Dans la table de $9\comma$ la somme du chiffre des dizaines et de celui des unités du résultat est égale à $9.$

En effet, soit $k$ un nombre entier compris entre $1$ et $10.$ Quand vous effectuez la multiplication $9\times k\comma$ le résultat est un nombre de deux chiffres où vous notez $d$ le nombre de dizaines obtenues et $u$ le nombre des unités. Lorsque $k=1$ on convient d’écrire $9k = 9 = 09\comma$ soit $0$ dizaine et $9$ unités.

Par exemple, pour $k = 3\comma$ vous avez $9\times 3 = 27\comma$ ce qui fournit $d=2$ et $u=7.$ Vous constatez que la somme $d+u$ est égale à $9.$

Ce résultat est en fait général et c’est que vous allez prouver dans ce qui suit, sans énumérer tous les cas possibles.

Écrivez le résultat de la multiplication avec les chiffres $d$ et $u$

Lorsque $k$ est un entier compris entre $1$ et $10$, le nombre $9k$ se met sous la forme $10d+u\comma$ avec $u$ compris entre $0$ et $9$ puisque c’est un chiffre et $d$ un nombre entier naturel égal au nombre de dizaines de $9k.$

Si $d$ est supérieur ou égal à $10\comma$ alors $10d+u\geq 10d\geq 100\comma$ d’où $9k \geq 100.$ Comme $k\leq 10$ il vient $9k\leq 90\comma$ ce qui contredit l’inégalité $9k \geq 100.$ Donc $d\lt 10$ et comme $d$ est un entier naturel, vous avez $0\leq d\leq 9.$ Autrement dit, $d$ est un chiffre.

Expliquez pourquoi la somme $d+u$ est égale à $9$

De la relation $9k = 10d+u\comma$ vous avez $9k-9d = d+u$ ce qui s’écrit $d+u = 9(k-d).$ Cela prouve que $d+u$ est un multiple de $9.$

Comme $d$ et $u$ sont compris entre $0$ et $9\comma$ vous avez $0\leq d+u\leq 18.$

Or, les trois multiples de $9$ compris entre $0$ et $18$ sont $0\comma$ $9\comma$ et $18.$

Si $d+u = 0\comma$ alors, comme $d$ et $u$ sont positifs ou nuls, il s’ensuit que $d=u=0$ d’où $10d+u=0$ d’où $9k=0$ et $k=0\comma$ ce qui est absurde.

Si $d+u = 18\comma$ alors, comme $d$ et $u$ sont inférieurs ou égaux à $9\comma$ vous avez $d=u=9.$ Du coup $10d+u = 99$ d’où $9k=99$ et $k=11\comma$ mais cela contredit le fait que $k$ est inférieur ou égal à $10.$

Donc $d+u=9.$

Concluez

Quand vous multipliez un nombre $k$ compris entre $1$ et $10$ par $9\comma$ la somme du chiffre des dizaines avec celui des unités est égale à $9.$