Vu que l’énoncé parle d’indices pairs de la suite, il faut bien un moment ou à un autre, à mon sens, traiter les indices pairs et les indices impairs, sans faire de raccourci.

Analyse de la situation

Il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{n\to +\infty}{u_{2n}}=\ell.$
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on ait $\ell – \varepsilon\leq u_{2n} \leq \ell + \varepsilon \text{ (Proposition A)}.$
Revenez maintenant à la suite $(u_n)$.
Pour avoir $\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon$, on aimerait bien utiliser l’hypothèse, à savoir $n/2$ supérieur à $N$ soit $n$ supérieur à $2N.$
Si $n$ est pair, $n/2$ est un entier naturel supérieur à $N$ donc si $n$ est supérieur à $2N$, $n/2\geq N$ et par (A) on en déduit que $\ell – \varepsilon\leq u_{2\times (n/2)} \leq \ell + \varepsilon$ soit $\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.$
Le problème c’est que $n/2$ n’a aucune raison d’être un nombre entier… ce n’est pas grave, vous vous ramenez à des nombres pairs.
Effectivement, si $n$ est impair, et bien $n-1$ et $n+1$ sont pairs. Appliquez le (A) avec $\frac{n-1}{2}$ et $\frac{n+1}{2}$. Pour cela on doit avoir $\frac{n-1}{2}\geq N$ et $\frac{n+1}{2}\geq N$ soit $n\geq 2N+1$ et $n\geq 2N-1.$
Tout compte fait, on veut avoir $n\geq \text{Max}(2N,2N-1,2N+1).$
Vous avez identifié tous les outils pour rédiger. Allez-y.

Proposition de rédaction finale n°1

Cas 1 : si n est pair

$n/2$ est entier et comme $n\geq 2N+1\geq 2N$ on en déduit $n/2 \geq N$, et par (A), $\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.$

Cas 2 : si n est impair

$n-1$ est pair et $n-1\geq 2N$ donc $n_1=\frac{n-1}{2}$ est un entier tel que $n_1\geq N$. Par (A) on a donc $\ell – \varepsilon\leq u_{2n_1} \leq u_{n-1}\leq u_n$ par croissance de la suite $(u_n)$.
D’autre part $n+1$ est pair et $n+1\geq 2N+2\geq 2N$ donc $n_2=\frac{n+1}{2}$ est un entier tel que $n_2\geq N$. Par (A) et croissance de $(u_n)$ on a l’autre bout : $u_n\leq u_{n+1}\leq u_{2n_2} \leq \ell + \varepsilon$, ce qui montre qu’on a encore $\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.$
On conclut : $$\lim_{n\to +\infty}{u_{n}}=\ell.$$

Proposition de rédaction finale n°2

Montrez que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée.
Comme la suite $(u_{2n})_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente, elle est majorée.
Il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{2n}\leq M.$
Soit maintenant $n$ un entier naturel.

Si n est pair

Considérez l’entier naturel $n_1=\frac{n}{2}$ et observez que $u_n \leq u_{2n_1} \leq M.$

Si n est impair

L’entier $n+1$ est pair. Considérez l’entier naturel $n_2=\frac{n+1}{2}$ et observez à nouveau, en utilisant la croissance de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$, que $u_n \leq u_{n+1}\leq u_{2n_2}\leq M.$
Vous venez de montrer qu’il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq M.$
La suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ étant une suite de réels croissante et majorée, elle converge.

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