Dans la table de $9\comma$ la somme du chiffre des dizaines et de celui des unités du résultat est égale à $9.$

En effet, soit $k$ un nombre entier compris entre $1$ et $10.$ Quand vous effectuez la multiplication $9\times k\comma$ le résultat est un nombre de deux chiffres où vous notez $d$ le nombre de dizaines obtenues et $u$ le nombre des unités. Lorsque $k=1\comma$ vous convenez d’écrire $9k = 9 = 09\comma$ soit $0$ dizaine et $9$ unités.

Par exemple, pour $k = 3\comma$ vous avez $9\times 3 = 27\comma$ ce qui fournit $d=2$ et $u=7.$ Vous constatez que la somme $d+u$ est égale à $9.$

Ce résultat est en fait général et c’est ce que vous allez prouver dans ce qui suit, sans énumérer tous les cas possibles.

Écrivez le résultat de la multiplication avec les chiffres $d$ et $u$

Lorsque $k$ est un entier compris entre $1$ et $10\comma$ le nombre $9k$ se met sous la forme $10d+u\comma$ avec $u$ compris entre $0$ et $9$ puisque c’est un chiffre et $d$ un nombre entier naturel égal au nombre de dizaines de $9k.$

Si $d$ est supérieur ou égal à $10\comma$ alors $10d+u\geq 10d\geq 100\comma$ d’où $9k \geq 100.$ Comme $k\leq 10\comma$ il vient $9k\leq 90\comma$ ce qui contredit l’inégalité $9k \geq 100.$ Donc $d\lt 10$ et comme $d$ est un entier naturel, vous avez $0\leq d\leq 9.$ Autrement dit, $d$ est un chiffre.

Expliquez pourquoi la somme $d+u$ est égale à $9$

De la relation $9k = 10d+u\comma$ vous avez $9k-9d = d+u$ ce qui s’écrit $d+u = 9(k-d).$ Cela prouve que $d+u$ est un multiple de $9.$

Comme $d$ et $u$ sont compris entre $0$ et $9\comma$ vous avez $0\leq d+u\leq 18.$

Or, les trois multiples de $9$ compris entre $0$ et $18$ sont $0\comma$ $9$ et $18.$

Si $d+u = 0\comma$ alors, comme $d$ et $u$ sont positifs ou nuls, il s’ensuit que $d=u=0$ d’où $10d+u=0$ d’où $9k=0$ et $k=0\comma$ ce qui est absurde.

Si $d+u = 18\comma$ alors, comme $d$ et $u$ sont inférieurs ou égaux à $9\comma$ vous avez $d=u=9.$ Du coup $10d+u = 99$ d’où $9k=99$ et $k=11\comma$ mais cela contredit le fait que $k$ est inférieur ou égal à $10.$

Donc $d+u=9.$

Concluez

Quand vous multipliez un nombre $k$ compris entre $1$ et $10$ par $9\comma$ la somme du chiffre des dizaines avec celui des unités est égale à $9.$