Cet exposé complète le contenu rédigé dans l'article 361.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Pour toute partie $A$ de $\Z$ vous direz que $A$ constitue un ensemble d’entiers non congruents modulo $n$ si et seulement si :
\forall (x,y)\in A^2, (x \equiv y \mod n) \implies x=y.
Un système complet de congruences modulo $n$ est nécessairement un ensemble d’entiers non congruents modulo $n$
Soit $A$ un système complet de congruences modulo $n.$
Il est rappelé que l’ensemble $A$ vérifie la propriété $\mathscr{P}$ qui est : « pour tout entier relatif $x$, il existe un unique $a\in A$ tel que $x\equiv a \mod n.$ »
Soient maintenant $(x,y)\in A^2$ un couple d’éléments de $A$ tels que $x\equiv y \mod n.$
$y$ est un élément de $A$ vérifiant $x\equiv y \mod n.$
Or, $x$ est aussi un élément de $A$ tel que $x\equiv x \mod n.$
D’après la propriété $\mathscr{P}$ appliquée à $x$, vous déduisez par unicité que $x=y.$
Tout ensemble d’entiers non congruents modulo $n$ qui possède exactement $n$ éléments est un système complet de congruences modulo $n$
Soit $A$ une partie de $\Z$ comportant exactement $n$ éléments, vous les notez $a_1, \dots, a_n$ avec $a_1<\cdots<a_n.$ Supposez de plus que $A$ soit un ensemble d’entiers non congruents modulo $n.$
Soit $x$ un entier relatif fixé.
Vous raisonnez par l’absurde et supposez qu’il n’existe aucun élément $a\in A$ tel que $x\equiv a \mod n.$
Vous utilisez le fait que l’ensemble $\llbracket 0, n-1\rrbracket$ est un système complet de congruences modulo $n.$ Pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$ il existe un unique $r_i\in\llbracket 0, n-1\rrbracket$ tel que $a_i\equiv r_i \mod n.$ De même, il existe un unique $r\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$ tel que $x\equiv r\mod n.$
Notez que s’il existe $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$ tel que $r = r_i$ alors $x \equiv r \equiv r_i \equiv a_i \mod n$ ce qui fournit, par transitivité de la congruence, $x\equiv a_i\mod n.$ Or, cela est une contradiction.
Par conséquent, pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket, r_i \neq r.$
L’ensemble $\{ r_i, 1\leq i\leq n\}$ est inclus dans l’ensemble $\llbracket 0,n-1\rrbracket \setminus \{r\}$ qui comporte $n-1$ éléments. Utilisant le principe des tiroirs, vous déduisez qu’il existe $(i,j)\in\llbracket 1, n\rrbracket ^2$ tel que $i<j$ et $r_i=r_j.$
Vous déduisez $a_i\equiv r_i \equiv r_j \equiv a_j \mod n$ et par transitivité $a_i\equiv a_j \mod n.$ Comme $A$ est un ensemble d’entiers non congruents modulo $n$, cela implique $a_i=a_j.$ Or $i<j$ donc $a_i < a_j$ d’où une contradiction.
Il a été démontré que :
\forall x\in \Z, \exists a\in A, x\equiv a\mod n.
Soit $x$ un entier relatif. Supposez qu’il existe $(a,a’)\in A^2$ tel que :
\begin{align*}
x\equiv a\mod n\\
x\equiv a' \mod n.
\end{align*}Alors $a\equiv a’\mod n$ et comme $A$ est un ensemble d’entiers non congruents, vous avez $a=a’.$
Ainsi :
\forall x\in \Z, \exists !a\in A, x\equiv a\mod n.
L’ensemble $A$ est bien un système complet de congruences modulo $n.$
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !