Ecole AVOSZ

Ecole AVOSZ

Auteur : avosz

109. Comment trouver un polynôme annulateur à coefficients entiers de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ?

Rédigé par avoszon in Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Calculez les puissances successives de $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3}$ Pour calculer $\alpha^2$, vous utilisez l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$ $\alpha^2 = 5+2\sqrt{6}$ Pour calculer $\alpha^3$, vous développez le produit $\alpha\times \alpha^2.$ $\begin{align*}\alpha^3 &= 5\sqrt{2}+5\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6\sqrt{2}\\&=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}.\end{align*}$ Pour calculer $\alpha^4$, il est plus rapide d'élever au…

En savoir plus 109. Comment trouver un polynôme annulateur à coefficients entiers de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ?

108. Dérivabilité au sens complexe et équations de Cauchy-Riemann

Rédigé par avoszon in Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Prépa

Soit $z$ un nombre complexe fixé et $f$ une fonction à valeurs complexes définie sur une partie ouverte $U\subset\C$ contenant $z.$ Le nombre $z$ est contenu dans une petite boule ouverte, elle-même contenue dans l'ouvert $U$. Cette notion est essentielle…

En savoir plus 108. Dérivabilité au sens complexe et équations de Cauchy-Riemann

107. Calcul des cosinus de $2\pi / 7$, $4\pi / 7$ et $6\pi / 7$

Rédigé par avoszon in Niveau Capes, Niveau Prépa

Soit $\alpha = \dfrac{2\pi}{7}.$ Le but de l'article est de trouver une équation polynomiale qui caractérise $u=\cos \alpha$, $v=\cos (2\alpha)$ et $w=\cos (3\alpha).$ Factorisez le polynôme $X^7-1$ dans $\C[X]$ Les 7 nombres complexes $1$, $\e^{i\alpha}$, $\e^{-i\alpha}$, $\e^{2i\alpha}$, $\e^{-2i\alpha}$, $\e^{3i\alpha}$ et…

En savoir plus 107. Calcul des cosinus de $2\pi / 7$, $4\pi / 7$ et $6\pi / 7$

101. Décomposition en éléments simples dans $\R(X)$, niveau 1

Rédigé par avoszon in Niveau Agrégation, Niveau Prépa

Pour comprendre le principe général et trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F(X)=\dfrac{X^4+1}{X^2(X^2+X+1)^2}$, vous pouvez utiliser avec le théorème de Bezout et la division euclidienne comme outils. Le théorème de Bezout va vous permettre de séparer…

En savoir plus 101. Décomposition en éléments simples dans $\R(X)$, niveau 1