Dans cet article, vous établissez un résultat préliminaire. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a$ soit strictement inférieur à $b.$ Soient $I$ un ensemble et $(U_i)_{i\in I}$ une famille d’ouverts de $\R$ qui recouvrent le segment $[a,b].$ Vous avez :
[a,b]\subset \bigcup_{i\in I} U_i.Vous allez démontrer qu’il existe une partie finie $J\subset I$ telle que :
[a,b]\subset \bigcup_{i\in J} U_i.Introduisez un ensemble et montrez l’existence de sa borne supérieure
Soit $E$ la partie de $\R$ définie par l’ensemble des réels $x\in[a,b]$ tels qu’il existe une partie $J$ finie de $I\comma$ vérifiant $[a,x]\subset \bigcup_{i\in J} U_i.$
Comme $a\in[a,b]$ et comme $[a,b]\subset \bigcup_{i\in I} U_i\comma$ il existe un élément $\alpha\in I$ tel que $a\in U_{\alpha}.$ Ainsi :
[a,a]\subset U_{\alpha}.En prenant $J = \{\alpha\}\comma$ vous constatez que :
[a,a]\subset \bigcup_{i\in J} U_i.Vous avez prouvé que $a\in E\comma$ donc $E$ est non vide.
Or, tout élément de $E$ est majoré par $b.$ Donc la partie $E$ admet une borne supérieure, que vous allez noter $s.$
Montrez que $s=b$
D’une part, $s$ est un majorant de $E$ et $a$ appartient à $E\comma$ donc $a\leq s.$
D’autre part, $s$ est le plus petit des majorants de $E$ et $b$ est un majorant de $E\comma$ donc $s\leq b.$
Ainsi, $s\in[a,b].$ Comme l’intervalle $[a,b]$ est inclus dans $\bigcup_{i\in I} U_i\comma$ il existe $\sigma\in I$ tel que $s\in U_{\sigma}.$ Comme $U_{\sigma}$ est une partie ouverte de $\R\comma$ il existe un réel $\delta$ strictement positif tel que $]s-\delta, s+\delta[ \subset U_{\sigma}.$
Vous supposez maintenant que $s\neq b\comma$ d’où $s\in [a,b[.$ Vous considérez le réel strictement positif $\varepsilon$ défini par $\varepsilon = \min\left(\frac{\delta}{2}, \frac{b-s}{2}\right).$ Le réel $s-\varepsilon$ est strictement inférieur à $s$ qui est le plus petit des majorants de $E.$ Donc $s-\varepsilon$ n’est pas un majorant de $E.$ Donc il existe $e\in E$ tel que $s-\varepsilon \lt e \leq s$ et il existe une partie finie $J$ de $I$ telle que:
[a,e]\subset \bigcup_{i\in J} U_i.Or, $[e, s+\varepsilon] \subset [s-\varepsilon, s+\varepsilon]$ et $[s-\varepsilon, s+\varepsilon]\subset ]s-\delta, s+\delta[\subset U_{\sigma}.$
Par conséquent:
[a,s+\varepsilon] \subset \bigcup_{i\in J\cup \{\sigma\}} U_i.Or, $s+\varepsilon \in[a,b].$ Comme $J\cup\{\sigma\}$ est une partie finie de $I\comma$ il en résulte que $s+\varepsilon \in E.$ Comme $s$ majore $E\comma$ il vient $s+\varepsilon \leq s$ d’où $\varepsilon \leq 0\comma$ ce qui est absurde.
Donc $s=b.$
Concluez
Comme $b\in [a,b]\comma$ il existe $\beta\in I$ tel que $b\in U_{\beta}.$ Comme $U_{\beta}$ est une partie ouverte de $\R\comma$ il existe un réel $\mu$ strictement positif tel que $]b-\mu, b+\mu[ \subset U_{\beta}.$ Posez $\tau = \frac{\mu}{2}\comma$ qui est un réel strictement positif. D’une part, $[b-\tau, b] \subset U_{\beta}.$ D’autre part, comme $b-\tau$ est strictement inférieur à $b$ qui est le plus petit majorant de $E\comma$ $b-\tau$ n’est pas un majorant de $E.$ Donc il existe $f\in E$ tel que $b-\tau \lt f \leq b.$ Il existe une partie finie $K$ de $I$ telle que :
[a,f]\subset \bigcup_{i\in K} U_i.Or, $[f,b]\subset [b-\tau, b]\subset U_{\beta}.$ Du coup :
[a,b]\subset \bigcup_{i\in K\cup\{\beta\}} U_i.Comme la partie $K\cup \{\beta\}$ est finie et est incluse dans $I\comma$ vous avez démontré que $[a,b]$ admet bien un sous-recouvrement fini.
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