Le problème de l'intégrale impropre Remarquez déjà que, pour tout réel $x$, $\begin{align*}\sin x + \cos x &= \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x+ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) \\&=\sqrt{2} \left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{4}\right) \\&= \sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\end{align*}$ Il apparaît…
En savoir plus 098. Calcul de $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x$
Une base de Frobenius ? Une matrice de Frobenius ? Qu'est-ce ? Connaissez-vous la matrice compagnon d'un polynôme unitaire ? Pour $P_1(X) = X^3 + X^2 -3X +7$, vous associez l'équation de ses racines en isolant le terme de plus…
Soit $n$ un entier naturel non nul, $\K$ un corps et $A$ une matrice appartenant à $M_n(\K).$ $\K^n$ désigne l'ensemble des matrices colonnes à $n$ lignes à coefficients dans $\K.$ Il existe un polynôme unitaire de degré minimal, noté $\Pi\in\K[X]$…
En savoir plus 096. Comment calculer le polynôme minimal d’une matrice ?
Considérez la matrice $A = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\3 & 3 & -4\\3 & 1 & -2\end{pmatrix}.$ Notez $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice est $A$ dans la base canonique. Une idée, pour chercher à trouver une base…
En savoir plus 095. Comprendre la réduction de Frobenius et de Jordan pour un endomorphisme cyclique
Pourquoi calculer un déterminant ? Considérez la matrice $A=\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}.$ Pour parvenir à trouver une représentation plus simple de cette matrice, vous êtes plus ou moins amenés à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A$, c'est-à-dire tous les réels…
Le contexte Dans cet article, on se place dans un espace vectoriel $V$ réel ou complexe muni d'un produit scalaire, appellé aussi espace préhilbertien. Ce produit scalaire sera noté $(.|.)$, dans le cas complexe ce produit scalaire sera linéaire pour…
En savoir plus 093. Meilleure approximation et orthogonalité
Dans le cas réel ou complexe, avec la topologie, on y arrive Dans la littérature mathématique, on trouve beaucoup de preuves de ce résultat dans $\R$ ou $\C$, avec des arguments de densité. On commence par montrer que, si $A$…
En savoir plus 092. $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique
Il s'agit de calculer la somme $13+15+...+119$ en progression arithmétique. Utilisez le nombre du milieu Le nombre du milieu est égal à $\dfrac{13+119}{2} = \dfrac{12+120}{2}=66$, c'est-à-dire que la somme peut être partagée en deux de la façon suivante autour de…
En savoir plus 091. Comment calculer la somme des nombres impairs compris entre 12 et 120 ?
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$, muni d'un produit scalaire noté $(.|.)$. Par le procédé de Gram-Schmidt, vous savez qu'il existe une base de $E$, par exemple $(e_1,\dots,e_n)$ qui est orthonormale. Elle restera…
Tester l'indépendance linéaire de vecteurs sans résoudre de systèmes linéaires? Est-ce possible? Le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt permet de répondre par l'affirmative. Pour y voir plus clair, travaillez dans $\R^3$ muni du produit scalaire usuel noté $(.|.)$ et considérez les…
En savoir plus 089. Indépendance de vecteurs avec les projections orthogonales
