Cet article s’inscrit dans le prolongement du précédent, qui introduit la notion étudiée.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 028.

Avec $6$ points sur le cercle, celui-ci est partagé en $31$ zones. Il va s’agir de comprendre ce qui se passe quand vous rajoutez un point supplémentaire sur la circonférence du cercle.

Ajoutez un septième point

Ce septième point rajoute une totalité de $6$ cordes supplémentaires, tracées en rouge et en traits pleins. Le nombre de zones augmente de façon significative. Il faut déterminer maintenant ce nombre exact.

Il sera utile de nommer les cordes rajoutées et de les noter $\cc_1\comma$ $\cc_2\comma$ $\cc_3\comma$ $\cc_4\comma$ $\cc_5$ et $\cc_6.$

Déterminez le nombre de zones lorsque la corde $\cc_1$ a été tracée

Vous partez des $31$ zones initiales, et vous rajoutez uniquement la corde $\cc_1.$

Vous constatez qu’une zone a été partagée en deux, ce qui rajoute une zone. Donc le nombre de zones avec $\cc_1$ est égal à $32.$

Déterminez le nombre de zones lorsque les cordes $\cc_1 $ et $\cc_2$ ont été tracées

Lorsque vous tracez $\cc_2\comma$ vous constatez que $4$ points supplémentaires intérieurs ont été rajoutés. En comptant la jonction qui part du dernier point intérieur vers le point en bleu à l’extrémité de la corde $\cc_2\comma$ cela fait en tout $5$ zones qui ont été partagées en deux.

Ainsi, le nombre de zones de la figure ci-dessous est égal à $32+5$ soit $37.$

Déterminez le nombre de zones lorsque les cordes $\cc_1\comma$ $\cc_2$ et $\cc_3$ ont été tracées

Cette fois-ci, vous relevez $6$ points intérieurs plus le point bleu à l’extrémité de la corde $\cc_3.$ La corde $\cc_3$ étant quasiment verticale, vous remarquez que vous avez $3$ points bleus à sa gauche et $2$ points bleus à sa droite, ce qui fait au total $3\times 2 = 6$ points intérieurs. Déterminez le nombre de zones lorsque la corde $\cc_2$ a été tracée

Le nombre de zones à rajouter est égal à $7.$ Le décompte est porté à $37+7 =44$ zones.

Déterminez le nombre de zones lorsque les cordes $\cc_1\comma$ $\cc_2\comma$ $\cc_3$ et $\cc_4$ ont été tracées

La démarche est exactement la même que précédemment, avec $6$ points intérieurs et le point bleu à l’extrémité de la corde $\cc_4.$ Un total de $7$ zones supplémentaires est à comptabiliser, ce qui porte le décompte à $44+7 =51.$

Déterminez le nombre de zones lorsque les cordes $\cc_1\comma$ $\cc_2\comma$ $\cc_3\comma$ $\cc_4$ et $\cc_5$ ont été tracées

Pour cette avant-dernière étape, vous avez $4$ points intérieurs et le point bleu à l’extrémité de la corde $\cc_5.$ Un total de $5$ zones supplémentaires est à comptabiliser, ce qui porte le décompte à $51+5=56.$Déterminez le nombre de zones lorsque la corde $\cc_2$ a été tracée

Déterminez le nombre total de zones lorsque les $6$ cordes ont été tracées

Pour cette dernière étape, il n’y a aucun point intérieur. Seul le point point bleu à l’extrémité de la corde $\cc_6$ fournit une zone supplémentaire. Le décompte est ainsi porté à $56+1 =57.$

Concluez

Quand un cercle contient $7$ points répartis sur sa circonférence de façon à obtenir le maximum de zones possibles, il est partagé en $57$ zones.