098. Calcul de $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x$

Le problème de l'intégrale impropre Remarquez déjà que, pour tout réel $x$, $\begin{align*}\sin x + \cos x &= \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x+ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) \\&=\sqrt{2} \left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{4}\right) \\&= \sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\end{align*}$ Il apparaît…

097. Comment obtenir la réduction de Frobenius d’une matrice ainsi qu’une base associée ?

17/07/2020 - 0059

Une base de Frobenius ? Une matrice de Frobenius ? Qu'est-ce ? Connaissez-vous la matrice compagnon d'un polynôme unitaire ? Pour $P_1(X) = X^3 + X^2 -3X +7$, vous associez l'équation de ses racines en isolant le terme de plus…

095. Comprendre la réduction de Frobenius et de Jordan pour un endomorphisme cyclique

17/07/2020 - 0059

Considérez la matrice $A = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\3 & 3 & -4\\3 & 1 & -2\end{pmatrix}.$ Notez $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice est $A$ dans la base canonique. Une idée, pour chercher à trouver une base…

094. Comment bien calculer un déterminant ?

17/07/2020 - 0057

Pourquoi calculer un déterminant ? Considérez la matrice $A=\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}.$ Pour parvenir à trouver une représentation plus simple de cette matrice, vous êtes plus ou moins amenés à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A$, c'est-à-dire tous les réels…

091. Comment calculer la somme des nombres impairs compris entre 12 et 120 ?

Il s'agit de calculer la somme $13+15+...+119$ en progression arithmétique. Utilisez le nombre du milieu Le nombre du milieu est égal à $\dfrac{13+119}{2} = \dfrac{12+120}{2}=66$, c'est-à-dire que la somme peut être partagée en deux de la façon suivante autour de…

090. Un vecteur est caractérisé par les valeurs des produits scalaires qu’il prend avec les vecteurs d’une base

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$, muni d'un produit scalaire noté $(.|.)$. Par le procédé de Gram-Schmidt, vous savez qu'il existe une base de $E$, par exemple $(e_1,\dots,e_n)$ qui est orthonormale. Elle restera…

089. Indépendance de vecteurs avec les projections orthogonales

Tester l'indépendance linéaire de vecteurs sans résoudre de systèmes linéaires? Est-ce possible? Le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt permet de répondre par l'affirmative. Pour y voir plus clair, travaillez dans $\R^3$ muni du produit scalaire usuel noté $(.|.)$ et considérez les…