Tout sous-espace $E$ de $\F^n$ est isomorphe à $\F^r$ où $r\leq n$

Reprenez l’espace vectoriel $E$ inclus dans $\F^n\comma$ étudié dans un autre article, et notez $\{i_1, \dots, i_r\}$ l’ensemble des coordonnées pivots de $E$ dans l’ordre croissant $1\leq i_1 \lt \dots \lt i_r \leq n.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 114.

Vous avez vu précédemment que les vecteurs pivots vérifient : $\forall j\in\llbracket 1, r\rrbracket, \exists ! x_{i_j}\in E$ tel que $L_{i_j}(x_{i_j}) = 1$ et $\forall k\in\llbracket 1, r\rrbracket, i_k \neq i_j \Longrightarrow L_{i_k}(x_{i_j})=0.$

Considérez l’application linéaire $\varphi$ suivante qui va de $\F^r$ dans $E\comma$ définie par $\varphi(a_1, \dots, a_r) = \sum_{j=1}^r a_j x_{i_j}.$

Montrez que c’est une injection

Il suffit de calculer son noyau.

Soit $(a_1, \dots, a_r)\in\F^r$ tel que $\sum_{j=1}^r a_j x_{i_j} = 0.$

Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $r.$ Appliquez à cette relation la forme linéaire $L_{i_k}.$

Il vient $\sum_{j=1}^r a_j L_{i_k} (x_{i_j}) = 0.$ Par construction des vecteurs pivots, $a_k = 0.$

Le noyau de $\varphi$ étant réduit au singleton $\{0\}\comma$ l’application linéaire $\varphi$ est injective.

Montrez que c’est une surjection

Soit $x$ un vecteur de $E.$ Considérez le vecteur $y=x-\sum_{j=1}^r L_{i_j}(x) x_{i_j}.$

Remarquez déjà que pour tout $k$ compris entre $1$ et $r\comma$ $L_{i_k}(y) = L_{i_k}(x) -\sum_{j=1}^r L_{i_j}(x) L_{i_k}(x_{i_j}) = L_{i_k}(x)-L_{i_k}(x)=0. $

Le vecteur $y$ s’annule sur toutes les coordonnées pivots de $E.$ Si $y$ était non nul, vous noteriez $\ell$ le plus petit entier $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$ tel que $L_i(y)\neq 0$ et vous poseriez $z = \dfrac{1}{L_{\ell}(y)} y.$ Alors $z\in E\comma$ $L_{\ell}(z)=1$ et $\forall i \lt \ell, L_i(z)=0\comma$ donc $\ell$ serait une coordonnée pivot de $E.$ Or $y$ s’annule sur toutes les coordonnées pivots, donc $L_{\ell}(y)=0\comma$ ce qui contredit la définition de $\ell.$ Donc $y=0$ et $\varphi$ est surjective.

Conclusion

L’application $\varphi$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels, ce qui prouve le résultat annoncé. Au passage vous retrouvez que $E$ est de dimension finie et que sa dimension est inférieure ou égale à celle de $\F^n.$

Prolongement

Grâce aux vecteurs pivots, il est possible de déterminer une base de tout sous-espace vectoriel $E$ de $\F^n\comma$ ce qui permet de caractériser complètement $E$ avec des équations et d’obtenir sa dimension.