Tout sous-espace $E$ de $\F^n$ est isomorphe à $\F^r$ où $r\leq n$
Reprenez l’espace vectoriel $E$ de l'article 114 inclus dans $\F^n$ et notez $\{i_1, \dots, i_r\}$ l’ensemble des coordonnées pivots de $E$ dans l’ordre croissant $1\leq i_1 < \dots < i_r \leq n.$
Vous avez vu précédemment que les vecteurs pivots vérifient : $\forall j\in\llbracket 1, r\rrbracket, \exists ! x_{i_j}\in E$ tel que $L_{i_j}(x_{i_j}) = 1$ et $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x_{i_j})=0.$
Considérez l’application liénaire $\varphi$ suivante qui va de $\F^r$ dans $E$, définie par $\varphi(a_1, \dots, a_r) = \sum_{j=1}^r a_j x_{i_j}.$
Montrez que c’est une injection
Il suffit de calculer son noyau.
Soit $(a_1, \dots, a_r)\in\F^r$ tel que $\sum_{j=1}^r a_j x_{i_j} = 0.$
Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $r$. Appliquez à cette relation la forme linéaire $L_{i_k}$.
$\sum_{j=1}^r a_j L_{i_k} (x_{i_j}) = 0$. Par construction des vecteurs pivots, $a_k = 0$.
Le noyau de $\varphi$ étant réduit au singleton $\{0\}$, l’application linéaire $\varphi$ est injective.
Montrez que c’est une surjection
Soit $x$ un vecteur de $E$. Considérez le vecteur $y=x-\sum_{j=1}^r L_{i_j}(x) x_{i_j}.$
Remarquez déjà que pour tout $k$ compris entre $1$ et $r$, $L_{i_k}(y) = L_{i_k}(x) -\sum_{j=1}^r L_{i_j}(x) L_{i_k}(x_{i_j}) = L_{i_k}(x)-L_{i_k}(x)=0. $
Le vecteur $y$ s’annule sur toutes les coordonnées pivots de $E$. Si $y$ était non nul, il existerait un nombre $i$ compris entre $1$ et $n$ avec $i\notin\{i_1,\dots,i_r\}$ tel que $L_i(y)\neq 0.$ Posez $z = \dfrac{1}{L_i(y)} y$. Alors $z\in E$ et $L_i(z) = 1.$ Notez $\ell$ le plus petit des entiers $i \in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i_1,\dots,i_r\}.$ Alors $L_{\ell}(z)=1$ et $\forall i < \ell L_i(z)=0$ donc $\ell$ est une coordonnée pivot donc $\ell\in \{i_1,\dots,i_r\},$ contradiction. Donc $y=0$ et $\varphi$ est surjective.
Conclusion
L’application $\varphi$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels, ce qui prouve le résultat annoncé. Au passage vous retrouvez que $E$ est de dimension finie et que sa dimension est inférieure ou égale à celle de $\F^n.$
Prolongement
Grâce aux vecteurs pivots, il est possible de déterminer une base de tout sous-espace vectoriel $E$ de $\F^n,$ ce qui permet de caractériser complètement $E$ avec des équations et d’obtenir sa dimension.
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