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345. Calculez les carrés d’un nombre comportant deux, trois chiffres ou plus

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Des techniques efficaces permettent de calculer rapidement des carrés sans avoir recours à une calculatrice, en exploitant la structure des nombres pour simplifier les opérations.

Principe

Quels que soient les entiers $a$ et $b\comma$ le développement de l’identité remarquable $(10a+b)^2$ fournit :

\begin{align*} (10a+b)^2 &= 100a^2+20ab+b^2\\ &=100a^2+10\times (2ab)+b^2\\ &= (100a^2+b^2) + 10\times (2ab). \end{align*}

Lorsque $b$ est un chiffre, son carré $b^2$ s’écrit avec deux chiffres, quitte à ajouter un $0$ devant : par exemple, le carré de $2$ s’écrit $04.$ Le nombre $100a^2+b^2$ s’obtient alors simplement en accolant l’écriture de $a^2$ et celle de $b^2.$ Il reste à lui ajouter $10\times(2ab)\comma$ c’est-à-dire le nombre $2ab$ décalé d’un rang vers la gauche.

Déterminez les carrés de nombres à deux chiffres

Exemple : calculez le carré de $37$

Lorsque $a = 3$ et $b=7\comma$ vous obtenez $2ab = 42$ puis :

37^2 = (100\times 9 + 49) + 10\times 42.

Cela fournit :

37^2= 949 + 420.

Le nombre $949\comma$ écrit $0949\comma$ s’obtient en accolant $3^2 = 09$ et $7^2 = 49\comma$ carrés des deux chiffres du nombre de départ.

Le nombre $42$ s’obtient en multipliant $3$ par $7$ puis en doublant le résultat.

Ce mécanisme peut être automatisé en écrivant les chiffres de $2ab$ au-dessus des chiffres de $a^2$ et $b^2$ accolés, décalés d’un rang vers la gauche par rapport au chiffre des unités. Chaque petit chiffre placé au-dessus s’ajoute au chiffre situé en dessous, en propageant les retenues de la droite vers la gauche :

\boxed{37^2 = 0 \overset{\scriptstyle 4}{9} \overset{\scriptstyle 2}{4} 9 = 1369.}

Exemple : calculez le carré de $67$

Vous calculez d’abord le produit $6\times 7$ puis vous doublez, ce qui fournit $6\times 7 = 42$ puis $42\times 2 = 84.$

Vous accolez les résultats de $6^2$ et de $7^2$ ce qui fournit :

\boxed{67^2 = 3 \overset{\scriptstyle 8}{6} \overset{\scriptstyle 4}{4} 9 = 4489.}

Déterminez les carrés de nombres à trois chiffres

Le principe s’applique encore en prenant pour $a$ le nombre formé par les deux premiers chiffres et pour $b$ le chiffre des unités.

Exemple : calculez le carré de $678$

Vous calculez d’abord le carré de $67.$ Cela a été effectué précédemment. Il vient $67^2 =4489.$

Puis vous accolez à ce nombre le carré du chiffre des unités de $678\comma$ soit $8^2=64.$

Il reste à calculer $8\times 67 \times 2.$ Cette fois vous utilisez :

\begin{align*} 8\times 67\times 2 &= 8\times 134\\ &=1072. \end{align*}

Il en résulte que :

\boxed{678^2 = 4 \overset{\scriptstyle 1}{4} \overset{\scriptstyle 0}{8} \overset{\scriptstyle 7}{9} \overset{\scriptstyle 2}{6}4=45\overset{\scriptstyle 1}{8} 684 = 459684.}

Exemple : calculez le carré de $348$

Vous calculez d’abord le carré de $34.$

Les opérations mentales sont les suivantes :

\begin{align*} 3^2 &= 09\\ 4^2 &= 16\\ 3\times 4\times 2 &= 24. \end{align*}

Du coup :

\boxed{34^2 = 0 \overset{\scriptstyle 2}{9} \overset{\scriptstyle 4}{1} 6 = 1156.}

Pour le carré de $348$ les opérations deviennent :

\begin{align*} 34^2 &= 1156\\ 8^2 &= 64\\ 34\times 8\times 2 &= 272\times 2 = 544. \end{align*}

Par conséquent :

\boxed{348^2 = 11\overset{\scriptstyle 5}{5} \overset{\scriptstyle 4}{6} \overset{\scriptstyle 4}{6} 4 = 1\overset{\scriptstyle 1}{1}\overset{\scriptstyle 1}{0}\overset{\scriptstyle 1}{0}04 = 121104.}

Pour aller plus loin

Soit à calculer le carré de $3482.$ Vous prenez cette fois $a = 348$ et $b = 2.$

Les opérations mentales sont les suivantes :

\begin{align*} 348^2 &= 121104\\ 2^2 &= 04\\ 348\times 2\times 2 &= 696 \times 2 = 1392. \end{align*}

En définitive :

\boxed{3482^2 = 121\overset{\scriptstyle 1}{1}\overset{\scriptstyle 3}{0}\overset{\scriptstyle 9}{4}\overset{\scriptstyle 2}{0}4= 1212\overset{\scriptstyle 1}{3}324=12124324.}