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008. On tombe toujours sur 9 ? 12 fois 9 = 108, 1+0+8=9. 52 fois 9 = 468, 4+6+8=18 et 1+8=9.

La réponse est oui.
Prenez un nombre de deux chiffres au hasard, 72.
Multipliez-le par 9 : $72\times 9 = 648.$
Faites la somme des chiffres $6+4+8 = 18$ et $1+8=9.$
Vous tomberez toujours sur 9.
Cela semble incroyable et surprenant.

Explication

Quand vous prenez un nombre à deux chiffres comme 72, il comporte 7 dizaines et 2 unités.
Cela s’écrit ainsi mathématiquement : $72 = 7\times 10 + 2.$
Faites de même pour le résultat, c’est un nombre à 3 chiffres. Notez $c$ le nombre de centaines, $d$ le nombre de dizaines, et $u$ le nombre d’unités.
Vous avez $72\times 9 = 100c+10d+u$.
C’est là que l’algèbre va servir.
Remarquez que :
$100c = 99c+c$
et que :
$10d = 9d+d$
Vous avez :
$72\times 9 = 99c+9d+c+d+u$ puis
$72\times 9 -99c-9d = c+d+u$ puis
$9\times (72-11c-d)= c+d+u$.
Faites abstraction du membre de gauche et observez que la somme des chiffres $c+d+u$ est un multiple de 9.
Or, $c$, $d$ et $u$ sont des chiffres, ils sont tous inférieurs ou égaux à 9. La somme $c+d+u$ est inférieure ou égale à $9+9+9=27.$
Ces remarques limitent grandement le nombre de possibilités. Des nombres inférieurs ou égaux à 27 qui sont dans la table de 9, il n’en reste que trois : 9, 18 et 27.
Si la somme des chiffres vaut 9, c’est fini.
Si la somme des chiffres vaut 18, vous refaites la somme, vous trouvez $1+8=9$.
Si la somme des chiffres vaut 27, vous refaites la somme, vous trouvez $2+7=9$.
On tombe toujours sur 9 comme annoncé.

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