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006. Un exemple d’espace vectoriel de dimension infinie

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Vous pouvez commencer avec des espaces qui utilisent des fonctions.

Par exemple, l’ensemble des fonctions qui vont de $[0,1]$ dans $\R$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension infinie. Vous allez démontrer ce résultat.

Raisonnez par l’absurde

Notez $F$ l’ensemble des fonctions qui vont de $[0,1]$ dans $\R$ et supposez que $F$ est de dimension finie $n.$

Dans la suite, vous notez $\mathbf{0}$ la fonction nulle, autrement dit, c’est celle qui est définie par $\forall x\in[0,1], \mathbf{0}(x)= 0.$

Vous notez tout d’abord que la fonction $f_0$ définie par $\forall x\in[0,1], f_0(x) = 1$ appartient à $F$ et qu’elle n’est pas la fonction nulle, donc $n\geq 1.$

Maintenant, pour tout entier $k\in\llbracket 1,n\rrbracket\comma$ considérez la fonction $f_k$ définie par $\forall x\in[0,1], f_k(x) = x^k.$ Notez que cette définition est valable pour $k=0\comma$ avec la convention suivante : $\forall x\in[0,1], x^0 = 1.$

Vous allez montrer que la famille $(f_k)_{0\leq k \leq n}$ est libre.

Soit $(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une suite finie de $n+1$ réels telle que :

\begin{align*} \sum_{k=0}^n a_k f_k = \mathbf{0}. \end{align*}

Alors :

\begin{align*} \forall x\in[0,1], \sum_{k=0}^n a_k f_k(x) = 0. \end{align*}

Compte tenu de la définition de ces fonctions, vous avez :

\begin{align*} \forall x\in[0,1], \sum_{k=0}^n a_k x^k = 0. \end{align*}

Considérez un minimum

S’il existe un entier $\ell\in\llbracket 0, n\rrbracket$ tel que $a_{\ell}$ n’est pas nul, vous considérez l’ensemble $\aa =\{k\in\llbracket 0, n\rrbracket, a_k\neq 0\}.$ Cet ensemble étant inclus dans $\N$ et non vide, il admet un plus petit élément $q\in\llbracket 0, n\rrbracket\comma$ avec $a_{q}\neq 0.$ Ainsi, $\forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, k \lt q \implies a_k=0.$

La somme précédente fournit :

\begin{align*} \forall x\in[0,1], \sum_{k=q}^n a_k x^k = 0. \end{align*}

Ainsi, pour tout $x\in[0,1]\comma$ vous avez :

\begin{align*} &\sum_{k=0}^{n-q} a_{k+q} x^{k+q} = 0\\ &x^q \left(\sum_{k=0}^{n-q} a_{k+q} x^{k} \right)= 0. \end{align*}

Du coup, pour tout $x\in]0,1]\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-q} a_{k+q} x^{k} = 0. \end{align*}

Si $n=q$ la somme précédente fournit $a_q = 0\comma$ ce qui est absurde. Donc $q \leq n-1$ et $n-q\geq 1.$ Du coup, pour tout $x\in]0,1]$ vous avez :

\begin{align*} a_q+\sum_{k=1}^{n-q}a_{k+q}x^k = 0. \end{align*}

En passant à la limite lorsque $x$ tend vers $0\comma$ vous obtenez $a_q = 0\comma$ ce qui est absurde.

Donc l’ensemble $\aa$ est vide, et la famille $(f_k)_{0\leq k \leq n}$ est libre.

Cependant, elle possède $n+1$ éléments, alors que $F$ est de dimension $n\comma$ ce qui est impossible.

Concluez

L’ensemble $F$ n’étant pas de dimension finie, vous pouvez affirmer qu’il est de dimension infinie.