109. Comment trouver un polynôme annulateur à coefficients entiers de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ?

Calculez les puissances successives de $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3}$ Pour calculer $\alpha^2$, vous utilisez l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$ $\alpha^2 = 5+2\sqrt{6}$ Pour calculer $\alpha^3$, vous développez le produit $\alpha\times \alpha^2.$ $\begin{align*}\alpha^3 &= 5\sqrt{2}+5\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6\sqrt{2}\\&=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}.\end{align*}$ Pour calculer $\alpha^4$, il est plus rapide d'élever au…

108. Dérivabilité au sens complexe et équations de Cauchy-Riemann

Soit $z$ un nombre complexe fixé et $f$ une fonction à valeurs complexes définie sur une partie ouverte $U\subset\C$ contenant $z.$ Le nombre $z$ est contenu dans une petite boule ouverte, elle-même contenue dans l'ouvert $U$. Cette notion est essentielle…

107. Calcul des cosinus de $2\pi / 7$, $4\pi / 7$ et $6\pi / 7$

Soit $\alpha = \dfrac{2\pi}{7}.$ Le but de l'article est de trouver une équation polynomiale qui caractérise $u=\cos \alpha$, $v=\cos (2\alpha)$ et $w=\cos (3\alpha).$ Factorisez le polynôme $X^7-1$ dans $\C[X]$ Les 7 nombres complexes $1$, $\e^{i\alpha}$, $\e^{-i\alpha}$, $\e^{2i\alpha}$, $\e^{-2i\alpha}$, $\e^{3i\alpha}$ et…

101. Décomposition en éléments simples dans $\R(X)$, niveau 1

Pour comprendre le principe général et trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F(X)=\dfrac{X^4+1}{X^2(X^2+X+1)^2}$, vous pouvez utiliser avec le théorème de Bezout et la division euclidienne comme outils. Le théorème de Bezout va vous permettre de séparer…