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136. Unicité de la décomposition d’un nombre entier supérieur ou égal à 2 en produit de nombres premiers

Pouvez-vous justifier l'unicité sans utiliser les gros théorèmes de Gauss, Bezout, le lemme d'Euclide? La réponse est oui et sera la conséquence de l'argument de minimalité que l'on trouve dans l'ensemble $\N$ : toute partie de $\N$, non vide, admet…

134. Résolution d’un système non linéaire

Soit à résoudre le système suivant : $\left\{\begin{align*}x^2+xy &=28\\y^2+xy&=21\end{align*}\right.$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres réels. Effectuez une division euclidienne pour l'analyse Soit $(x,y)$ une solution du système proposé. Alors $x^2+xy-28=0$ et $xy+y^2-21=0.$ Travaillez avec $X$ comme…

133. Limite d’une suite géométrique dont la raison a une valeur absolue strictement inférieure à 1

Pourquoi la limite d'une telle suite est-elle égale à $0$ ? Il existe un moyen d'y parvenir avec les outils du lycée. Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$ Etablissez la monotonie de…

130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes

L'objectif de cet article de démontrer que $\forall (z,z')\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z')=\mathrm{exp}(z+z').$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite…

129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus

D'après l'article 128, pour tout réel $x$, vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L'exponentielle d'un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module 1 Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN$,…

128. Une définition de l’exponentielle

Soit $z$ un nombre complexe fixé. Considérez la suite suivante définie par $\forall n\in\NN, u_n = \left(1+\frac{z}{n}\right)^n.$ Vous allez démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\NN}$ est convergente. Sa limite sera notée $\mathrm{exp}(z)$ et appelée exponentielle de $z.$ Les suites de Cauchy…