Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle croissante telle que la suite suite extraite $(u_{2n})_{n\geq 0}$ soit convergente.

Utilisez la définition de la limite d’une suite

Il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{n\to +\infty}{u_{2n}}=\ell.$

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\geq N\comma$ vous ayez $\ell-\varepsilon\leq u_{2n} \leq \ell + \varepsilon\ \mathbf{(A)}.$

Vous posez $M = 2N+1$ et vous considérez un entier $n$ supérieur ou égal à $M.$

Cas 1 : si $n$ est pair

Le nombre $n/2$ est un entier. Comme $n\geq 2N+1\geq 2N\comma$ vous déduisez que $n/2 \geq N.$ Grâce à $\mathbf{(A)}\comma$ vous avez $\ell- \varepsilon\leq u_{n} \leq \ell + \varepsilon.$

Cas 2 : si $n$ est impair

D’une part, le nombre $n-1$ est pair. Or, $n-1\geq 2N$ donc $n_1=\frac{n-1}{2}$ est un entier tel que $n_1\geq N.$ Grâce à $\mathbf{(A)}\comma$ vous avez $\ell- \varepsilon\leq u_{2n_1}.$ Comme $u_{2n_1} = u_{n-1}\comma$ il vient $\ell-\varepsilon \leq u_{n-1}.$ Or, la suite $(u_m)_{m\geq 0}$ est croissante, donc $u_{n-1}\leq u_n\comma$ d’où $\ell-\varepsilon \leq u_n.$

D’autre part, le nombre $n+1$ est pair aussi. Comme $n+1\geq 2N+2\geq 2N\comma$ le nombre $n_2=\frac{n+1}{2}$ est un entier tel que $n_2\geq N.$ En appliquant $\mathbf{(A)}$ vous avez $u_{2n_2}\leq \ell + \varepsilon.$ Or $u_{n+1} = u_{2n_2}$ d’où $u_{n+1} \leq \ell+\varepsilon.$ Vous utilisez la croissance de la suite $(u_m)_{m\geq 0}$ qui fournit $u_n\leq u_{n+1}.$ D’où $u_n \leq \ell + \varepsilon.$

Concluez

Il vient d’être montré que :

Ainsi, la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ converge vers $\ell.$