Niveau Prépa | École AVOSZ

390. Pour tout nombre premier p le groupe des inversibles de Z/pZ est cyclique

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 22/11/202510/12/2025| Niveau Prépa

Pour $p=2$, le groupe des inversibles de $\Z/2\Z$ contient exactement un élément, le neutre de la multiplication, c’est bien un groupe cyclique.

Soit $p$ un nombre premier impair fixé. Vous notez $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}$ le groupe des inversibles de $\Z/p\Z$ muni de la multiplication.

Étape préliminaire

Soit $k$ un nombre entier appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, p-1\rrbracket.$

Comme $PGCD(k,p)$ divise $p$ qui est premier, vous avez $PGCD(k,p)\in\{1,p\}.$ Si $PGCD(k,p)=p$ alors $p$ divise $k$ donc $k\geq p.$ Mais ceci contredit l’inégalité $k\leq p-1.$ Donc $PGCD(k,p)=1.$

Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $p-1$ la classe de $k$ dans $\Z/p\Z$ est inversible.

Si $k=p$, vous avez $PGCD(k,p) = p$ et comme $p\geq 2$ vous en déduisez que la classe de $p$ n’est pas inversible.

Ainsi, $\Z/p\Z$ contient exactement $p-1$ éléments, qui sont les classes de $k$ quand $k$ décrit l’intervalle $\llbracket 1, p-1\rrbracket.$

Les conséquences du théorème de Lagrange

Pour tout $k\in\llbracket 1, p-1\rrbracket$ la classe de $k$ élevée à la puissance $p-1$ est égale au neutre de $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}.$ Cela entraîne le petit théorème de Fermat :

\forall k\in\llbracket 1, p-1\rrbracket, \ k^{p-1}\equiv 1\quad[p].

L’idée est maintenant de considérer le polynôme $X^{p-1}-1$ à coefficients dans $\Z/p\Z.$ On rappelle que $\Z/p\Z$ est un anneau intègre. Comme $X^{p-1}-1$ est unitaire, possède déjà $p-1$ racines et a pour degré $p-1$ vous avez la factorisation suivante dans l’anneau $\Z/p\Z$ prouvant que $X^{p-1}-1$ est scindé :

X^{p-1}-1 = \prod_{k=1}^{p-1}(X-k).

Pour tout diviseur $d$ de $p-1$ le polynôme $X^d-1$ divise le polynôme $X^{p-1}-1$ dans $\Z/p\Z$

Soit $d\in\NN$ un diviseur de $p-1.$ Il existe $d’\in\NN$ tel que $p-1 = dd’.$

Vous vous inspirez de $(X-1)(X^{d’-1}+\cdots +1)$ qui est égal à $X^{d’}-1$ comme le montre le développement suivant :

\begin{align*} (X-1)\sum_{i=0}^{d'-1}X^i &= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{i+1}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^i \\ &= \sum_{i=1}^{d'}X^{i}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^i \\ &= X^{d'}+\sum_{i=1}^{d'-1}X^{i}-\sum_{i=1}^{d'-1}X^i - 1 \\ &=X^{d'}-1. \end{align*}

Vous reprenez le même calcul en substituant $X$ par $X^d.$

\begin{align*} (X^d-1)\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} &= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{id+d}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\ &= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{(i+1)d}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\ &= \sum_{i=1}^{d'}X^{id}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\ &= X^{dd'}+\sum_{i=1}^{d'-1}X^{id}-\sum_{i=1}^{d'-1}X^{id} - 1 \\ &=X^{dd'}-1\\ &=X^{p-1}-1. \end{align*}

389. Le nombre 14 est primitif modulo 29 mais ne l’est pas modulo 841

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 20/11/202504/12/2025| Niveau Prépa

Dans toute cette chronique, vous noterez $G$ le groupe multiplicatif des éléments inversibles de $\Z/29\Z.$ De même, vous noterez $H$ le groupe multiplicatif des éléments inversibles de $\Z/841\Z.$

Montrez que la classe de $14$ dans $\Z/29\Z$ est un générateur du groupe multiplicatif des inversibles de $\Z/29\Z$

Comme $PGCD(14,29)=1$ la classe de $14$ appartient bien à $G.$ Notez que, grâce au théorème de Lagrange, $14^{28} \equiv 1\quad[29].$ Donc l’ordre de la classe de $14$ est un diviseur de $28.$

Comme $29$ est un nombre premier, les inversibles de $\Z/29\Z$ sont au nombre de $29-1=28.$ Pour montrer que la classe de $14$ est un générateur de $G$ il faut démontrer que l’ordre de $14$ est égal précisément égal à $28$ modulo $29.$

Comme la décomposition en produit de nombres premiers de $28$ est $28 = 2^2\times 7$ il suffit de démontrer que $14^{14}$ et $14^4$ ne sont pas congrus à $1$ modulo $29.$ En effet, dans la décomposition en produit de nombres premiers de $28$, seuls $2$ et $7$ sont les nombres premiers utilisés. Si $\frac{28}{2}=14$ n’est pas un multiple de l’ordre de la classe de $14$ et si $\frac{28}{7}=4$ ne l’est pas non plus, alors l’ordre de la classe de $14$ sera bien égal à $28.$ En effet, tout diviseur strict de $28$ est soit un diviseur de $14$ soit un diviseur de $4.$

D’une part :

\begin{align*} 14^2 &\equiv 196 \quad[29] \\ &\equiv 196-6\times 29 \quad[29]\\ &\equiv 196-6\times (30-1) \quad[29]\\ &\equiv 196-180+6 \quad[29]\\ &\equiv22 \quad[29]\\ &\equiv22-29 \quad[29]\\ &\equiv -7 \quad[29]. \end{align*}

D’autre part :

\begin{align*} 14^4 &\equiv (14^2)^2 \quad[29] \\ &\equiv (-7)^2\quad[29]\\ &\equiv 49 \quad[29]\\ &\equiv 20 \quad[29]\\ &\equiv -9 \quad[29]. \end{align*}

Vous avez donc $14^{4} \not\equiv 1 \quad[29].$

Il reste à calculer $14^{14}$ modulo $29.$

\begin{align*} 14^8 &\equiv (14^4)^2 \quad[29] \\ &\equiv (-9)^2\quad[29]\\ &\equiv 81 \quad[29]\\ &\equiv 81-3\times(30-1) \quad[29]\\ &\equiv 81-90+3 \quad[29]\\ &\equiv -6 \quad[29]. \end{align*}

\begin{align*} 14^{14}&\equiv 14^8 \times 14^4 \times 14^2\quad[29] \\ &\equiv (-6)\times (-9) \times (-7)\quad[29]\\ &\equiv 54 \times (-7) \quad[29]\\ &\equiv (54-29\times 2) \times (-7) \quad[29]\\ &\equiv (54-58) \times (-7) \quad[29]\\ &\equiv (-4) \times (-7) \quad[29]\\ &\equiv 28 \quad[29]\\ &\equiv -1 \quad[29]. \end{align*}

Vous avez donc $14^{14} \not\equiv 1 \quad[29].$

Donc 14 est primitif modulo $29.$

Montrez que la classe de $14$ dans $\Z/841\Z$ n’est pas un générateur du groupe multiplicatif des inversibles de $\Z/841\Z$

Le groupe multiplicatif des inversibles de $\Z/841\Z$ possède $\varphi(841)$ éléments où $\varphi$ est la fonction indicatrice d’Euler. Or :

\begin{align*} \varphi(841) &=\varphi(29^2)\\ &= 29^2-29\\ &=29\times 28\\ &=(30-1)(30-2)\\ &=30(30-2-1)+2\\ &=30\times 27 +2\\ &= 812. \end{align*}

Tout d’abord, la classe de $14$ appartient bien au groupe $H.$ En effet, comme $PGCD(14,29)=1$ il s’ensuit que $PGCD(14,29^2)=1.$

Il s’agit de démontrer que la classe de $14$ n’a pas un ordre égal à $812.$ Par le théorème de Lagrange, vous savez déjà que $14^{812}\equiv 1\quad[841].$ L’ordre $d$ de $14$ divise donc $812.$ La décomposition en produit de nombres premiers de $812=29\times 28$ est $29\times 7\times 2^2.$ Divisant $812$ par $29$ qui a pour quotient $28$ vous allez calculer $14^{28}.$

Vous calculez successivement des puissances de $14$ modulo $841.$ Pour des raisons de lisibilité, les modulos $841$ ont été omis après la première ligne pour chaque calcul effectué.

\begin{align*} 14^2& \equiv 196\quad[841]. \end{align*}

\begin{align*} 14^4&= (14^2)^2\quad[841] \\ &= 196^2\\ &= (200-4)^2 \\ &= 200^2 -8\times 200 + 16 \\ &= 40000 -1600 + 16 \\ &= 40016 -1600 \\ &= 40016 -2000+400 \\ &= 38416\\ &= 38416 -841\times 10\\ &= 30006 -841\times 20\\ &= 30006 -16820\\ &=14006-820\\ &=13006+180\\ &=13186\\ &=13186-8410\\ &=5186-410\\ &=4776\\ &=4776-841\times 2\\ &=4776-1682\\ &=3176-82\\ &=3076+18\\ &=3094\\ &=3094-1682\\ &=1412\\ &=1412-841\\ &=612-41\\ &=512+59\\ &=571\\ &=571-841\\ &=- 270. \end{align*}

\begin{align*} 14^8 &\equiv (14^4)^2 \quad[841] \\ &\equiv (-270)^2\\ &\equiv 27^2\times 100\\ &\equiv 72900\\ &\equiv 72900 - 841\times 100\\ &\equiv 72900 - 84100\\ &\equiv -(84100-72900)\\ &\equiv -(12100-900)\\ &\equiv -(11100+100)\\ &\equiv -11200\\ &\equiv -(11200-841\times 10)\\ &\equiv -(11200-8410)\\ &\equiv -(3200-410)\\ &\equiv -(2200+590)\\ &\equiv -(2790)\\ &\equiv -(2790 - 841\times 2)\\ &\equiv -(2790 - 1682)\\ &\equiv -(1110 - 2)\\ &\equiv -1108\\ &\equiv -(1108-841)\\ &\equiv -(308-41)\\ &\equiv -267. \end{align*}

\begin{align*} 14^{16} &\equiv (14^8)^2 \quad[841] \\ &\equiv (-267)^2\\ &\equiv (-270+3)^2\\ &\equiv 270^2 -2\times 3\times 270+9\\ &\equiv -267 -2\times 3\times 270+9\\ &\equiv -270+3 -2\times 3\times 270+9\\ &\equiv -270 -2\times 3\times 270+12\\ &\equiv -270 -6 \times 270+12\\ &\equiv - 7 \times 270+12\\ &\equiv - 1890+12\\ &\equiv - (1890-12)\\ &\equiv - 1878\\ &\equiv - (1878-841\times 2) \\ &\equiv - (1878-1682) \\ &\equiv - (278-82) \\ &\equiv - (178+18) \\ &\equiv - 196. \end{align*}

\begin{align*} 14^{12} &\equiv 14^{8} \times 14^{4}\quad[841]\\ &\equiv (-267)\times (-270)\\ &\equiv 267\times 270\\ &\equiv (270-3)\times 270\\ &\equiv 270^2 -3 \times 270\\ &\equiv 27^2\times 100 - 810\\ &\equiv 729 \times 100 - 810\\ &\equiv (729 - 841)\times 100 - (810-841)\\ &\equiv -(841-729 )\times 100 + (841-810)\\ &\equiv -(121-9 )\times 100 + 31\\ &\equiv -(112 )\times 100 + 31\\ &\equiv -(1120 )\times 10 + 31\\ &\equiv -(1120 -841)\times 10 + 31\\ &\equiv -(320 -41)\times 10 + 31\\ &\equiv -(220 +59)\times 10 + 31\\ &\equiv -279\times 10 + 31\\ &\equiv -2790 + 31\\ &\equiv -2759 \\ &\equiv -(2759-2\times 841) \\ &\equiv -(2759-1682) \\ &\equiv -(1159-82) \\ &\equiv -(1059+18) \\ &\equiv -1077 \\ &\equiv -(1077-2\times 841) \\ &\equiv -(1077-1682) \\ &\equiv 1682 -1077 \\ &\equiv 605\\ &\equiv 605-841\\ &\equiv -(841-605)\\ &\equiv -236. \end{align*}

\begin{align*} 14^{28} &\equiv14^{12}\times 14^{16}\quad[841]\\ &\equiv (-236)\times (-196)\\ &\equiv 236\times 196\\ &\equiv 236\times (200-4)\\ &\equiv 4720\times 10- 944\\ &\equiv (4720 - 841\times 4)\times 10- (944-841)\\ &\equiv (4720 - 1682\times 2)\times 10- 103\\ &\equiv (4720 - 3364)\times 10- 103\\ &\equiv (1420 - 64)\times 10- 103\\ &\equiv (1320 + 36)\times 10- 103\\ &\equiv 1356 \times 10- 103\\ &\equiv (1356 - 841\times 2) \times 10- 103\\ &\equiv (1356 - 1682) \times 10- 103\\ &\equiv -(1682-1356 ) \times 10- 103\\ &\equiv -326 \times 10- 103\\ &\equiv -3260 - 103\\ &\equiv -(3260-841\times 2) - 103\\ &\equiv -(3260-1682) - 103\\ &\equiv -(1260+318) - 103\\ &\equiv -1578 - 103\\ &\equiv -1681 \\ &\equiv -1681 +2\times 841\\ &\equiv -1681 +1682\\ &\equiv 1. \end{align*}

Comme $14^{28}$ est congru à $1$ modulo $841$ vous avez démontré que la classe de $14$ n’est pas un générateur du groupe multiplicatif des inversibles de $\Z/841\Z.$ Autrement dit, $14$ n’est pas primitif modulo $841.$

Pour aller plus loin, déterminez l’ordre de $14$ modulo $841$

Soit $r\in\NN$ l’ordre de $14$ modulo $841$, c’est-à-dire le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $14^n\equiv 1\quad[841].$

Vous savez déjà que $14^{28}\equiv 1 \quad[841]$ ce qui entraîne $d\mid 28.$

Or, par définition de $d$, vous avez $14^d \equiv 1\quad[841].$ Comme $29 \mid 841$ vous avez aussi $14^d \equiv 1 \quad[29].$ Or vous avez établi dans ce contenu que $14$ est primitif modulo $29$ ce qui prouve que l’ordre de $14$ modulo $29$ est égal à $28.$ Du coup, $d\mid 28$ et par conséquent $d=28.$

Pour conclure, $14$ est d’ordre $28$ modulo $841.$

Prolongement

Soit $p$ un nombre premier. Cet article montre que, si $a$ est primitif modulo $p$, alors $a$ n’est pas nécessairement primitif modulo $p^2$ même si en pratique cela reste fréquent. Trouver un élément qui soit primitif modulo $p^2$ à partir d’un élément primitif modulo $p$ c’est trouver ce qui s’appelle un relèvement.

Pourriez-vous proposer une méthode permettant de trouver un tel relèvement ?

388. Ordre du produit de deux éléments qui commutent dans un groupe

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 18/11/202519/11/2025| Niveau Prépa

Soit $G$ un groupe muni d’une loi interne notée multiplicativement. Le neutre de $G$ est noté $e.$

Soit $a$ un élément de $G$ admettant pour ordre $r$ où $r$ est un entier strictement positif. De même, soit $b$ un élément de $G$ admettant pour ordre $s$ où $s$ est un entier strictement positif. Vous supposez que $ab = ba.$

Qu’en est-il du produit $ab$ ? Est-il d’ordre fini ? Et si oui, quel est son ordre ?

Vous allez étudier le cas où les entiers $r$ et $s$ sont premiers entre eux.

Montrez que $ab$ est d’ordre fini

D’une part, $a^r = e$ d’autre part, $b^s =e.$

Comme $a$ et $b$ commutent :

\begin{align*} (ab)^{rs} &= a^{rs}b^{rs}\\ &=(a^r)^s (b^s)^r\\ &=e^s e^r\\ &= e e\\ &=e. \end{align*}

Comme $rs \geq 1$ vous déduisez que l’ensemble $A=\{k\in\NN, (ab)^k = e\}$ est non vide.

Donc $ab$ est d’ordre fini. Vous notez $d$ son ordre qui est le plus petit élément de l’ensemble $A.$

Montrez que $d$ divise le produit $rs$

Effectuez la division euclidienne de $rs$ par $d.$ Il existe deux entiers naturels $q$ et $u$ avec $u<d$ tels que :

rs = dq+u.

Cela fournit :

\begin{align*} (ab)^{rs} &= (ab)^{dq+u}\\ &= (ab)^{dq} (ab)^{u}\\ &= ((ab)^{d})^q (ab)^{u}\\ &= e^q (ab)^{u}\\ &= e (ab)^{u}\\ &=(ab)^u. \end{align*}

Or, $(ab)^{rs} =e$ donc $(ab)^u=e.$ Si $u$ n’est pas nul, vous déduisez que $u\in A.$ Comme $d$ est le plus petit élément de $A$ cela entraîne $u\geq d.$ Or cela contredit l’inégalité $u< d.$ Donc $u=0$ et par suite $rs = dq$ ce qui prouve que $d\mid rs.$

Montrez que le produit $rs$ divise $d$

Puisque $(ab)^d = e$ vous avez $a^d b^d = e.$ En élevant à la puissance $r$ vous avez :

\begin{align*} (a^d b^d)^r &= e\\ a^{dr} b^{dr} &= e\\ (a^r)^d b^{dr} &= e\\ e^d b^{dr} &= e\\ b^{dr} &= e. \end{align*}

Or, $b$ est d’ordre $s.$ En effectuant le même raisonnement que celui effectué ci-dessus, vous divisez $dr$ par $s$ et trouvez un reste nul, donc $s$ divise $dr.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss montre que $s$ divise $d.$

De même, en élevant $a^d b^d = e$ à la puissance $s$ il vient :

\begin{align*} (a^d b^d)^s &= e\\ a^{ds} b^{ds} &= e\\ a^{ds} (b^{s})^d &= e\\ a^{ds }e^d &= e\\ a^{ds} &= e. \end{align*}

Comme $a$ est d’ordre $r$ vous déduisez que $r$ divise $ds.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss montre que $r$ divise $d.$

Il existe un entier $r’$ tel que $d = rr’.$

Comme $s$ divise $d$ vous déduisez que $s$ divise $rr’.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, vous appliquez le théorème de Gauss encore une fois et aboutissez à $s \mid r’.$ En multipliant par $r$, vous avez $rs \mid rr’$ donc $rs\mid d.$

Concluez

Les parties précédentes ont permis de montrer que $d=rs.$

Ainsi, $ab$ est d’ordre fini et son ordre vaut $rs.$

Prolongement

Qu’en est-il si $r$ et $s$ ne sont pas premiers entre eux ? L’ordre de $ab$ est-il égal à $PPCM(r,s)$ ?

Pour y répondre, prenez $G = \Z/30\Z$ muni de l’addition et posez $a=5$ et $b=3$ de sorte que $a$ et $b$ soient deux éléments de $G.$ Calculez les ordres des éléments $a$, $b$ et $a+b.$ Qu’en déduisez-vous ?

387. Les diviseurs d’un produit de deux entiers premiers entre eux

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 17/11/202518/11/2025| Niveau Prépa

Soient $r$ et $s$ deux entiers naturels non nuls de sorte que $PGCD(r,s)=1.$

Vous allez démontrer que, pour tout entier naturel non nul $d’$, si $d’$ divise le produit $rs$ alors il existe deux entiers naturels non nuls $r’$ et $s’$ premiers entre eux, tels que $d’ = r’s’$ avec $r’$ qui divise $r$ et $s’$ qui divise $s.$

Effectuez une récurrence forte

Pour tout entier naturel $d’$ supérieur ou égal à $1$ vous notez $\mathscr{P}(d’)$ la propriété suivante : « Quels que soient les entiers naturels non nuls $r$ et $s$ premiers entre eux, si $d’$ est un entier naturel non nul qui divise le produit $rs$ alors, il existe deux entiers naturels non nuls $r’$ et $s’$ tels que $r’\mid r$ puis $s’\mid s$ puis $PGCD(r’,s’)=1$ et $d’=r’s’.$ »

Initialisation

Soient $r$ et $s$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.

Posez $d’=1$ et supposez que $d’\mid rs.$

Vous posez $r’=1$ et $s’=1.$ Alors $r’\mid r$ puis $s’\mid s.$ Vous avez aussi $PGCD(r’,s’)=1$ et $d’=r’s’.$

La propriété $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.

Hérédité

Soit $d’$ un entier naturel supérieur ou égal à $1.$ Vous supposez que, pour tout $k\in\llbracket 1, d’ \rrbracket$ la propriété $\mathscr{P}(k)$ est vérifiée.

Soient $r$ et $s$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Supposez que $d’+1$ divise le produit $rs.$ Comme $d’+1$ est supérieur $2$, il existe un nombre premier $p »$ tel que $p »\mid d’+1.$ Il existe un entier naturel non nul $d »$ tel que $\boxed{d’+1=p »d »}.$

Comme $p »\mid d’+1$ et comme $d’+1 \mid rs$ vous avez $p »\mid rs.$ Vous appliquez le lemme d’Euclide, ce qui conduit à deux possibilités.

Premier cas

La première hypothèse est $p » \mid r.$ Il existe un entier naturel non nul $u »$ tel que $\boxed{r = p »u »}.$ L’entier $d’+1$ divise $rs$ cela s’écrit $p »d » \mid p »u »s$ puis $d »\mid u »s.$ Comme $p »\geq 2$ nécessairement $d »< d’+1$ donc $d »\leq d’.$ Donc $d »\in\llbracket 1, d’\rrbracket.$

Or, $PGCD(u »,s)$ divise $u »$ et divise $s.$ De plus, $u »$ divise $r$ donc $PGCD(u »,s)$ divise $r$ et $s.$ Vu que $r$ et $s$ sont premiers entre eux, vous déduisez $PGCD(u »,s)=1.$

Vous appliquez maintenant $\mathscr{P}(d »).$ Il existe deux entiers naturels non nuls $u »’$ et $s »’$ premiers entre eux tels que $\boxed{d »=u »’ s »’}$ avec $u »’\mid u »$ et $s »’\mid s.$

En multipliant par $p »$ vous avez $p » d »=p » u »’ s »’$ soit $d’+1 = (p » u »’) s »’.$ Vous posez $\boxed{r »’ = p » u »’}.$

Comme $u »’ \mid u »$ vous avez aussi $p » u »’ \mid p » u ».$ Cela s’écrit $p » u »’ \mid r$ donc $r »’ \mid r.$

Il reste à démontrer que $PGCD(r »’, s »’)=1.$ En raisonnant par l’absurde, supposez que $PGCD(r »’, s »’)\geq 2.$ Il existe un nombre premier $q$ tel que $q\mid PGCD(r »’, s »’).$ Donc $q$ divise $r »’ = p » u »’.$ Si $q$ divise $u »’$ alors comme $u »’\mid u »$ vous avez $q\mid u ».$ Comme $q$ divise $s »’$ et comme $s »’\mid s$ vous avez $q \mid s$ donc $q$ divise à la fois $u »$ et $s.$ Comme $u »$ et $s$ sont premiers entre eux, cela fournit $q=1$ ce qui est absurde : $q$ en tant que nombre premier est supérieur ou égal à $2.$ Donc $q$ ne peut pas diviser $u »’.$

Comme $q\mid p » u »’$ et comme $q\nmid u »’$ vous avez nécessairement $q \mid p »$ par le lemme d’Euclide. Comme $p »$ est un nombre premier cela aboutit à $q\in\{1, p »\}.$ Or $q$ est un nombre premier donc $q\geq 2$ d’où $q=p ».$ Comme $q\mid PGCD(r »’, s »’)$ vous déduisez $p » \mid s »’.$ Or $s »’\mid s$ donc $p »\mid s.$ L’hypothèse de départ était $p »\mid r$ donc $p »$ divise $r$ et $s.$ Comme $r$ et $s$ sont premiers entre eux, cela fournit $p »=1.$ Mais $p »$ est un nombre premier donc $p »\geq 2$ contradiction.

Ainsi, $d’+1 = r »’ s »’$ avec $r »’\mid r$ et $s »’\mid s.$ Comme $PGCD(r »’,s »’)=1$ vous avez prouvé que $\mathscr{P}(d’+1)$ est vraie.

Deuxième cas

L’autre hypothèse est $p » \mid s.$ Le premier cas s’applique en échangeant les rôles des entiers $r$ et $s.$ Les détails sont omis pour des questions de longueur.

Fin de la récurrence

Grâce au principe de récurrence, vous avez établi que, pour tout entier $d’$ supérieur ou égal à $1$ la propriété $\mathscr{P}(d’)$ est vraie.

Concluez

En reformulant ce qui a été effectué plus haut, vous venez de démontrer que, quel que soit $d\in\NN$ et quels que soit le couple $(r,s)\in(\NN)^2$ vous avez :

\left\{\begin{align*} &d\mid rs \\ &PGCD(r,s)=1 \end{align*} \right. \implies \left[ \exists (r', s')\in(\NN)^2, \left\{\begin{align*} &d = r's' \\ &PGCD(r',s')=1\\ &r'\mid r\\ &s'\mid s. \end{align*} \right. \right]

Prolongement

Soient $r$ et $s$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Notez $D_r$ l’ensemble des diviseurs strictement positifs de $r$, $D_s$ l’ensemble des diviseurs strictement positifs de $s$ et $D_{rs}$ l’ensemble des diviseurs strictement positifs du produit $rs.$

On considère l’application $f$ suivante :

\begin{align*} f: D_r\times D_s &\rightarrow D_{rs}\\ (a,b)&\mapsto ab. \end{align*}

Pourriez-vous justifier que $f$ est bien définie et que c’est une bijection ?

386. Existence et unicité de la signature pour les permutations

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 03/11/202507/11/2025| Niveau Prépa

Soit $E$ un ensemble fini contenant au moins deux éléments. La notation $\mathfrak{S}_E$ désigne l’ensemble des permutations de $E$ muni de la composition.

Unicité de la signature

Supposez qu’il existe une application $\varepsilon$ qui va de $\mathfrak{S}_E$ dans $\{-1,1\}$ et telle que :

\left\{\begin{align*} &\forall (\sigma_1, \sigma_2)\in (\mathfrak{S}_E)^2, \quad \varepsilon(\sigma_1 \sigma_2) = \varepsilon(\sigma_1) \varepsilon(\sigma_2)\\ &\exists \sigma_0 \in \mathfrak{S}_E, \quad \varepsilon(\sigma_0) \neq 1. \end{align*} \right.

L’existence de la permutation $\sigma_0$ permet d’affirmer que $\varepsilon(\sigma_0) = -1.$

Montrez qu’il existe une transposition $\tau_0$ telle que $\varepsilon(\tau_0) = -1$

Vous raisonnez par l’absurde et vous supposez que, pour toute transposition $\tau \in \mathfrak{S}_E$ vous avez $\varepsilon(\tau) = 1.$

Si $\sigma_0$ est l’application identité de $E$ vous avez $\sigma_0 = \tau \tau$ et donc $\varepsilon(\sigma_0) = \varepsilon(\tau)\varepsilon(\tau) = 1\times 1 = 1$ ce qui est impossible.

Donc la permutation $\sigma_0$ n’est pas l’application identité. Elle s’écrit donc comme un produit non vide de cycles à supports disjoints. Or, tout cycle s’écrit comme un produit de transpositions. En effet, si $c$ est un cycle, il existe un entier $r\geq 2$ et $(e_1,\dots, e_r)\in E^r$ tels que $c = (e_1 \cdots e_r).$ Vous avez alors $c = \prod_{k=1}^{r-1} (e_k\ e_{k+1}).$ Du coup, $\varepsilon(c) = \prod_{k=1}^{r-1} \varepsilon((e_k\ e_{k+1})) = \prod_{k=1}^{r-1} 1 =1.$ Or, il existe un entier $m\geq 1$ et des cycles $c_1,\dots,c_m$ tels que $\sigma_0 = \prod_{k=1}^m c_k.$ Il vient $\varepsilon(\sigma_0) = \prod_{k=1}^m \varepsilon(c_k) = \prod_{k=1}^m 1 = 1$ ce qui est absurde.

Donc il existe une transposition $\tau_0$ telle que $\varepsilon(\tau_0) = -1.$

Montrez que pour toute transposition $\tau$ vous avez $\varepsilon(\tau) = -1$

Le support de $\tau_0$ contient exactement deux éléments distincts de $E.$ Vous les notez $a$ et $b$ et donc $\tau_0 = (a\ b).$

Soit maintenant $\tau\in \mathfrak{S}_E$ une transposition. Le support de $\tau$ contient exactement deux éléments distincts de $E$ que vous notez $i$ et $j$ de sorte que $\tau = (i\ j).$

Comme $E\setminus \{a, b\}$ et $E\setminus \{i, j\}$ ont exactement le même nombre d’éléments, il existe une bijection $f$ qui va de $E\setminus \{a, b\}$ vers $E\setminus \{i, j\}.$

Vous définissez maintenant une application $\sigma$ qui va de $E$ dans $E$ par :

\left\{ \begin{align*} &\sigma(a) = i\\ &\sigma(b) = j\\ &\forall x\in E\setminus \{a, b\}, \sigma(x) = f(x). \end{align*} \right.

Montrez tout d’abord que $\sigma$ est une permutation de $E.$

Comme $\sigma$ est une application qui va de $E$ dans $E$ (avec $E$ qui est un ensemble fini), elle est bijective, si et seulement si, elle est surjective.

Soit maintenant $y$ un élément de $E.$ Si $y\in\{i, j\}$ alors soit $y = \sigma(a)$ soit $y = \sigma(b)$ donc $y$ admet au moins un antécédent par $\sigma.$ Si $y\notin \{i, j\}$ alors $y\in E\setminus \{i, j\}.$ Or $f$ est une bijection de $E\setminus \{a, b\}$ vers $E\setminus \{i, j\}$ en particulier $f$ est surjective donc il existe $x\in E\setminus \{a, b\}$ tel que $y = f(x).$ Comme $x\in E\setminus \{a, b\}$ vous avez $\sigma(x) = f(x)$ donc $y = \sigma(x)$ et $y$ admet au moins un antécédent par la fonction $\sigma$ puisque $x\in E.$

De cette analyse, $\sigma$ est surjective, donc bijective.

Vous allez maintenant montrer que $\sigma^{-1 }\tau \sigma = \tau_0.$

Soit $x\in E.$ Trois cas se présentent.

Si $x= a$ alors :

\begin{align*} (\sigma^{-1 }\tau \sigma)(a) &= (\sigma^{-1 }\tau)(\sigma(a)) \\ &= (\sigma^{-1 }\tau)(i) \\ &= \sigma^{-1 }(\tau (i)) \\ &= \sigma^{-1 }(j) \\ &= b\\ &= \tau_0(a). \end{align*}

Si $x=b$ alors :

\begin{align*} (\sigma^{-1 }\tau \sigma)(b) &= (\sigma^{-1 }\tau)(\sigma(b)) \\ &= (\sigma^{-1 }\tau)(j) \\ &= \sigma^{-1 }(\tau (j)) \\ &= \sigma^{-1 }(i) \\ &= a\\ &= \tau_0(b). \end{align*}

Si $x\notin \{a, b\}$ alors :

\begin{align*} (\sigma^{-1 }\tau \sigma)(x) &= (\sigma^{-1 }\tau)(\sigma(x)) \\ &= \sigma^{-1 }(\tau (\sigma(x)))\\ &= \sigma^{-1 }(\tau (f(x))). \end{align*}

Or, $f(x) \in E\setminus \{i, j\}.$ Donc $f(x)$ n’appartient pas au support de $\tau$ donc $\tau ( f(x) ) = f(x).$ Ainsi :

\begin{align*} (\sigma^{-1 }\tau \sigma)(x) &= \sigma^{-1 }(\tau (f(x))) \\ &= \sigma^{-1 }( \sigma(x)) \\ &= x. \end{align*}

Vous remarquez que $x$ n’appartient pas au support de $\tau_0$ donc $\tau_0(x) = x.$ Du coup :

(\sigma^{-1 }\tau \sigma)(x) = \tau_0(x).

Il a été démontré que :

\sigma^{-1 }\tau \sigma = \tau_0.

En appliquant $\varepsilon$ vous déduisez :

\varepsilon(\sigma^{-1}) \varepsilon(\tau) \varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\tau_0) = -1.

Or en notant $Id$ l’application identité de $E$ vous avez :

\begin{align*} \varepsilon(Id) &= \varepsilon(Id\ Id)\\ &= \varepsilon(Id) \varepsilon(Id)\\ &= (\varepsilon(Id) )^2. \end{align*}

Comme $\varepsilon(Id) \neq 0$ vous déduisez :

\varepsilon(Id) = 1.

Du coup :

\begin{align*} \varepsilon(\sigma^{-1}) \varepsilon(\sigma) &= \varepsilon(Id) = 1. \end{align*}

Et vous concluez :

\begin{align*} \varepsilon(\tau) &= \varepsilon(\tau) \times 1 \\ &= \varepsilon(\tau) \varepsilon(\sigma^{-1}) \varepsilon(\sigma) \\ &= \varepsilon(\sigma^{-1}) \varepsilon(\tau) \varepsilon(\sigma) \\ &= \varepsilon(\tau_0) \\ &= -1. \end{align*}

Ainsi, pour toute transposition $\tau$ vous avez $\varepsilon(\tau) = -1.$

Déduisez-en une expression de $\varepsilon$

Cas d’une permutation qui n’est pas l’identité

Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_E$ une permutation de $E$ différente de l’identité.

Il existe un entier $k\geq 1$ et des cycles à supports disjoints $c_1,\dots,c_k$ tels que $\sigma = \prod_{i=1}^{k} c_i.$

Pour tout $i\in\llbracket 1, k\rrbracket$ notez $\ell_i$ la longueur du cycle $i.$ Par définition d’un cycle, vous avez $\ell_i \geq 2.$ Il a été vu plus haut que $c_i$ s’écrit comme un produit de $\ell_i-1$ transpositions.

Vous en déduisez que $\sigma$ s’écrit comme un produit de $\sum_{i=1}^{k} (\ell_i-1)$ transpositions. Comme la signature de chaque transposition est égale à $-1$ il s’ensuit que la signature de $\sigma$ est égale à :

\varepsilon(\sigma) = (-1)^{\sum_{i=1}^{k} (\ell_i-1)}.

Notez $\vert E \vert$ le nombre d’éléments de l’ensemble $E.$ Le support de $\sigma$ possède exactement $\sum_{i=1}^{k} \ell_i$ éléments. Si $m$ désigne le nombre de points fixes de $\sigma$ alors $\sum_{i=1}^{k} \ell_i + m = \vert E \vert$ d’où :

\begin{align*} \sum_{i=1}^{k} (\ell_i-1) &= \left(\sum_{i=1}^{k} \ell_i\right)-k \\ &= \vert E \vert - m-k. \end{align*}

Or, comme la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints est unique à l’ordre près des facteurs, le nombre $k$ ne dépend que de $\sigma$ ce qui donne :

\varepsilon(\sigma) = (-1)^{\vert E \vert - m-k}.

Cas de l’identité

Quand $\sigma$ est l’identité, on convient de l’écrire comme un produit vide de cycles à supports disjoints. Ainsi $k=0.$ Le nombre de points fixes de l’identité est $m = \vert E \vert.$ Ainsi $(-1)^{\vert E \vert – m-k} = 1 = \varepsilon(Id).$

Concluez

Vous avez donc établi le résultat suivant. Pour toute permutation $\sigma$ notez $k\in\N$ le nombre de cycles à supports disjoints intervenant dans sa décomposition et $m$ le nombre de points fixes de $\sigma.$ Alors :

\boxed{\varepsilon(\sigma) = (-1)^{\vert E \vert - m-k}.}

Existence de la signature

Pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_E$ vous notez $m$ le nombre de points fixes de $\sigma$ et $k\in\N$ son nombre de cycles à supports disjoints.

Vous définissez l’application $\varepsilon$ qui va de $ \mathfrak{S}_E$ dans $\{-1,1\}$ en posant :

\varepsilon(\sigma) = (-1)^{\vert E \vert - m-k}.

Soit $\tau$ une transposition. Celle-ci est composée d’un seul cycle donc $k=1$ et d’autre part son nombre de points fixes est $m = \vert E \vert – 2$ ce qui fournit $\vert E \vert – m=2.$ Ainsi :

\begin{align*} \varepsilon(\tau) &= (-1)^{\vert E \vert - m-k} \\ &= (-1)^{2-k}\\ & = (-1)^{k}\\ & = (-1)^{1}\\ &=-1. \end{align*}

Toutes les transpositions ont une image égale à $-1$ par l’application $\varepsilon.$

Comme $E$ possède au moins deux éléments distincts $a$ et $b$ vous considérez la transposition $\tau_0 = (a\ b)$ et vous avez bien $\exists \tau_0\in\mathfrak{S}_E, \varepsilon(\tau_0)\neq 1.$

Soit maintenant $\tau$ une transposition et $\sigma$ une permutation. Vous notez $m$ le nombre de points fixes de $\sigma$ et $k\in\N$ son nombre de cycles à supports disjoints.

Si $k=0$ alors $\sigma$ est l’identité. Il vient :

\begin{align*} \varepsilon(\tau \sigma) &= \varepsilon(\tau\ Id) \\ &= \varepsilon(\tau) \\ &= -1\\ &=-1\times 1\\ &= \varepsilon(\tau)\varepsilon(Id)\\ &= \varepsilon(\tau)\varepsilon(\sigma). \end{align*}

Si $k\geq 1$ alors $\sigma$ s’écrit comme un produit non vide de $k$ cycles à supports disjoints. Vous notez $m’$ le nombre de points fixes de $\tau \sigma$ et $k’$ le nombre de cycles de $\tau \sigma$ dans sa décomposition de cycles à supports disjoints. Or, dans le contenu rédigé dans l'article 385 il a été vu que plusieurs cas se présentent :

supports totalement disjoints et commutation : les supports de $\tau$ et de $\sigma$ sont disjoints. Ainsi $m’ = m-2$ et $k’ = k+1.$ Du coup $\varepsilon(\tau \sigma) = (-1)^{\vert E \vert – m’-k’} = (-1)^{\vert E \vert – m-k-3} = – \varepsilon(\sigma).$ Or $\varepsilon(\tau) = -1$ d’où $\varepsilon(\tau \sigma) = \varepsilon(\tau)\varepsilon(\sigma).$
fusion : deux cycles de $\sigma$ fusionnent et dans ce cas $m’ = m$ et $k’ = k-1$ et ainsi $\varepsilon(\tau \sigma) = (-1)^{\vert E \vert – m’-k’} = (-1)^{\vert E \vert – m-k+1} = – \varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\tau)\varepsilon(\sigma).$
insertion : il se peut qu’un élément de $\tau$ soit inséré dans un des cycles de $\sigma.$ Dans ce cas $m’ = m-1$ et $k’=k$ et donc $\varepsilon(\tau \sigma) = (-1)^{\vert E \vert – m’-k’} = (-1)^{\vert E \vert – m-k-1} = – \varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\tau)\varepsilon(\sigma).$
rupture de cycle : les deux éléments de $\tau$ appartiennent au support de l’un des cycles de $\sigma.$ Dans ce cas, $m’=m$ et $k’ = k+1.$ D’où $\varepsilon(\tau \sigma) = (-1)^{\vert E \vert – m’-k’} = (-1)^{\vert E \vert – m-k-1} = – \varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\tau)\varepsilon(\sigma).$

Vous venez de démontrer que, pour toute transposition $\tau$ et pour toute permutation $\sigma$, $\varepsilon(\tau \sigma) = \varepsilon(\tau)\varepsilon(\sigma).$

Soient maintenant $\sigma$ et $\sigma’$ deux permutations quelconques. $\sigma’$ peut toujours s’écrire comme un produit non vide de transpositions. Il existe $s\geq 1$ et des transpositions $\tau_1,\dots,\tau_s$ telles que $\sigma’ = \tau_1\cdots \tau_s.$ En vertu de ce qui précède :

\begin{align*} \varepsilon(\sigma' \sigma) &= \varepsilon\left( \tau_1\left( \left[\prod_{i=2}^s\tau_i\right] \sigma\right) \right)\\ &= \varepsilon(\tau_1)\varepsilon\left( \left[\prod_{i=2}^s\tau_i\right] \sigma\right)\\ &=\dots \\ &=\varepsilon(\tau_1)\cdots \varepsilon(\tau_s)\varepsilon(\sigma). \end{align*}

Or :

\begin{align*} \varepsilon(\sigma')\varepsilon(\sigma) &= \varepsilon\left( \left[\prod_{i=1}^s\tau_i\right] \right)\varepsilon(\sigma)\\ &= \varepsilon(\tau_1)\varepsilon\left( \left[\prod_{i=2}^s\tau_i\right] \right) \varepsilon(\sigma)\\ &=\dots \\ &=\varepsilon(\tau_1)\cdots \varepsilon(\tau_s)\varepsilon(\sigma). \end{align*}

Note. On convient qu’un produit vide d’éléments de $\mathfrak{S}_E)$ est égal à l’application identité de $E.$

Note. Les pointillés devraient être rédigés en utilisant des récurrences limitées. Pour des raisons de longueur, il a été choisi d’omettre les détails correspondants.

Il a été démontré que :

\boxed{\forall (\sigma', \sigma)\in (\mathfrak{S}_E)^2, \quad \varepsilon(\sigma' \sigma) = \varepsilon(\sigma') \varepsilon(\sigma).}

Concluez

Il existe exactement deux morphismes de groupes qui vont de $\mathfrak{S}_E$ muni de la composition dans $\{-1,1\}$ muni de la multiplication. Ce sont la signature $\varepsilon$ précédemment définie et l’application constante égale à $1$ sur toutes les permutations de $E.$

On dit aussi que la signature est l’unique morphisme de groupes non trivial de $\mathfrak{S}_E$ dans $\{-1,1\}.$

385. Effet d’une transposition sur la décomposition en cycles d’une permutation

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 01/11/202507/11/2025| Niveau Prépa

Dans l’intégralité de cet article, vous travaillez sur des permutations d’un ensemble fini $E$ qui contient au moins deux éléments.

Comment décomposer une permutation en produit de transpositions ?

Soit $\sigma$ la permutation suivante de l’ensemble $E=\llbracket 1, 9\rrbracket$ :

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ 2 & 4 & 7 & 5 & 8 & 6 & 9 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Décomposez d’abord la permutation en produit de cycles à supports disjoints

Vous constatez que $\sigma$ envoie $1$ sur $2$ puis $2$ sur $4$ puis $4$ sur $5$ puis $5$ sur $8$ et $8$ sur $1$ cela forme le premier cycle noté $(1\ 2\ 4\ 5\ 8).$

Ensuite, $\sigma$ envoie $3$ sur $7$ puis $7$ sur $9$ et $9$ sur $3$ ce qui forme un second cycle $(3\ 7\ 9).$

Vous constatez que $6$ est le seul élément fixé par $\sigma$ puisque $\sigma(6)=6.$

Vous déduisez de cette analyse que :

\boxed{\sigma = (1\ 2\ 4\ 5\ 8)(3\ 7\ 9).}

Décomposez chaque cycle en produit de transpositions

D’une part :

(1\ 2\ 4\ 5\ 8) = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 5)(5\ 8).

D’autre part :

(3\ 7\ 9) = (3\ 7)(7\ 9).

Vous déduisez que $\sigma$ peut s’écrire comme un produit de six transpositions :

\boxed{\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 5)(5\ 8)(3\ 7)(7\ 9).}

Sur les effets de la multiplication à gauche d’une permutation par une transposition

Dans le cas général, une permutation s’écrit comme un produit de cycles à supports disjoints.

Note. Dans le cas de l’identité, elle est écrite comme un produit vide de cycles à supports disjoints.

Soit $r$ un entier naturel et soient $c_1, \dots, c_r$ des cycles à supports disjoints et $\tau$ une transposition. Vous vous intéressez à déterminer une écriture en produit de cycles à supports disjoints de la permutation $\sigma = \tau c_1\cdots c_r.$

Note. Dans le cas où $r=0$ le produit $c_1\cdots c_r$ est vide et il est égal à l’identité.

Cas n°1 : supports totalement disjoints et commutation

Vous supposez que, pour tout $i\in\llbracket 1, r\rrbracket$ le support de $\tau$ n’a aucun élément en commun le support du cycle $c_i.$ Alors, pour tout $i\in\llbracket 1, r\rrbracket$ la transposition $\tau$ commute avec $c_i.$ Le produit $\sigma = \tau c_1\cdots c_r$ est déjà un produit de cycles à supports disjoints, la transposition $\tau$ étant un cycle de longueur $2.$

Cas n°2 : fusion/insertion ou rupture de cycle

Supposez qu’il existe un entier $i\in\llbracket 1, r\rrbracket$ tel que le support de $\tau$ et le cycle $c_i$ aient au moins un élément en commun.

Premier cas : fusion. Le support de $\tau$ a exactement un élément $a\in E$ en commun avec le cycle $c_i.$ Il existe un élément $b$ de $E$ distinct de $a$ tel que $\tau = (a\ b).$ Le cycle $c_i$ peut s’écrire en commençant par $a$ et son support ne contient pas $b.$ En notant $p$ la longueur du cycle $c_i$ il existe $(d_1,\dots, d_{p-1})\in E^{p-1}$ tel que $c_i = (a\ d_1 \cdots d_{p-1}).$

Comme les supports des cycles $c_1,\dots,c_r$ sont deux à deux disjoints, deux sous-cas peuvent se présenter.

Premier sous-cas (fusion) : il existe un unique entier $j\neq i$ compris entre $1$ et $r$ tel que l’élément $b$ appartienne au support du cycle $c_j.$ Le cycle $c_j$ peut s’écrire en commençant par $b$ et son support ne contient pas $a.$ En notant $q$ la longueur du cycle $c_j$ il existe $(e_1,\dots,e_{q-1})\in E^{q-1}$ tel que $c_j = (b\ e_1 \cdots e_{q-1}).$

Vous passez au calcul de $\tau \sigma$ en utilisant la commutation des cycles $c_i$ et $c_j$ avec les autres, ce qui fournit :

\begin{align*} \tau \sigma &= \tau c_1 \cdots c_r \\ &= \tau c_i c_j \prod_{k\notin \{i, j\}} c_k\\ &= (a\ b) (a\ d_1 \cdots d_{p-1}) (b\ e_1 \cdots e_{q-1}) \prod_{k\notin \{i, j\}} c_k\\ &= (b\ a)(a\ d_1 \cdots d_{p-1}) (b\ e_1 \cdots e_{q-1}) \prod_{k\notin \{i, j\}} c_k\\ &= (b\ a\ d_1 \cdots d_{p-1}) (b\ e_1 \cdots e_{q-1}) \prod_{k\notin \{i, j\}} c_k\\ &= (a\ d_1 \cdots d_{p-1}\ b) (b\ e_1 \cdots e_{q-1}) \prod_{k\notin \{i, j\}} c_k\\ &= (a\ d_1 \cdots d_{p-1}\ b\ e_1 \cdots e_{q-1}) \prod_{k\notin \{i, j\}} c_k\\ \end{align*}

Les cycles $c_i$ et $c_j$ ont fusionné et l’écriture obtenue de $\tau\sigma$ est bien un produit de cycles à supports disjoints.

Second sous-cas (insertion) : pour tout entier $j\neq i$ compris appartenant à $\llbracket 1, r\rrbracket$ l’élément $b$ n’appartient pas au support du cycle $c_j.$

Vous procédez au calcul de $\sigma\tau$ comme précédemment. Cette fois-ci, vous allez commuter $c_i$ avec les autres cycles et le positionner à droite de la transposition $\tau$ ce qui donne :

\begin{align*} \tau \sigma &= \tau c_1 \cdots c_r \\ &= \tau c_i \prod_{j\neq i} c_j\\ &= (a\ b) (a\ d_1 \cdots d_{p-1}) \prod_{j\neq i} c_j\\ &= (b\ a) (a\ d_1 \cdots d_{p-1}) \prod_{j\neq i} c_j\\ &= (b\ a\ d_1 \cdots d_{p-1}) \prod_{j\neq i} c_j. \end{align*}

L’élément $b$ a été inséré dans le cycle $c_i$ et l’écriture obtenue de $\sigma\tau$ est bien un produit de cycles à supports disjoints.

Second cas : rupture de cycle. Le support de $\tau$ a exactement deux éléments en commun avec le cycle $c_i.$ Vous effectuez la commutation du cycle $c_i$ avec les autres cycles et positionnez $c_i$ immédiatement à droite de la transposition $\tau.$

\begin{align*} \tau \sigma &= \tau c_1 \cdots c_r \\ &= \tau c_i \prod_{j\neq i} c_j. \end{align*}

Il existe deux entiers naturels $p$ et $q$ de sorte qu’il existe $p+q$ éléments de $E$ notés $d_1,\cdots, d_p, e_1, \dots, e_q$ qui vérifient $c_i = (a\ d_1\ \cdots d_p\ b\ e_1\ \cdots e_q)$ et ainsi :

\begin{align*} \tau \sigma &= \tau c_1 \cdots c_r \\ &= \tau c_i \prod_{j\neq i} c_j\\ &= (a\ b)(a\ d_1\ \cdots d_p\ b\ e_1\ \cdots e_q) \prod_{j\neq i} c_j\\ &= (a\ b)(a\ d_1\ \cdots d_p\ b)(b\ e_1\ \cdots e_q) \prod_{j\neq i} c_j\\ &= (a\ b)(b\ a\ d_1\ \cdots d_p)(b\ e_1\ \cdots e_q) \prod_{j\neq i} c_j\\ &= (a\ b)(b\ a)(a\ d_1\ \cdots d_p)(b\ e_1\ \cdots e_q) \prod_{j\neq i} c_j\\ &= (a\ b)(a\ b)(a\ d_1\ \cdots d_p)(b\ e_1\ \cdots e_q) \prod_{j\neq i} c_j\\ &=(a\ d_1\ \cdots d_p)(b\ e_1\ \cdots e_q) \prod_{j\neq i} c_j. \end{align*}

Il y a eu rupture du cycle $c_i$ et l’écriture obtenue de $\tau\sigma$ est encore un produit de cycles à supports disjoints.

Comment, à partir d’un produit de transpositions, obtenir une écriture en produit de cycles à supports disjoints ?

Vous partez de la droite et vous multipliez à gauche par les transpositions qui apparaissent, en traitant les cas de fusion ou de rupture.

Soit $\sigma = (1\ 4)(3\ 1)(4\ 3)(5\ 3)(6\ 1)(8\ 4)(3\ 9).$

Le produit des trois transpositions $(6\ 1)(8\ 4)(3\ 9)$ est un produit de cycles à supports disjoints.

Cependant, le produit $(5\ 3)(6\ 1)(8\ 4)(3\ 9)$ ne l’est pas puisque $3$ apparaît deux fois. Vous êtes dans le cas ici d’une fusion. En effet :

\begin{align*} (5\ 3)(6\ 1)(8\ 4)(3\ 9) &= (5\ 3)(6\ 1)(3\ 9)(8\ 4)\\ &= (5\ 3)(3\ 9)(6\ 1)(8\ 4)\\ &= (5\ 3\ 9)(6\ 1)(8\ 4). \end{align*}

La permutation $(5\ 3\ 9)(6\ 1)(8\ 4)$ est un produit de cycles à supports disjoints mais $(4\ 3)(5\ 3\ 9)(6\ 1)(8\ 4)$ ne l’est pas puisque $3$ et $4$ sont répétés. Vous êtes encore dans un cas de fusion. En effet :

\begin{align*} (4\ 3)(5\ 3\ 9)(6\ 1)(8\ 4) &= (4\ 3)(5\ 3\ 9)(8\ 4)(6\ 1) \\ &= (4\ 3)(3\ 9\ 5)(4\ 8)(6\ 1) \\ &= (4\ 3\ 9\ 5)(4\ 8)(6\ 1) \\ &= (3\ 9\ 5\ 4)(4\ 8)(6\ 1) \\ &= (3\ 9\ 5\ 4\ 8)(6\ 1). \end{align*}

La permutation $(3\ 9\ 5\ 4\ 8)(6\ 1)$ est un produit de cycles à supports disjoints mais $(3\ 1)(3\ 9\ 5\ 4\ 8)(6\ 1)$ ne l’est pas puisque $3$ et $1$ sont répétés. Vous êtes dans un cas de fusion. En effet :

\begin{align*} (3\ 1)(3\ 9\ 5\ 4\ 8)(6\ 1) &= (3\ 1)(3\ 9\ 5\ 4\ 8)(1\ 6) \\ &= (1\ 3)(3\ 9\ 5\ 4\ 8)(1\ 6) \\ &= (1\ 3\ 9\ 5\ 4\ 8)(1\ 6) \\ &= (3\ 9\ 5\ 4\ 8\ 1)(1\ 6) \\ &= (3\ 9\ 5\ 4\ 8\ 1\ 6). \end{align*}

Enfin, la permutation $(3\ 9\ 5\ 4\ 8\ 1\ 6)$ est bien considérée comme un produit de cycles à supports disjoints (avec un seul cycle) mais $ (1\ 4)(3\ 9\ 5\ 4\ 8\ 1\ 6)$ ne l’est pas puisque $1$ et $4$ sont répétés. Cette fois, vous êtes dans un cas de rupture de cycle :

\begin{align*} (1\ 4)(3\ 9\ 5\ 4\ 8\ 1\ 6) &= (1\ 4)(4\ 8\ 1\ 6\ 3\ 9\ 5) \\ &= (1\ 4)(4\ 8\ 1)(1\ 6\ 3\ 9\ 5) \\ &= (1\ 4)(1\ 4\ 8)(1\ 6\ 3\ 9\ 5) \\ &= (1\ 4)(1\ 4)(4\ 8)(1\ 6\ 3\ 9\ 5) \\ &= (4\ 8)(1\ 6\ 3\ 9\ 5). \end{align*}

Finalement vous obtenez $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints :

\boxed{\sigma = (1\ 4)(3\ 1)(4\ 3)(5\ 3)(6\ 1)(8\ 4)(3\ 9) = (4\ 8)(1\ 6\ 3\ 9\ 5).}

Prolongement

Vous souhaitez voir comment l’effet de la multiplication à gauche par une transposition sur une permutation quelconque permet de trouver une définition de la signature d’une permutation, puis de montrer que la signature est un morphisme de groupes allant de l’ensemble des permutations de $E$ (muni de la composition) vers l’ensemble $\{-1,1\}$ muni de la multiplication dans les entiers relatifs ? Allez lire le contenu rédigé dans l'article 386.

384. La théorie des déterminants d’ordre 1 à 4 (partie 3/3)

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 25/10/202501/11/2025| Niveau Prépa

Ce document s’inscrit dans la continuité des contenus rédigés dans l'article 382 et dans l'article 383, les mêmes notations y sont reprises.

Les déterminants d’ordre 4

Quels que soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ vous définissez un déterminant d’ordre $4$ par le développement de la première ligne avec les déterminants d’ordre $3$ précédemment définis comme suit :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}.

Montrez que vous avez défini une forme $4$-linéaire sur les lignes

Pour la première ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ puis $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ puis $(b_{11}, b_{12}, b_{13}, b_{14})\in \A^4$ et $\lambda\in\A.$

Vous développez le déterminant ci-dessous par rapport à sa première ligne et constatez le caractère linéaire.

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} +\lambda b_{11} & a_{12} +\lambda b_{12} & a_{13} +\lambda b_{13} & a_{14} +\lambda b_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= (a_{11} +\lambda b_{11}) \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - (a_{12} +\lambda b_{12}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +(a_{13} +\lambda b_{13} ) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -(a_{14} +\lambda b_{14}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +\lambda\left( b_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - b_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right. \\ &\quad \left. +b_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -b_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Pour la deuxième ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ puis $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ puis $(b_{21}, b_{22}, b_{23}, b_{24})\in \A^4$ et $\lambda\in\A.$

Cette fois-ci, le développement du déterminant $D$ d’ordre $4$ par rapport à sa première ligne ne permet pas immédiatement de constater le caractère linéaire, comme le montre le calcul suivant :

\begin{align*} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} +\lambda b_{21} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21}+\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22}& a_{24}+\lambda b_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Vous utilisez maintenant le fait que les déterminants d’ordre $3$ ci-dessus sont linéaires par rapport à leur première ligne.

\begin{align*} D &= a_{11} \left( \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) - a_{12} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{23} & b_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &\quad +a_{13} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{14} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right). \end{align*}

Vous développez et factorisez par $\lambda.$

\begin{align*} D &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +\lambda\left( a_{11} \begin{vmatrix} b_{22} & b_{23} & b_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{23} & b_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \end{align*}

Ainsi :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} = D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} + \lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}.

Pour la troisième ligne et la quatrième ligne

Vous utilisez un raisonnement similaire à celui présenté pour la deuxième ligne. Pour des raisons de longueur, le choix d’omettre les détails a été adopté.

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa deuxième ligne

Par définition, le déterminant d’ordre $4$ se développe déjà par rapport à sa première ligne. Vous allez démontrer que cela reste vrai pour les autres lignes, mais des résultats préliminaires sont requis.

Les cas particuliers pour la deuxième ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$ Par définition, vous avez :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}.

Chaque déterminant d’ordre $3$ est alors développé par rapport à sa première ligne, si bien que :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}&= a_{11}\times 0 - a_{12} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &=-\left( a_{12} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{13} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right). \end{align*}

Vous reconnaissez le développement d’un déterminant d’ordre $3$ par rapport à sa première ligne. Donc :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}.

Pour les positions restantes, vous effectuez la même démarche.

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$ Ainsi :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}&= a_{11} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13}\left(- \begin{vmatrix} a_{31} & a_{34}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{14}\left(- \begin{vmatrix} a_{31} & a_{33}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{13} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{34}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{33}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}&= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\left(- \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{12}\left(- \begin{vmatrix} a_{31} & a_{34}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{14} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \\ &= -\left( a_{11} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{34}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}&= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\ \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{33}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Et la linéarité par rapport à la deuxième ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &=a_{21} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{24} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{21} \left( -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{23} \left( -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{24} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= -a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad -a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{24} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa troisième ligne

Les propriétés de développement des déterminants d’ordre $3$ sont utilisées. La méthode décrite reprend la même démarche que celle exposée précédemment.

Les cas particuliers pour la troisième ligne

Vous développez les déterminants proposés en utilisant la définition, puis vous utilisez le fait que les déterminants d’ordre $3$ se développent par rapport à leur deuxième ligne.

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 1 & 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 0\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= -a_{12}\left( - \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{13}\left( -\begin{vmatrix} a_{22} & a_{24}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{14} \left( - \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{12} \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{13} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \left(- \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= -\left( a_{11} \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \left( - \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \left( - \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{12} \left( - \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{13} \left( - \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= -\left( a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Et la linéarité par rapport à la troisième ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &=a_{31} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{34} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{32} \left( - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &\quad +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{34} \left( - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{34} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa quatrième ligne

Vous utilisez un raisonnement similaire à celui présenté pour la troisième ligne. Pour des raisons de longueur, le choix d’omettre les détails a été adopté.

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ est alterné sur les lignes

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ et $D$ le déterminant suivant :

D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}.

Supposez que le déterminant $D$ possède deux lignes identiques. Il existe un couple $(i,j)\in \llbracket 1, 4\rrbracket^2$ avec $i\neq j$ tel que les lignes $L_i$ et $L_j$ soient identiques.

Il existe alors un élément $k$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, 4\rrbracket\setminus \{i, j\}.$

Vous développez le déterminant $D$ par rapport à la ligne $k$ ce qui est possible puisque $D$ est développable sur ses lignes peu importe laquelle. Il apparaît 4 déterminants d’ordre $3$ qui possèdent chacun deux lignes identiquement nulles. Comme il a été vu que les déterminants d’ordre $3$ sont alternés, vous en déduisez qu’ils sont tous nuls.

Vous déduisez donc par développement que $D = 0.$

Le déterminant d’ordre $4$ est ainsi alterné.

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ vaut $1$ sur l’identité

Le développement du déterminant d’ordre $4$ par rapport à la première ligne fait apparaître le déterminant d’ordre $3$ sur l’identité qui vaut $1.$ Précisément :

\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} &=1 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} \\ &=1. \end{align*}

Concluez

Le déterminant d’ordre $4$ est une forme $4$-linéaire alternée sur les lignes, qui vaut $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.

Prolongement

Pourriez-vous utiliser des notations adaptées pour démontrer que la méthode utilisée pour les déterminants d’ordre $2$ puis $3$ et $4$ se généralise aux déterminants d’ordre $n$ dès que $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$ ?

383. La théorie des déterminants d’ordre 1 à 4 (partie 2/3)

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 22/10/202501/11/2025| Niveau Prépa

Ce document est le prolongement du contenu rédigé dans l'article 382, il en reprend les mêmes notations.

Les déterminants d’ordre 3

Quel que soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ vous définissez un déterminant d’ordre $3$ par le développement de la première ligne avec les déterminants d’ordre $2$ ce qui fournit :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix}.

Montrez que vous avez défini une forme $3$-linéaire sur les lignes

Pour la première ligne

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{11}, b_{12}, b_{13}, \lambda)\in\A^4.$

Vous développez le déterminant ci-dessous par rapport à sa première ligne et constatez le caractère linéaire.

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} + \lambda b_{11} & a_{12} + \lambda b_{12} & a_{13} + \lambda b_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= (a_{11} + \lambda b_{11}) \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -(a_{12} + \lambda b_{12}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(a_{13} + \lambda b_{13}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad + \lambda \left( b_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -b_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +b_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Pour la deuxième ligne

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{21}, b_{22}, b_{23}, \lambda)\in\A^4.$

Cette fois-ci, le développement du déterminant d’ordre $3$ par rapport à sa première ligne ne permet pas immédiatement de constater le caractère linéaire. Ce dernier provient du fait que tous les déterminants d’ordre $2$ apparaissant dans le calcul sont des formes $2$-linéaires, comme le montre le calcul suivant :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+ \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22} & a_{23} + \lambda b_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} + \lambda b_{22} & a_{23} + \lambda b_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} + \lambda b_{21} & a_{23} + \lambda b_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} + \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \left( \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{22} & b_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{12} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &\quad +a_{13} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} \\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +\lambda \left( a_{11} \begin{vmatrix} b_{22} &b_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Pour la troisième ligne

La méthode utilisée pour la deuxième ligne s’applique de façon similaire pour la troisième.

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{31}, b_{32}, b_{33}, \lambda)\in\A^4.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+ \lambda b_{31} & a_{32} + \lambda b_{32} & a_{33}+ \lambda b_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} + \lambda b_{32} & a_{33}+ \lambda b_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} + \lambda b_{31} & a_{33}+ \lambda b_{33} \\ \end{vmatrix} \\ &\quad + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} + \lambda b_{31} & a_{32}+ \lambda b_{32} \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \left( \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ b_{32} & b_{33} \\ \end{vmatrix} \right) -a_{12} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ b_{31} & b_{33} \\ \end{vmatrix} \right) \\ &\quad +a_{13} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +\lambda \left( a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ b_{32} & b_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ b_{31} & b_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ b_{31} & b_{32}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ se développe par rapport à sa deuxième ligne

Par définition, le déterminant d’ordre $3$ se développe déjà par rapport à sa première ligne. Vous allez démontrer que cela reste vrai pour les autres lignes, mais des résultats préliminaires sont requis.

Les cas particuliers pour la deuxième ligne

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^6.$ Par définition du déterminant d’ordre $3$ vous avez :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}(0\times a_{33} - 0\times a_{32})-a_{12}(1\times a_{33} - 0\times a_{31})+a_{13}(1\times a_{32}-0\times a_{31})\\ &= a_{11}\times 0-a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32}\\ &= - (a_{12}a_{33}- a_{13}a_{32}) \\ &= - \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

De même :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}a_{33}-a_{12}\times 0+a_{13}\times (-a_{31})\\ &= a_{11}a_{33} - a_{13}a_{31}\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\times (-a_{32}) -a_{12}\times (-a_{31})+a_{13}\times 0\\ &= a_{12}a_{31} - a_{11}a_{32}\\ &= - (a_{11}a_{32} - a_{12}a_{31}) \\ &= - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Et la linéarité par rapport à la deuxième ligne

$(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9.$

Vous utilisez la linéarité du déterminant par rapport à sa deuxième ligne :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 0 & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{21}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} + a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} + a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{21} \times \left(- \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}\right) +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{23} \times \left( - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \right) \\ &=-a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ se développe par rapport à sa troisième ligne

Les cas particuliers pour la troisième ligne

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$ Par définition du déterminant d’ordre $3$ vous avez :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 1 & 0 & 0\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\times 0 -a_{12}(- a_{23})+a_{13}(- a_{22})\\ &= a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\\ &= \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 1 & 0\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}(-a_{23})-a_{12}\times 0 + a_{13}a_{21}\\ &= a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23} \\ &= -(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\\ &= - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}+a_{13}\times 0\\ &= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Et la linéarité par rapport à la troisième ligne

$(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9.$

Vous utilisez la linéarité du déterminant par rapport à sa troisième ligne :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & 0 & 0\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & a_{32} & 0\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & a_{33}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{31}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 1 & 0 & 0\\ \end{vmatrix} + a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 1 & 0\\ \end{vmatrix} + a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \\ \end{vmatrix} -a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \\ \end{vmatrix} +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ est alterné sur les lignes

Cas où les lignes $2$ et $3$ sont identiques

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$

Le développement par rapport à la première ligne et le caractère alterné des déterminants d’ordre $2$ permet de conclure.

En effet :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{22} & a_{23}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{21} & a_{23}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\times 0+a_{12}\times 0+a_{13}\times 0\\ &=0. \end{align*}

Cas où les lignes $1$ et $3$ sont identiques

Dans ce cas, le développement par rapport à la première ligne ne permet plus de conclure en utilisant le même argument, parce que les déterminants d’ordre $2$ obtenus ne possèdent plus 2 lignes identiques.

Il a été démontré ci-dessus que le déterminant le développe par rapport à sa deuxième ligne, ce qui permet alors de conclure.

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$ Vous avez des déterminants d’ordre $2$ dont les lignes sont toutes identiques :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ \end{vmatrix} &= -a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{13} \\ \end{vmatrix} +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{11} & a_{13} \\ \end{vmatrix} -a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{11} & a_{12} \\ \end{vmatrix} \\ &= -a_{21}\times 0 + a_{22}\times 0 - a_{23}\times 0\\ &=0. \end{align*}

Cas où les lignes $1$ et $2$ sont identiques

Vous développez le déterminant par rapport à sa troisième ligne.

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^6.$ Vous avez :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &=a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{13} \\ \end{vmatrix} -a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{11} & a_{13} \\ \end{vmatrix} +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{11} & a_{12} \\ \end{vmatrix} \\ &=a_{31}\times 0 - a_{32}\times 0 + a_{33}\times 0\\ &=0. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ vaut $1$ sur l’identité

Le développement du déterminant d’ordre $3$ par rapport à la première ligne fait apparaître le déterminant d’ordre $2$ sur l’identité qui vaut $1.$ Précisément :

\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} &=1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &=1. \end{align*}

Concluez

Le déterminant d’ordre $3$ est une forme $3$-linéaire alternée sur les lignes, qui vaut $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.

Prolongement

Vous souhaitez savoir comment les déterminants d’ordre $3$ permettent de construire les déterminants d’ordre $4$ ? Allez lire le contenu dans l'article 384.

382. La théorie des déterminants d’ordre 1 à 4 (partie 1/3)

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 19/10/202501/11/2025| Niveau Prépa

Le but de cette série de trois articles est de démontrer que l’on peut définir de façon récursive le déterminant par son développement selon la première ligne en utilisant des déterminants d’ordre inférieur, tout en établissant ses propriétés fondamentales.

Vous démontrerez ainsi qu’un déterminant d’ordre $n$, pour $n$ compris entre $1$ et $4$ est une forme $n$-linéaire alternée sur les lignes, qui prend la valeur $1$ sur l’identité. Vous démontrerez aussi que de tels déterminants se développent par rapport à n’importe laquelle de leur ligne.

Dans toute la suite, vous supposez que les déterminants considérés prennent leurs valeurs dans un anneau commutatif unitaire noté $\A.$

Les déterminants d’ordre 1

Pour tout $a\in\A$ vous posez :

\begin{vmatrix} a \end{vmatrix} = a.

Cette application définit bien une forme $1$-linéaire sur sa ligne et qui prend la valeur $1$ sur l’identité.

Les déterminants d’ordre 2

Suivant la définition récursive, vous posez :

\forall (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\in\A^4, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} \end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} \end{vmatrix}.

Compte tenu de la définition du déterminant d’ordre $1$ vous avez :

\forall (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\in\A^4, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.

Note. Remarquez que :

\forall (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\in\A^4, \quad-a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} \end{vmatrix} +a_{22}\begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.

Le déterminant d’ordre $2$ peut être développé par rapport à sa seconde ligne.

Montrez que vous avez défini une forme $2$-linéaire sur les lignes

Pour la première ligne

Soit $(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}, b_{11}, b_{12}, \lambda )\in\A^7.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} + \lambda b_{11} & a_{12}+\lambda b_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} &= (a_{11} + \lambda b_{11}) a_{22} - (a_{12}+\lambda b_{12} )a_{21}\\ &=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+\lambda(b_{11}a_{22}-b_{12}a_{21})\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}. \end{align*}

La linéarité par rapport à la première ligne est démontrée.

Pour la deuxième ligne

Soit $(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}, b_{21}, b_{22}, \lambda) \in\A^7.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} + \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22} \end{vmatrix} &= a_{11} ( a_{22} + \lambda b_{22}) - a_{12} (a_{21} + \lambda b_{21})\\ &=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+\lambda(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{vmatrix}. \end{align*}

La linéarité par rapport à la deuxième ligne est démontrée.

Montrez que vous avez défini une forme alternée sur les lignes

Il est rappelé qu’une forme est dite alternée sur les lignes, si et seulement si, elle vaut $0$ dès que deux lignes sont identiques.

Soit $(a,b) \in\A^2.$ Comme l’anneau $\A$ est commutatif, vous avez :

\begin{vmatrix} a & b\\ a & b \end{vmatrix} = ab-ba = 0.

Montrez que vous avez défini une forme alternée qui vaut $1$ sur l’identité

Vous effectuez le calcul directement :

\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\times 1 - 0\times 0 = 1.

Concluez

Le déterminant d’ordre $2$ est une application $2$-linéaire alternée sur ses lignes, prenant la valeur $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.

Prolongement

Vous souhaitez voir comment cela se poursuit à l’ordre $3$ ? Allez lire le contenu rédigé dans l'article 383.

381. Une formule due à Machin avec la fraction 1/239

Rédigé par Yannis TRIANTAPHYLIDESon 16/10/202519/10/2025| Niveau Prépa

Le but de cet article est de démontrer, en utilisant les nombres complexes, que :

\frac{\pi}{4} = 4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}.

Cette formule est attribuée à Machin.

Introduisez deux nombres complexes

Vous posez :

\left\{\begin{align*} a &= 5+i\\ b&= 239+i. \end{align*} \right.

Mettez $a$ sous forme trigonométrique

Tour d’abord :

\begin{align*} \vert a \vert^2 &= 5^2+1^2\\ &=25+1\\ &=26. \end{align*}

Ainsi vous avez :

a= \sqrt{26}\left(\frac{5}{\sqrt{26}}+i\frac{1}{\sqrt{26}}\right).

D’autre part, comme $\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{1}{26}+\frac{5}{26}=1$ vous déduisez qu’il existe un unique $\alpha\in]-\pi, \pi]$ tel que :

\left\{\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{5}{\sqrt{26}}\\ \sin \alpha &= \frac{1}{\sqrt{26}}. \end{align*}\right.

De cette égalité vous déduisez :

\boxed{a = \sqrt{26}\,\e^{i\alpha}.}

Comme le sinus et le cosinus du nombre réel $\alpha$ sont strictement positifs, vous avez même $\alpha\in]0, \pi/2[.$

En calculant la tangente de $\alpha$ vous obtenez:

\begin{align*} \tan \alpha &= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{5}{\sqrt{26}}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{26}} \times \frac{\sqrt{26}}{5}\\ &= \frac{1}{5}. \end{align*}

Comme $\alpha \in ]-\pi/2, \pi/2[$ vous déduisez:

\boxed{\alpha = \arctan \frac{1}{5}.}

Mettez $b$ sous forme trigonométrique

De même, vous trouvez que:

\begin{align*} \vert b \vert^2 &= 239^2+1^2\\ &=57121+1\\ &=57122\\ &=2\times 28561\\ &= 2\times 169^2. \end{align*}

En posant $\boxed{\beta = \arctan \frac{1}{239}}$, vous trouvez que la forme trigonométrique de $b$ est:

\boxed{b = 169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}.}

Déterminez la forme trigonométrique d’un quotient

Le nombre $4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239} = 4\alpha – \beta$ n’est autre que l’argument du nombre complexe $\frac{a^4}{b}$ dont vous trouvez la forme trigonométrique:

\begin{align*} \frac{a^4}{b} & = \frac{(\sqrt{26}\,\e^{i\alpha})^4}{169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}}\\ &=\frac{26^2\,\e^{i4\alpha}}{169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}}\\ &=\frac{676 }{169\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\ &=\frac{4\times 169 }{169\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\ &=\frac{4}{\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\ &=\frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\ &=2 \sqrt{2}\,\e^{i(4\alpha-\beta)}. \end{align*}

Déterminez la forme algébrique du même quotient

Partant de $a = 5+i$ vous avez tout d’abord:

\begin{align*} a^2 &= 25-1+10i\\ &= 24+10i. \end{align*}

Ensuite:

\begin{align*} a^4 &= (a^2)^2\\ &= (24+10i)^2\\ &= 576-100+480i\\ &= 476+480i. \end{align*}

Ainsi:

\begin{align*} \frac{a^4}{b} &= \frac{476+480i}{239+i}\\ &= \frac{(476+480i)(239-i)}{239^2+1^2}\\ &=\frac{4(119+120i)(239-i)}{57122}\\ &=\frac{4\left[(119\times 239+120)+i(-119+120\times 239)\right]}{2\times 28561}\\ &=\frac{4(28561+28561i)}{2\times 28561}\\ &=\frac{4\times 28561(1+i)}{2\times 28561}\\ &=2(1+i)\\ &=2\sqrt{2} \, \e^{i\pi/4}. \end{align*}

Note. Il peut sembler surprenant que les nombres $119\times 239+120$ et $-119+120\times 239$ soient égaux. Cela peut être remarqué de la façon suivante :

\begin{align*} -119+120\times 239 &= -119+(119+1)\times 239\\ &= -119+239 + 119\times 239\\ &= 120 + 119\times 239. \end{align*}

Note. Pour voir que $119\times 239+120 =28561$ on peut écrire ce qui suit :

\begin{align*} 119\times 239+120 &= 119\times 239+119 + 1\\ &= 119\times 240 + 1\\ &= (120-1)\times 240 + 1\\ &= 120\times 240 - 240 + 1\\ &= 120\times 120\times 2 - 240 + 1\\ &= 14400\times 2 - 240 + 1\\ &= 28800- 240 + 1\\ &= 28560 + 1\\ &= 28561. \end{align*}

Concluez

Vous avez établi ce qui suit :

\frac{a^4}{b} = 2\sqrt{2} \, \e^{i\pi/4} = 2 \sqrt{2}\,\e^{i(4\alpha-\beta)}.

Donc il existe un entier relatif $k\in \Z$ tel que :

\frac{\pi}{4} = 4\alpha-\beta+2k\pi.

Pour montrer que $k = 0$ vous allez montrer que $4\alpha – \beta$ appartient à l’intervalle $[0, 2\pi/3].$

D’une part :

4\alpha -\beta = 3\alpha+(\alpha-\beta).

Comme $1/5$ est positif, $\alpha = \arctan \frac{1}{5}$ est positif aussi.

Il convient de constater aussi que $\frac{1}{5}\geq \frac{1}{239}.$ En appliquant la croissance de la fonction arctangente sur $\R$ vous déduisez que $\alpha \geq \beta.$ Donc $\alpha-\beta$ est positif.

Par somme, le réel $4\alpha-\beta$ est positif.

D’autre part, $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ avec $\pi/6$ appartenant à l’intervalle $]-\pi/2, \pi/2[$ si bien que $\frac{\pi}{6} = \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Or:

\begin{align*} 75\geq 9\\ 25\times 3\geq 9\\ 5\sqrt{3}\geq 3\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\geq\frac{1}{5}. \end{align*}

En appliquant la croissance de la fonction arctangente sur $\R$ vous déduisez que $\frac{\pi}{6}\geq \alpha.$

Donc $4\alpha \leq \frac{2\pi}{3}.$ Comme $\beta$ est positif:

4\alpha-\beta\leq 4\alpha\leq \frac{2\pi}{3}.

Ainsi:

4\alpha-\beta \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right].

Or, vous avez aussi :

\frac{\pi}{4} \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right].

Du coup :

\begin{align*} \left\vert \frac{\pi}{4}-(4\alpha-\beta) \right\vert \leq \frac{2\pi}{3}\\ 2\vert k \vert \pi \leq \frac{2\pi}{3}\\ \vert k \vert \leq \frac{1}{3}. \end{align*}

Comme $k$ est un nombre entier, vous avez $k=0$ et donc $\frac{\pi}{4} = 4\alpha-\beta.$

La formule de Machin est ainsi établie :

\boxed{\frac{\pi}{4} = 4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}.}

Prolongements

Pourriez-vous démontrer la formule de Machin précitée en utilisant les formules d’addition de la fonction tangente ?

Vous souhaitez voir une autre formule attribuée à Machin qui se base sur cette technique ? Rendez-vous dans le contenu rédigé dans l'article 035.