Des techniques efficaces permettent de calculer rapidement des carrés sans avoir recours à une calculatrice, en exploitant la structure des nombres pour simplifier les opérations.
Principe
Quels que soient les entiers $a$ et $b$, le développement de l’identité remarquable $(10a+b)^2$ fournit :
\begin{align*}
(10a+b)^2 &= 100a^2+20ab+b^2\\
&=100a^2+10\times (2ab)+b^2\\
&= (100a^2+b^2) + 10\times (2ab).
\end{align*}Déterminez les carrés de nombres à deux chiffres
Exemple : calculez le carré de $37$
Lorsque $a = 3$ et $b=7$, vous obtenez $2ab = 42$ puis :
37^2 = (100\times 9 + 49) + 10\times 42 .
Cela peut fournit :
\begin{align*}
37^2&= 949 + 420.
\end{align*} Le nombre $949$ s’obtient en collant $3^2$ et $7^2$ qui sont des deux chiffres du nombre de départ.
Le $42$ s’obtient en multipliant $3\times 7$ puis en doublant par $2.$
Ce mécanisme peut être automatisé de la façon suivante, en écrivant :
\boxed{37^2 = 0 \overset{\scriptstyle 4}{9} \overset{\scriptstyle 2}{4} 9 = 1369.}Exemple : calculez le carré de $67$
Vous calculez d’abord le produit $6\times 7$ puis vous doublez, ce qui fournit $6\times 7 = 42$ puis $42\times 2 = 84.$
Vous collez les résultats de $6^2$ et de $7^2$ ce qui fournit :
\boxed{67^2 = 3 \overset{\scriptstyle 8}{6} \overset{\scriptstyle 4}{4} 9 = 4489.}Déterminez les carrés de nombres à trois chiffres
Exemple : calculez le carré de $678$
Vous calculez d’abord le carré de $67.$ Cela a été effectué précédemment. Il vient $67^2 =4489.$
Puis vous collez à ce nombre le carré du chiffres des unités de $678$ soit $8^2=64.$
Il reste à calculer $8\times 67 \times 2.$ Cette fois vous utilisez :
\begin{align*}
8\times 67\times 2 &= 8\times 134\\
&=1072.
\end{align*}Il en résulte que :
\boxed{678^2 = 4 \overset{\scriptstyle 1}{4} \overset{\scriptstyle 0}{8} \overset{\scriptstyle 7}{9} \overset{\scriptstyle 2}{6}4=45\overset{\scriptstyle 1}{8} 684 = 459684.}Exemple : calculez le carré de $348$
Vous calculez d’abord le carré de $34.$
Les opérations mentales sont les suivantes :
\begin{align*}
3^2 &= 09\\
4^2 &= 16\\
3\times 4\times 2 &= 24.
\end{align*}Du coup :
\boxed{34^2 = 0 \overset{\scriptstyle 2}{9} \overset{\scriptstyle 4}{1} 6 = 1156.}Pour le carré de $348$ les opérations deviennent :
\begin{align*}
34^2 &= 1156\\
8^2 &= 64\\
34\times 8\times 2 &= 272\times 2 = 544.
\end{align*}Par conséquent :
\boxed{348^2 = 11\overset{\scriptstyle 5}{5} \overset{\scriptstyle 4}{6} \overset{\scriptstyle 4}{6} 4 = 1\overset{\scriptstyle 1}{1}\overset{\scriptstyle 1}{0}\overset{\scriptstyle 1}{0}04 = 121104.}Pour aller plus loin
Soit à calculer le carré de $3482.$
Les opérations mentales sont les suivantes :
\begin{align*}
348^2 &= 121104\\
2^2 &= 04\\
348\times 2\times 2 &= 696 \times 2 = 1392.
\end{align*}En définitive :
\boxed{3482^2 = 121\overset{\scriptstyle 1}{1}\overset{\scriptstyle 3}{0}\overset{\scriptstyle 9}{4}\overset{\scriptstyle 2}{0}4= 1212\overset{\scriptstyle 1}{3}324=12124324.}Partagez !
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