Très connu sous la version suivante « de toute suite réelle bornée, il est possible d’extraire une sous-suite convergente », le théorème de Bolzano-Weierstrass admet une version équivalente que vous allez démontrer directement, à savoir : toute partie $A$ infinie et bornée de $\R$ admet au moins un point d’accumulation.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 396.

Soit $A$ une partie infinie et bornée de $\R.$ Il existe un réel $m$ et un réel $M$ tels que :

Mobilisez deux notions importantes

Point d’accumulation

Par définition, la partie $A$ de $\R$ admet un point d’accumulation, si et seulement si, il existe un nombre réel $u$ tel que, pour tout $\varepsilon \gt 0\comma$ il existe un élément $a\in A$ distinct de $u$ vérifiant $u-\varepsilon \leq a \leq u+\varepsilon.$

Quasi-majorant

Un réel $x$ sera qualifié de quasi-majorant de $A\comma$ si et seulement si, les éléments de $A$ qui sont supérieurs ou égaux à $x$ sont en nombre fini. Autrement dit, $x$ est un quasi-majorant de $A\comma$ si et seulement si, l’ensemble $\{a\in A, a\geq x\}$ est fini.

Montrez que l’ensemble des quasi-majorants de $A$ admet une borne inférieure $\beta$

Soit $B$ l’ensemble des quasi-majorants de la partie $A.$

Comme $\forall a\in A, a\leq M\comma$ le réel $M$ est un majorant de $A.$

Si $a$ est un élément de $A$ supérieur ou égal à $M$ vous avez $a\geq M$ et $a\leq M$ donc $a=M.$

Par conséquent vous avez l’inclusion suivante :

L’ensemble $\{a\in A, a\geq M\}$ est donc fini, ce qui prouve que $M$ est un quasi-majorant de $A.$

Comme $M\in B\comma$ l’ensemble $B$ est non vide.

Soit $b$ un élément de $B\comma$ c’est-à-dire un quasi-majorant de $A.$ L’ensemble $\{a\in A, a\geq b\}$ est fini. Comme $A$ est infini, il existe un réel $a_0\in A$ tel que $a_0\notin \{a\in A, a\geq b\}.$ Donc $a_0 \lt b.$ Comme $m$ est un minorant de $A\comma$ vous avez $m\leq a_0$ et par transitivité $m\leq b.$

Vous avez montré que :

L’ensemble $B$ est minoré par $m.$

Comme $B$ est une partie non vide de $\R$ qui est minorée, elle admet une borne inférieure que vous noterez $\beta.$

Note. Le réel $\beta$ est aussi appelé limite supérieure de l’ensemble $A\comma$ il est courant de le noter $\overline{\lim} A.$

Montrez que $\beta$ est un point d’accumulation de $A$

Pour le réel $\beta\comma$ deux cas se présentent.

Le réel $\beta$ n’appartient pas à $B$

Dans ce cas, $\beta$ n’est pas un quasi-majorant de $A$ donc l’ensemble $V=\{a\in A, a\geq \beta\}$ est infini.

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.

D’une part, le réel $\beta$ est le plus grand des minorants de $B.$ Le réel $\beta+\varepsilon$ est strictement plus grand que le plus grand des minorants de $B.$ Donc $\beta+\varepsilon$ n’est pas un minorant de $B.$ Donc il existe un élément $b\in B\comma$ quasi-majorant de $A\comma$ tel que $b \lt\beta+\varepsilon.$

D’autre part, $\beta$ minore $B$ et $b\in B$ donc $\beta \leq b.$ Si l’égalité $\beta = b$ était satisfaite, vous auriez $\beta \in B$ ce qui est absurde. Donc $\beta \lt b.$

Or, vous avez l’inclusion :

Si l’ensemble $\{a\in A, \beta \lt a \lt b\}$ était fini, alors $V$ serait fini aussi, ce qui est absurde. Donc $\{a\in A, \beta \lt a \lt b\}$ est infini. Vous en déduisez qu’il est non vide, donc il existe $a_0\in A$ tel que $\beta \lt a_0 \lt b.$ Or, $b\lt\beta+\varepsilon$ d’où $\beta \lt a_0 \lt \beta+\varepsilon.$

Ainsi il a été montré que :

Le réel $\beta$ appartient à $B$

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.

Si le réel $\beta – \varepsilon$ était un élément de $B\comma$ vous auriez $\beta \leq \beta – \varepsilon$ compte tenu du fait que $\beta$ est un minorant de $B\comma$ ce qui est absurde. Donc $\beta-\varepsilon$ n’appartient pas à $B.$ Cela signifie que l’ensemble $W = \{a\in A, a\geq \beta-\varepsilon \}$ est infini.

Comme $\beta\in B\comma$ le réel $\beta$ est un quasi-majorant de $A$ donc l’ensemble $\{a\in A, a\geq \beta\}$ est fini.

Or, vous avez l’inclusion suivante :

Si l’ensemble $\{a\in A, \beta – \varepsilon \lt a \lt \beta\}$ était fini, alors $W$ serait fini, ce qui est absurde. Donc l’ensemble $\{a\in A, \beta – \varepsilon \lt a \lt \beta\}$ est infini, en particulier, il est non vide.

Vous avez montré que :

Concluez

De la section précédente, vous déduisez que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un élément $a\in A$ tel que $a\in ]\beta-\varepsilon, \beta+\varepsilon[\setminus \{\beta\}.$ Autrement dit, $\beta$ est un point d’accumulation de l’ensemble $A.$

La version « point d’accumulation » du théorème de Bolzano-Weierstrass est démontrée.

Prolongement

Pourriez-vous démontrer que les deux énoncés du théorème de Bolzano-Weierstrass sont équivalents ? Autrement dit, que « toute suite réelle bornée admet une suite extraite convergente » équivaut à « toute partie infinie et bornée de $\R$ admet au moins un point d’accumulation » ?