plus petite. Presque 80…

035. Calculez la valeur de $\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) + \tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right).$

Posez \(a=\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right)\) et \(b=\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right)\).a et b désignent deux réels - correspondant à des angles aigus - tels que \(\sin a = \frac{3}{5}\) et \(\tan b = \frac{1}{7}\). Comment attraper la valeur de \(a+b\) ? Il serait bon dans…