403. Caractérisez deux matrices complexes qui ont une valeur propre en commun

Dans ce contenu, vous notez $M_n(\C)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients complexes et $M_{n,1}(\C)$ l’ensemble des matrices à coefficients complexes comportant $n$ lignes et une seule colonne.

Pour toute matrice $M\in M_n(\C)\comma$ la notation $M^{\top}$ désigne la matrice transposée de $M.$ La notation $I$ désigne la matrice identité de $M_n(\C).$

Démontrez un lemme

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\C)\comma$ qui ne sont pas inversibles.

Vous considérez l’endomorphisme $\varphi$ défini par :

\forall N\in M_n(\C), \varphi(N)=AN-NB.

Comme la matrice $A$ n’est pas inversible, il existe un vecteur $X$ de $M_{n,1}(\C)\comma$ non nul, tel que :

\boxed{AX = 0.}

Il existe $n$ nombres complexes $x_1,\dots, x_n$ tels que $X = \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}.$

La matrice $B$ n’est pas inversible, donc $\det B = 0.$ Or, $\det B = \det B^{\top}$ donc $\det B^{\top} = 0.$ Par conséquent, la matrice $B^{\top}$ n’est pas inversible.

Du coup, il existe un vecteur $Y$ de $M_{n,1}(\C)\comma$ non nul, tel que $B^{\top} Y = 0$ ce qui donne, en transposant :

\boxed{Y^{\top} B = 0.}

Il existe $n$ nombres complexes $y_1,\dots, y_n$ tels que $Y = \begin{pmatrix}y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}.$

Vous considérez la matrice $M$ de $M_n(\C)$ définie par $\boxed{M = XY^{\top}.}$ Comme $X$ n’est pas nul, il existe un entier $i$ appartenant à $\llbracket 1, n \rrbracket$ tel que $x_i\neq 0.$ Comme $Y$ n’est pas nul, il existe un entier $j$ appartenant à $\llbracket 1, n \rrbracket$ tel que $y_j\neq 0.$ Or, le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de la matrice $M$ est $x_iy_j.$ Il n’est donc pas nul et $M$ n’est pas la matrice nulle.

\begin{align*} \varphi(M) &= AM-MB\\ &= AXY^{\top}-XY^{\top}B\\ &= (AX)Y^{\top}-X (Y^{\top}B)\\ &= 0\cdot Y^{\top}-X \cdot 0\\ &=0. \end{align*}

Ainsi, le noyau $\ker \varphi$ n’est pas réduit à la matrice nulle donc $\varphi$ est un endomorphisme de $M_n(\C)$ qui n’est pas bijectif.

Le théorème

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\C)$ qui possèdent une valeur propre commune.

Il existe un nombre complexe $\lambda$ tel que les matrices $A-\lambda I$ et $B-\lambda I$ ne sont pas inversibles.

Vous considérez l’endomorphisme $\varphi$ de $M_n(\C)$ défini par :

\forall N\in M_n(\C), \varphi(N)=(A-\lambda I)N-N(B-\lambda I).

D’après le lemme, il existe une matrice non nulle $M$ de $M_n(\C)$ telle que $\varphi(M)=0.$

Cela fournit :

\begin{align*} (A-\lambda I)M-M(B-\lambda I) = 0\\ AM-\lambda M -MB+\lambda M = 0\\ AM-MB=0. \end{align*}

Du coup, vous avez :

\boxed{AM = MB.}

Étudiez la réciproque

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\C)$ de sorte qu’il existe une matrice $M$ non nulle de $M_n(\C)$ telle que $AM=MB.$

Notez qu’alors, pour tout entier naturel $k\comma$ vous avez $A^k M = M B^k.$

En effet, pour tout entier naturel $k$ vous notez $\mathscr{P}(k)$ la propriété stipulant que $A^kM = MB^k.$

Initialisation. Pour $k=0$ vous avez $A^0 = B^0 = I$ donc $A^0 M = M = M B^0.$ Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel tel que $A^k M = M B^k.$ Alors :

\begin{align*} A^{k+1}M &= A(A^k M)\\ &= A (M B^k)\\ &= (AM) B^k\\ &= (MB) B^k\\ &= MB^{k+1}. \end{align*}

La propriété $\mathscr{P}$ est héréditaire. Comme elle est initialisée, vous déduisez, en utilisant le principe de récurrence, que :

\boxed{\forall k\in\N, A^kM = MB^k.}

Notez $\Pi$ le polynôme minimal de la matrice $A.$ Comme $\Pi$ est un polynôme non constant de $\C[X]\comma$ il est scindé. Comme le polynôme $\Pi$ est unitaire, il existe un entier naturel non nul $d$ et des nombres complexes $\lambda_1,\dots, \lambda_d$ tels que :

\Pi(X) = \prod_{i=1}^d (X-\lambda_i).

En développant ce polynôme, il existe des nombres complexes $a_0,\dots, a_{d-1}$ tels que :

\Pi(X) = X^d + \sum_{k=0}^{d-1}a_k X^k.

De $\Pi(A) =0$ vous déduisez :

A^d + \sum_{k=0}^{d-1}a_k A^k = 0.

En multipliant par $M$ à droite, il vient :

A^d M + \sum_{k=0}^{d-1}a_k A^kM = 0.

Du coup :

M B^d + \sum_{k=0}^{d-1}a_k M B^k = 0.

Vous factorisez à gauche par la matrice $M$ et obtenez :

\begin{align*} &M \left(B^d + \sum_{k=0}^{d-1}a_k B^k\right) = 0\\ &M\, \Pi(B)= 0. \end{align*}

Si $\Pi(B)$ était une matrice inversible, en multipliant à droite par son inverse, vous obtiendriez $M = 0$ ce qui est absurde.

Donc $\Pi(B)$ n’est pas inversible. Autrement dit, la matrice $\prod_{i=1}^d (B-\lambda_iI)$ n’est pas inversible. Du coup, son déterminant est nul, ce qui donne :

\prod_{i=1}^d \det (B-\lambda_iI) = 0.

Donc il existe un entier $\ell \in\llbracket 1, d\rrbracket$ tel que $\det (B-\lambda_{\ell} I) =0$ ce qui prouve que $\lambda_{\ell}$ est une valeur propre de $B.$

Or $\lambda_{\ell}$ est une racine du polynôme minimal de $A\comma$ donc $\lambda_{\ell}$ est une valeur propre de $A.$

Les matrices $A$ et $B$ possèdent ainsi une valeur propre en commun.

Concluez

Le résultat suivant vient d’être établi. Pour tout entier naturel $n$ non nul, quelles que soient les matrices $A$ et $B\comma$ carrées d’ordre $n$ et à coefficients complexes, $A$ et $B$ possèdent une valeur propre commune, si et seulement si, l’endomorphisme $\psi$ de $M_n(\C)$ défini par ce qui suit, n’est pas bijectif :

\forall N\in M_n(\C), \psi(N) = AN-NB.

En effet, l’espace $M_n(\C)$ étant de dimension finie, l’endomorphisme $\psi$ n’est pas bijectif si et seulement s’il n’est pas injectif, c’est-à-dire si et seulement s’il existe une matrice $M$ non nulle telle que $AM = MB.$ Les deux parties précédentes montrent que cette dernière condition équivaut à l’existence d’une valeur propre commune aux matrices $A$ et $B.$