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030. Montrez que la suite réelle $(u_n)$ converge si la suite $(u_n)$ est croissante et si la suite extraite $(u_{2n})$ est convergente.

Vu que l’énoncé parle d’indices pairs de la suite, il faut bien un moment ou à un autre, à mon sens, traiter les indices pairs et les indices impairs, sans faire de raccourci.

Analyse de la situation

Il existe un nombre réel \(\ell\) tel que \(\lim_{n\to +\infty}{u_{2n}}=\ell.\)
Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. Il existe un entier naturel \(N\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on ait \(\ell – \varepsilon\leq u_{2n} \leq \ell + \varepsilon \text{ (Proposition A)}.\)
Revenez maintenant à la suite \((u_n)\).
Pour avoir \(\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon\), on aimerait bien utiliser l’hypothèse, à savoir \(n/2\) supérieur à \(N\) soit \(n\) supérieur à \(2N.\)
Si \(n\) est pair, \(n/2\) est un entier naturel supérieur à \(N\) donc si \(n\) est supérieur à \(2N\), \(n/2\geq N\) et par (A) on en déduit que \(\ell – \varepsilon\leq u_{2\times (n/2)} \leq \ell + \varepsilon\) soit \(\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.\)
Le problème c’est que \(n/2\) n’a aucune raison d’être un nombre entier… ce n’est pas grave, vous vous ramenez à des nombres pairs.
Effectivement, si \(n\) est impair, et bien \(n-1\) et \(n+1\) sont pairs. Appliquez le (A) avec \(\frac{n-1}{2}\) et \(\frac{n+1}{2}\). Pour cela on doit avoir \(\frac{n-1}{2}\geq N\) et \(\frac{n+1}{2}\geq N\) soit \(n\geq 2N+1\) et \(n\geq 2N-1.\)
Tout compte fait, on veut avoir \(n\geq \text{Max}(2N,2N-1,2N+1).\)
Vous avez identifié tous les outils pour rédiger. Allez-y.

Proposition de rédaction finale n°1

Il existe un nombre réel \(\ell\) tel que \(\lim_{n\to +\infty}{u_{2n}}=\ell.\)
Soit \(\varepsilon \) un réel strictement positif.
Il existe un entier naturel \(N\) tel que, pour tout \(n\geq N,\) on ait \(\ell – \varepsilon\leq u_{2n} \leq \ell + \varepsilon \text{ (Proposition A).}\)
Soit \(n\) un entier naturel supérieur à \(2N+1.\)

Cas 1 : si n est pair

\(n/2\) est entier et comme \(n\geq 2N+1\geq 2N\) on en déduit \(n/2 \geq N\), et par (A), \(\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.\)

Cas 2 : si n est impair

\(n-1\) est pair et \(n-1\geq 2N\) donc \(n_1=\frac{n-1}{2}\) est un entier tel que \(n_1\geq N\). Par (A) on a donc \(\ell – \varepsilon\leq u_{2n_1} \leq u_{n-1}\leq u_n\) par croissance de la suite \((u_n)\).
D’autre part \(n+1\) est pair et \(n+1\geq 2N+2\geq 2N\) donc \(n_2=\frac{n+1}{2}\) est un entier tel que \(n_2\geq N\). Par (A) et croissance de \((u_n)\) on a l’autre bout : \(u_n\leq u_{n+1}\leq u_{2n_2} \leq \ell + \varepsilon\), ce qui montre qu’on a encore \(\ell – \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.\)
On conclut : $$\lim_{n\to +\infty}{u_{n}}=\ell.$$

Proposition de rédaction finale n°2

Montrez que la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est majorée.
Comme la suite \((u_{2n})_{n\in \mathbb{N}}\) est convergente, elle est majorée.
Il existe un réel \(M\) tel que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{2n}\leq M.\)
Soit maintenant \(n\) un entier naturel.

Si n est pair

Considérez l’entier naturel \(n_1=\frac{n}{2}\) et observez que \(u_n \leq u_{2n_1} \leq M.\)

Si n est impair

L’entier \(n+1\) est pair. Considérez l’entier naturel \(n_2=\frac{n+1}{2}\) et observez à nouveau, en utilisant la croissance de la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\), que \(u_n \leq u_{n+1}\leq u_{2n_2}\leq M.\)
Vous venez de montrer qu’il existe un réel \(M\) tel que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq M.\)
La suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) étant une suite de réels croissante et majorée, elle converge.

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