Soit $F$ une partie fermée et bornée de $\R.$ Vous supposez que $F$ est recouverte par une famille d’ouverts de $\R.$

Il existe un ensemble $I$ et une famille d’ouverts de $\R$ notée $(U_i)_{i\in I}$ tels que :

L’objectif est de démontrer que $F$ admet un sous-recouvrement fini de cette famille.

Comme $F$ est bornée, il existe un réel $M$ strictement positif tel que :

Ainsi :

Soit maintenant $x$ un élément de $[-M,M].$

Si $x\in F\comma$ alors il existe $i\in I$ tel que $x\in U_i.$

Si $x\notin F\comma$ alors $x\in F^{\complement}\comma$ où $F^{\complement} = \R \setminus F.$ Comme $F$ est une partie fermée de $\R\comma$ la partie $F^{\complement}$ est un ouvert de $\R.$

Ces observations prouvent que l’ensemble $[-M,M]$ est recouvert par une famille d’ouverts de $\R.$ En effet :

D’après l’article précédent, vous déduisez qu’il existe une partie finie $J$ de $I$ telle que :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 400.

Soit $f\in F$ un élément de $F.$ Comme $F\subset [-M,M]$ vous déduisez $f \in F^{\complement}\cup \bigcup_{i\in J} U_i.$ Mais comme $f\notin F^{\complement}\comma$ vous avez $f\in \bigcup_{i\in J} U_i.$

Ainsi :

Toute partie fermée et bornée de $\R$ vérifie la propriété de Heine-Borel.