Calculez les puissances successives de $\alpha$ et procédez par élimination.
109. Comment trouver un polynôme annulateur à coefficients entiers de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ?
Catégorie : Niveau Prépa
108. Dérivabilité au sens complexe et équations de Cauchy-Riemann
Soit $z$ un nombre complexe fixé et $f$ une fonction à valeurs complexes définie sur une partie ouverte $U\subset\C$ contenant $z.$ Le nombre $z$ est contenu dans une petite boule ouverte, elle-même contenue dans l'ouvert $U$. Cette notion est essentielle…
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107. Calcul des cosinus de $2\pi / 7$, $4\pi / 7$ et $6\pi / 7$
Soit $\alpha = \dfrac{2\pi}{7}.$ Le but de l'article est de trouver une équation polynomiale qui caractérise $u=\cos \alpha$, $v=\cos (2\alpha)$ et $w=\cos (3\alpha).$ Factorisez le polynôme $X^7-1$ dans $\C[X]$ Les 7 nombres complexes $1$, $\e^{i\alpha}$, $\e^{-i\alpha}$, $\e^{2i\alpha}$, $\e^{-2i\alpha}$, $\e^{3i\alpha}$ et…
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106. Le calcul du cosinus de 36° et du cosinus de 72°
Un angle de $36°$ correspond, en radians, à un angle de $\dfrac{\pi}{5}$. De même un angle de $72°$ admet une mesure en radians égale à $\dfrac{2\pi}{5}$. Les nombres complexes permettent de trouver les valeurs des cosinus de $\dfrac{2\pi}{5}$ et du…
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105. Décomposition en éléments simples dans $\R(X)$, niveau 3
Vous allez voir qu'il est tout à fait possible de trouver la décomposition en éléments simples en effectuant, dès le début, un changement de variable sur les éléments de seconde espèce. Soit à trouver la décomposition en éléments simples dans…
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102. Décomposition en éléments simples dans $\R(X)$, niveau 2
Au lieu de séparer d'un seul coup toutes les parties polaires, vous allez utiliser la division selon les puissances croissantes, qui va séparer une partie polaire des autres. La dernière partie polaire sera traitée avec la division euclidienne. Utilisez la…
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101. Décomposition en éléments simples dans $\R(X)$, niveau 1
Pour comprendre le principe général et trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $F(X)=\dfrac{X^4+1}{X^2(X^2+X+1)^2}$, vous pouvez utiliser avec le théorème de Bezout et la division euclidienne comme outils. Le théorème de Bezout va vous permettre de séparer…
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100. Diagonalisation simultanée
Découvrez un exemple de diagonalisation simultanée de deux matrices.
099. Axiomatique de $\N$
L'ensemble des entiers naturels noté $\N$ est formé de tous les entiers positifs en commençant par $0$ qui est lui aussi positif. Il est impossible de démontrer que l'ensemble $\N$ existe : on travaille à partir d'axiomes qui justifient son…
098. Calcul de $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ln (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x$
Exemple d'une intégrale très technique.