Un nombre entier naturel est dit premier, si et seulement si, il admet exactement deux diviseurs. Ainsi, $1$ n’est pas premier puisqu’il admet un seul diviseur qui est lui-même. Comme $0$ est un multiple de n’importe quel nombre entier naturel, il admet une infinité de diviseurs.

Les quatre premiers nombres premiers sont $2\comma$ $3\comma$ $5$ et $7.$

Considérez le nombre $612\comma$ vous allez le décomposer comme produit de facteurs premiers.

Effectuez des tests de divisibilité par $2$

Comme $612$ est pair, il est divisible par $2$ et $612 = 2\times 306.$

Comme $306$ est pair, vous avez $306 = 2\times 153\comma$ ce qui fournit $612 = 2\times 2\times 153.$

Comme $153$ est impair, vous allez passer à l’étape suivante.

Effectuez des tests de divisibilité par $3$

La somme de tous les chiffres de $153$ est égale à $9$ qui est un multiple de $3.$ Ainsi, $153$ est un multiple de $3.$ Vous avez $153 = 3\times 51.$

Vous recommencez. $51$ est divisible par $3$ puisque la somme de ses chiffres, $6\comma$ est dans la table de $3.$ Comme $51 = 3\times 17\comma$ vous avez obtenu $612 = 2\times 2\times 3\times 3\times 17.$

Comme la somme des chiffres de $17$ est égale à $8\comma$ il s’ensuit que $17$ n’est pas divisible par $3\comma$ et vous passez à l’étape suivante.

Justifiez que $17$ est un nombre premier

Il n’est pas nécessaire d’effectuer d’autres tests de divisibilité, et vous allez supposer, en raisonnant par l’absurde, que $17$ n’est pas un nombre premier.

Alors, $17$ est divisible par un nombre qui n’est ni $1$ ni $17\comma$ c’est-à- dire un nombre entier $d$ compris entre $2$ et $16.$ Ainsi $17$ est dans la table de ce nombre $d.$ Il existe un entier naturel $k$ tel que $17 = k\times d.$ Notez que $k$ ne peut être égal à $1\comma$ sinon $d$ serait égal à $17\comma$ ce qui est exclu. Le nombre $k$ ne peut être égal à $17\comma$ sinon $d$ serait égal à $1.$ Donc $2\leq k \leq 16.$

Si $k\leq d\comma$ en multipliant par $k\comma$ vous obtenez $k^2 \leq kd$ soit $k^2\leq 17$ d’où $k^2 \lt 25.$ Du coup, $k\lt 5$ et comme $k$ est entier, vous avez même $k\leq 4.$ De cette analyse, vous en tirez que $k$ est soit égal à $2$ soit égal à $3.$ Mais cela implique que $17$ est un multiple de $2$ ou de $3\comma$ ce qui est absurde. Donc $k \gt d.$

En multipliant cette inégalité par $d\comma$ vous avez $kd \gt d^2$ donc $d^2 \lt 17 \lt 25$ d’où $d\lt 5$ et $d\leq 4.$ Ainsi, $d$ est égal à $2$ ou à $3\comma$ ce qui implique que $17$ est un multiple de $2$ ou de $3\comma$ ce qui est impossible.

Concluez

Vous avez réussi à décomposer $612$ en produit de facteurs premiers :