Dans cet article, vous notez $M_n(\C)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients complexes et $M_{n,1}(\C)$ l’ensemble des matrices à coefficients complexes comportant $n$ lignes et une seule colonne.
Pour toute matrice $M\in M_n(\C)\comma$ la notation $M^{\top}$ désigne la matrice transposée de $M.$ La notation $I$ désigne la matrice identité de $M_n(\C).$
Démontrez un lemme
Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\C)\comma$ qui ne sont pas inversibles.
Vous considérez l’endomorphisme $\varphi$ défini par :
\forall N\in M_n(\C), \varphi(N)=AN-NB.
Comme la matrice $A$ n’est pas inversible, il existe un vecteur $X$ de $M_{n,1}(\C)\comma$ non nul, tel que :
\boxed{AX = 0.}Il existe $n$ nombres complexes $x_1,\dots, x_n$ tels que $X = \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}.$
La matrice n’est pas inversible, donc Or, donc Par conséquent, la matrice n’est pas inversible.
Du coup, il existe un vecteur $Y$ de $M_{n,1}(\C)\comma$ non nul, tel que $B^{\top} Y = 0$ ce qui donne, en transposant :
\boxed{Y^{\top} B = 0.}Il existe $n$ nombres complexes $y_1,\dots, y_n$ tels que $Y = \begin{pmatrix}y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}.$
Vous considérez la matrice $M$ de $M_n(\C)$ définie par $\boxed{M = XY^{\top}.}$ Comme $X$ n’est pas nul, il existe un entier $i$ appartenant à $\llbracket 1, n \rrbracket$ tel que $x_i\neq 0.$ Comme $Y$ n’est pas nul, il existe un entier $j$ appartenant à $\llbracket 1, n \rrbracket$ tel que $y_j\neq 0.$ Or, le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de la matrice $M$ est $x_iy_j.$ Il n’est donc pas nul et $M$ n’est pas la matrice nulle.
\begin{align*}
\varphi(M) &= AM-MB\\
&= AXY^{\top}-XY^{\top}B\\
&= (AX)Y^{\top}-X (Y^{\top}B)\\
&= 0\cdot Y^{\top}-X \cdot 0\\
&=0.
\end{align*}Ainsi, le noyau $\ker \varphi$ n’est pas réduit à la matrice nulle donc $\varphi$ est un endomorphisme de $M_n(\C)$ qui n’est pas bijectif.
Le théorème
Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\C)$ qui possèdent une valeur propre commune.
Il existe un nombre complexe $\lambda$ tel que les matrices $A-\lambda I$ et $B-\lambda I$ ne sont pas inversibles.
Vous considérez l’endomorphisme $\varphi$ de $M_n(\C)$ défini par :
\forall N\in M_n(\C), \varphi(N)=(A-\lambda I)N-N(B-\lambda I).
D’après le lemme, il existe une matrice non nulle $M$ de $M_n(\C)$ telle que $\varphi(M)=0.$
Cela fournit :
\begin{align*}
(A-\lambda I)M-M(B-\lambda I) = 0\\
AM-\lambda M -MB+\lambda M = 0\\
AM-MB=0.
\end{align*}Du coup, vous avez :
\boxed{AM = MB.}Étudiez la réciproque
Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\C)$ de sorte qu’il existe une matrice $M$ non nulle de $M_n(\C)$ telle que $AM=MB.$
Notez qu’alors, pour tout entier naturel $k\comma$ vous avez $A^k M = M B^k.$
En effet, pour tout entier naturel $k$ vous notez $\mathscr{P}(k)$ la propriété stipulant que $A^kM = MB^k.$
Initialisation. Pour $k=0$ vous avez $A^0 = B^0 = I$ donc $A^0 M = M = M B^0.$ Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.
Hérédité. Soit $k$ un entier naturel tel que $A^k M = M B^k.$ Alors :
\begin{align*}
A^{k+1}M &= A(A^k M)\\
&= A (M B^k)\\
&= (AM) B^k\\
&= (MB) B^k\\
&= MB^{k+1}.
\end{align*}La propriété $\mathscr{P}$ est héréditaire. Comme elle est initialisée, vous déduisez, en utilisant le principe de récurrence, que :
\boxed{\forall k\in\N, A^kM = MB^k.}Notez $\Pi$ le polynôme minimal de la matrice $A.$ Comme $\Pi$ est un polynôme non constant de $\C[X]\comma$ il est scindé. Comme le polynôme $\Pi$ est unitaire, il existe un entier naturel non nul $d$ et des nombres complexes $\lambda_1,\dots, \lambda_d$ tels que :
\Pi(X) = \prod_{i=1}^d (X-\lambda_i).En développant ce polynôme, il existe des nombres complexes $a_0,\dots, a_{d-1}$ tels que :
\Pi(X) = X^d + \sum_{k=0}^{d-1}a_k X^k.De $\Pi(A) =0$ vous déduisez :
A^d + \sum_{k=0}^{d-1}a_k A^k = 0.En multipliant par $M$ à droite, il vient :
A^d M + \sum_{k=0}^{d-1}a_k A^kM = 0.Du coup :
M B^d + \sum_{k=0}^{d-1}a_k M B^k = 0.Vous factorisez à gauche par la matrice $M$ et obtenez :
\begin{align*}
&M \left(B^d + \sum_{k=0}^{d-1}a_k B^k\right) = 0\\
&M\, \Pi(B)= 0.
\end{align*}Si $\Pi(B)$ est une matrice inversible, il vient $M = 0$ ce qui est absurde.
Donc $\Pi(B)$ n’est pas inversible. Autrement dit, la matrice $\prod_{i=1}^d (B-\lambda_iI)$ n’est pas inversible. Du coup, son déterminant est nul, ce qui donne :
\prod_{i=1}^d \det (B-\lambda_iI) = 0.Donc il existe un entier $\ell \in\llbracket 1, d\rrbracket$ tel que $\det (B-\lambda_{\ell} I) =0$ ce qui prouve que $\lambda_{\ell}$ est une valeur propre de $B.$
Or $\lambda_{\ell}$ est une racine du polynôme minimal de $A\comma$ donc $\lambda_{\ell}$ est une valeur propre de $A.$
Les matrices $A$ et $B$ possèdent ainsi une valeur propre en commun.
Concluez
Le résultat suivant vient d’être établi. Pour tout entier naturel $n$ non nul, quelles que soient les matrices $A$ et $B\comma$ carrées d’ordre $n$ et à coefficients complexes, $A$ et $B$ possèdent une valeur propre commune, si et seulement si, l’endomorphisme $\psi$ de $M_n(\C)$ défini par ce qui suit, n’est pas bijectif :
\forall N\in M_n(\C), \psi(N) = AN-NB.
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