098. Calcul de $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x$

Le problème de l'intégrale impropre Remarquez déjà que, pour tout réel $x$, $\begin{align*}\sin x + \cos x &= \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x+ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) \\&=\sqrt{2} \left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{4}\right) \\&= \sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\end{align*}$ Il apparaît…

097. Comment obtenir la réduction de Frobenius d’une matrice ainsi qu’une base associée ?

17/07/2020 - 0059

Une base de Frobenius ? Une matrice de Frobenius ? Qu'est-ce ? Connaissez-vous la matrice compagnon d'un polynôme unitaire ? Pour $P_1(X) = X^3 + X^2 -3X +7$, vous associez l'équation de ses racines en isolant le terme de plus…

095. Comprendre la réduction de Frobenius et de Jordan pour un endomorphisme cyclique

17/07/2020 - 0059

Considérez la matrice $A = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\3 & 3 & -4\\3 & 1 & -2\end{pmatrix}.$ Notez $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice est $A$ dans la base canonique. Une idée, pour chercher à trouver une base…

094. Comment bien calculer un déterminant ?

17/07/2020 - 0057

Pourquoi calculer un déterminant ? Considérez la matrice $A=\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}.$ Pour parvenir à trouver une représentation plus simple de cette matrice, vous êtes plus ou moins amenés à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A$, c'est-à-dire tous les réels…

090. Un vecteur est caractérisé par les valeurs des produits scalaires qu’il prend avec les vecteurs d’une base

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$, muni d'un produit scalaire noté $(.|.)$. Par le procédé de Gram-Schmidt, vous savez qu'il existe une base de $E$, par exemple $(e_1,\dots,e_n)$ qui est orthonormale. Elle restera…

089. Indépendance de vecteurs avec les projections orthogonales

Tester l'indépendance linéaire de vecteurs sans résoudre de systèmes linéaires? Est-ce possible? Le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt permet de répondre par l'affirmative. Pour y voir plus clair, travaillez dans $\R^3$ muni du produit scalaire usuel noté $(.|.)$ et considérez les…