Soit $n$ un entier naturel. Vous allez calculer successivement les sommes $A_n = \sum_{k=1}^n 2^k$ et $B_n = \sum_{k=1}^n k2^k.$ Multipliez par $2$ et effectuez un changement de variable Cette idée va vous donner la réponse pour $A_n.$ $\begin{align*}2A_n &=…
Catégorie : Niveau Prépa
136. Unicité de la décomposition d’un nombre entier supérieur ou égal à 2 en produit de nombres premiers
Pouvez-vous justifier l'unicité sans utiliser les gros théorèmes de Gauss, Bezout, le lemme d'Euclide? La réponse est oui et sera la conséquence de l'argument de minimalité que l'on trouve dans l'ensemble $\N$ : toute partie de $\N$, non vide, admet…
135. Une égalité comportant un produit
Dans le cadre de la préparation à l'agrégation de mathématiques, il peut être utile de savoir démontrer que $\forall n\geq 3, 4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1.$ Définissez la propriété Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, notez $P(n)$…
134. Résolution d’un système non linéaire
Soit à résoudre le système suivant : $\left\{\begin{align*}x^2+xy &=28\\y^2+xy&=21\end{align*}\right.$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres réels. Effectuez une division euclidienne pour l'analyse Soit $(x,y)$ une solution du système proposé. Alors $x^2+xy-28=0$ et $xy+y^2-21=0.$ Travaillez avec $X$ comme…
133. Limite d’une suite géométrique dont la raison a une valeur absolue strictement inférieure à 1
Pourquoi la limite d'une telle suite est-elle égale à $0$ ? Il existe un moyen d'y parvenir avec les outils du lycée. Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$ Etablissez la monotonie de…
132. Diagonalisabilité d’une matrice
Cet article va étudier une matrice tirée du concours de l'Agrégation externe de mathématiques, session 2020.
130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes
L'objectif de cet article de démontrer que $\forall (z,z')\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z')=\mathrm{exp}(z+z').$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite…
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129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus
D'après l'article 128, pour tout réel $x$, vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L'exponentielle d'un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module 1 Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN$,…
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128. Une définition de l’exponentielle
Soit $z$ un nombre complexe fixé. Considérez la suite suivante définie par $\forall n\in\NN, u_n = \left(1+\frac{z}{n}\right)^n.$ Vous allez démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\NN}$ est convergente. Sa limite sera notée $\mathrm{exp}(z)$ et appelée exponentielle de $z.$ Les suites de Cauchy…
127. Longueur d’une bissectrice
Comment calculer la longueur d'une bissectrice dans un triangle connaissant la longueur des trois côtés de ce triangle? Le calcul vectoriel auquel vous allez ajouter le produit scalaire permettront de répondre. Il existe bien d'autres constructions, très astucieuses, permettant d'obtenir…