039. Déterminez le produit inversé de deux matrices

Soient $A\in M_{3,2}(\R)$ et $B\in M_{2,3}(\R)$ telles que :

AB = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

L’objectif de cet article est de déterminer tous les coefficients de la matrice $BA.$

Pour plus de commodité, vous posez $M = AB$ et cherchez d’abord quelques propriétés de $M.$

Calculez $M^2$

En notant $C_1\comma$ $C_2\comma$ et $C_3$ les colonnes de la matrice $M\comma$ vous obtenez que la première colonne de la matrice $M^2$ est :

-C_2+C_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}.

La deuxième colonne de la matrice $M^2$ est égale à :

-C_1+C_3 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

La troisième colonne de la matrice $M^2$ est égale à :

\begin{align*} -C_1-C_2+2C_3 &= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -1\\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}. \end{align*}

Ainsi, vous avez établi que $M^2 = M.$

Déterminez une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}MP$ soit diagonale

$C_1$ n’est pas nul, donc la famille $(C_1)$ est libre.

Comme $C_2$ n’appartient pas à $\vect(C_1)\comma$ la famille $(C_1,C_2)$ est libre.

Or, $C_3 = C_1+C_2\comma$ donc $\im M = \vect(C_1,C_2,C_3) = \vect(C_1,C_2).$

Ainsi $\im M$ admet pour base $(C_1,C_2).$ Cet espace est de dimension $2.$

Via la théorème de rang, vous déduisez que $\ker M$ est de dimension $1.$ De l’égalité $C_1+C_2-C_3 = 0\comma$ vous déduisez que $V = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$ appartient à $\ker M.$ Par suite, $\ker M = \vect(V).$

Comme $M$ est la matrice d’un projecteur à cause de l’égalité $M^2 = M\comma$ la somme $\im M+\ker M$ est directe. Ainsi, $(C_1,C_2,V)$ est une base de $M_{3,1}(\R).$

La matrice $P = \begin{pmatrix} C_1 | C_2 | V \end{pmatrix}$ est inversible et :

P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

En posant $A^{\prime} = P^{-1}A$ et $B^{\prime} = BP\comma$ vous avez $A^{\prime}B^{\prime} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ avec $A^{\prime}\in M_{3,2}(\R)$ et $B^{\prime} \in M_{2,3}(\R).$

Établissez le fait que $B^{\prime}A^{\prime}$ est l’identité d’ordre $2$

En écrivant $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ avec leurs coefficients réels, vous avez :

A^{\prime} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{pmatrix} \quad B^{\prime} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ \end{pmatrix}.

Utilisez les quatre premiers coefficients du produit $A^{\prime}B^{\prime}$

Comme $A^{\prime}B^{\prime}$ est l’identité d’ordre $3\comma$ vous déduisez par identification des coefficients, que :

\left\{\begin{align*} &a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} = 1\\ &a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} = 0\\ &a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} = 0\\ &a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} = 1\\ \end{align*} \right.

En posant $C = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ vous avez $CD = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$ Cette égalité implique que $\ker D = \{0\}$ et via le théorème du rang, vous déduisez que $D$ est inversible, d’où $C = D^{-1}.$ Par suite, $DC = DD^{-1}$ d’où $DC = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$ La matrice $C$ est elle-même inversible et $C^{-1} = D.$

Utilisez les coefficients de la dernière colonne du produit $A^{\prime}B^{\prime}$

Toujours par identification des coefficients au niveau des deux premières lignes du produit $A^{\prime}B^{\prime}\comma$ vous avez :

C\begin{pmatrix} b_{13}\\ b_{23} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}.

En multipliant à gauche par la matrice $D\comma$ vous obtenez $b_{13} = b_{23}=0.$

Utilisez les coefficients de la dernière ligne du produit $A^{\prime}B^{\prime}$

Vous avez ce qui suit :

\begin{pmatrix} a_{31}& a_{32} \end{pmatrix} D= \begin{pmatrix} 0 &0 \end{pmatrix}.

En multipliant à droite par la matrice $C\comma$ vous obtenez $a_{31} = a_{32} = 0.$

Calculez le produit $B^{\prime}A^{\prime}$

Grâce à ce qui précède, vous avez :

B^{\prime} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & 0\\ b_{21} & b_{22} & 0\\ \end{pmatrix} \quad A^{\prime} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}.

Ainsi :

B^{\prime}A^{\prime} = \begin{pmatrix} b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21} & b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}\\ b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21} & b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22} \end{pmatrix}.

Or, en effectuant le produit $DC\comma$ vous obtenez les mêmes coefficients que $B^{\prime}A^{\prime}.$ Ainsi :

B^{\prime}A^{\prime} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Déduisez-en le produit $BA$

Vous avez :

\begin{align*} B^{\prime}A^{\prime} &= (BP)(P^{-1}A)\\ &= B(PP^{-1})A\\ &= BA. \end{align*}

Du coup vous déduisez que :

\boxed{BA = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.}