Contexte Les nombres premiers constituent des éléments très importants dans l'étude des nombres. Qu'est-ce qu'un nombre premier ? On entend souvent qu'un nombre est premier, si et seulement si, il n'est divisible que par 1 et par lui-même. Cette assertion…
Catégorie : Niveau Prépa
125. Dérivées croisées
Les fonctions de deux variables suffisamment régulières vérifient l'égalité des dérivées croisées. Cela se produit à partir du théorème de Schwarz, qui exprime que, sous certaines conditions, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.$ Cet article…
124. Equations de degré 4, des palindromes au cas général
Dans cet article, vous recherchez un moyen de trouver tous les candidats potentiels d'une équation réelle de degré 4. Les exemples sont choisis pour que les calculs restent compréhensibles bien que longs sur la fin de l'article. Vous allez constater…
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122. Racine de 2 est irrationnel
Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l'équation $x^2=2.$ Vous allez démontrer qu'il n'existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$ Un tel résultat constitue l'irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l'ensemble $\Q$…
121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées
Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$ Quels outils seront utilisés? Vous allez utiliser le développement d'une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$ Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$ Vous allez utiliser des propriétés…
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120. Aire sous la parabole
Considérez la courbe $\cc$ d'équation $y=x^2$, lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[0,1].$ On note $\aa$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\cc$, l'axe des abscisses et la droite verticale d'équation $x=1.$ Comment trouver la valeur de $\aa$? Minorez la valeur…
119. Homothéties et translations
Utilisez des homothéties et des translations pour montrer que des points sont alignés.
116. Comment savoir si un vecteur se décompose ?
Découvrez comment l'échelonnement réduit d'une matrice permet de savoir si un vecteur est décomposable sur d'autres.
113. Diagonalisation et formules de changements de bases
Grâce à l'associativité du produit matriciel, vous pourrez comprendre d'où vient la formule de changement de base $D=P^{-1}AP$.
112. Calcul des cosinus de pi/7, 3pi/7 et 5pi/7
Utilisez les factorisations du polynôme $X^7+1$ dans $\R[X]$ et dans $\C[X]$ pour trouver les trois racines du polynôme $8X^3-4X^2-4X+1.$