École AVOSZ

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175. Visualisez la convergence uniforme d’une suite de polynômes vers la racine carrée

27 octobre 2021

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Niveau Prépa

Considérez la suite de polynômes définie par $P_0 = 0$ et $\forall n\in\N, P_{n+1} = P_n + \frac{X-P_n^2}{2}.$

Alors cette suite converge uniformément vers la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ sur l’intervalle $[0,1].$

Autrement dit, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un entier naturel $N$ tel que $\forall n\geq N$ et $\forall x\in [0,1], \left\lvert P_n(x) – \sqrt{x} \right\rvert \leq \varepsilon.$

Calculez les premiers polynômes

Il s’avère que :

\begin{align*} P_1 &= \frac{X}{2}\\ P_2 &= X-\frac{X^{2}}{8}\\ P_3 &= \frac{3 X}{2}- \frac{5 X^{2}}{8}+ \frac{X^{3}}{8}- \frac{X^{4}}{128}\\ P_4 &= 2 X- \frac{7 X^{2}}{4} + \frac{17 X^{3}}{16} – \frac{25 X^{4}}{64} + \frac{23 X^{5}}{256} – \frac{13 X^{6}}{1024} + \frac{X^{7}}{1024} – \frac{X^{8}}{32768}. \end{align*}

Les calculs devenant de plus en plus lourds, le reste de la suite ne sera pas explicité.

Visualisez graphiquement le résultat

Ci-dessous vous verrez le tracé des courbes bleues représentant les fonctions polynômes $P_1\comma$ $P_2\comma$ $P_3\comma$ $P_4$ ainsi que la racine carrée $x\mapsto \sqrt{x}$ en rouge.