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040. Montrez que 0,999… est égal à 1 (partie 1/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Considérez le nombre $A=0,999\dots\ $ écrit avec une infinité de chiffres $9$ après la virgule. L’objectif de cet article est de démontrer que $A$ est égal à $1.$

Vous pouvez aussi adopter une approche différente de ce qui suit.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 041.

Écrivez le nombre $A$ comme une somme infinie

Puisque $A$ comporte $9$ dixièmes, $9$ centièmes etc… vous déduisez que :

A = \sum_{m=1}^{+\infty}\frac{9}{10^m}.

Utilisez une suite géométrique

Pour tout nombre réel $x$ de valeur absolue strictement inférieure à $1\comma$ vous avez :

\sum_{n=0}^{+\infty}x^n = \frac{1}{1-x}.

En choisissant $x = \frac{1}{10}\comma$ il vient :

\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{10}}.

Cela s’écrit aussi :

\begin{align*} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{10^n} = \frac{10}{10-1}=\frac{10}{9}. \end{align*}

Après multiplication par $9\comma$ vous obtenez :

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{9}{10^n} =10.

Vous divisez le tout par $10$ pour avoir :

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{9}{10^{n+1}} =1.

Effectuez un changement d’indice

Pour tout entier naturel $n\comma$ vous posez $m=n+1.$ Alors la somme précédente devient :

\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{9}{10^{m}} =1.

Concluez

Le nombre $A=0,999\dots\ $ écrit avec une infinité de chiffres $9$ est égal à $1.$