Considérez la suite de polynômes définie par $P_0 = 0$ et $\forall n\in\N, P_{n+1} = P_n + \frac{X-P_n^2}{2}.$
Alors cette suite converge uniformément vers la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ sur l’intervalle $[0,1].$
Autrement dit, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un entier naturel $N$ tel que $\forall n\geq N$ et $\forall x\in [0,1], \left\lvert P_n(x) – \sqrt{x} \right\rvert \leq \varepsilon.$
Calculez les premiers polynômes
Il s’avère que :
\begin{aligned}
P_1 &= \frac{X}{2}\\
P_2 &= X-\frac{X^{2}}{8}\\
P_3 &= \frac{3 X}{2}- \frac{5 X^{2}}{8}+ \frac{X^{3}}{8}- \frac{X^{4}}{128}\\
P_4 &= 2 X- \frac{7 X^{2}}{4} + \frac{17 X^{3}}{16} – \frac{25 X^{4}}{64} + \frac{23 X^{5}}{256} – \frac{13 X^{6}}{1024} + \frac{X^{7}}{1024} – \frac{X^{8}}{32768}.
\end{aligned}
Les calculs devenant de plus en plus lourds, le reste de la suite ne sera pas explicité.
Visualisez graphiquement le résultat
Ci-dessous vous verrez le tracé des courbes bleues représentant les fonctions polynômes $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ ainsi que la racine carrée $x\mapsto \sqrt{x}$ en rouge.
Le graphique laisse à penser que la vitesse de convergence est lente.
Prolongement
Vous souhaitez avoir une démonstration de cette convergence uniforme ? Rendez-vous dans l'article 176.
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