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050. Calculez des pourcentages d’évolution

Yannis TRIANTAPHYLIDES

L’objectif de cet article est d’expliquer d’où proviennent les formules permettant de calculer des pourcentages d’évolution, puis de donner des exemples illustratifs.

Utilisez les notations $V_F$ et $V_I$

Appelez $V_F$ la valeur finale et $V_I$ la valeur initiale d’une certaine donnée.

Le pourcentage de hausse ou de baisse est égal à :

\boxed{\dfrac{V_F-V_I}{V_I}\times 100.}

Plus précisément, si la valeur précédente est positive, c’est un pourcentage de hausse. Si elle est négative, c’est un pourcentage de baisse.

Une preuve de cette formule va être explicitée, en utilisant la notion de proportionnalité. Au départ, $100$ est le pourcentage initial noté $P_I.$ Le tableau suivant rend compte de l’évolution :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Départ} & \text{Arrivée}\\ \hline \text{Valeurs brutes} & V_I & V_F \\ \hline \text{Valeurs en pourcentages} & P_I = 100 & P_F\\ \hline \end{array}

Utilisant le produit en croix applicable en situation de proportionnalité, le pourcentage final est égal à :

P_F = \frac{100\times V_F}{V_I}.

Le pourcentage de hausse est égal à $P_F-P_I.$ Cela donne le calcul suivant :

\begin{align*} P_F-P_I &=\frac{100\times V_F}{V_I} – 100 \\ &= \frac{100\times V_F}{V_I} – \frac{100\times V_I}{V_I}\\ &= \frac{100V_F-100V_I}{V_I}\\ &= \frac{100(V_F-V_I)}{V_I}\\ &= \frac{V_F-V_I}{V_I}\times 100. \end{align*}

Utilisez la formule sur un exemple de hausse

Soit un article dont le prix passe de $135$€ à $167$€.

Vous écrivez : $V_F=167$ et $V_I=135.$ Alors :

\begin{align*} \frac{V_F-V_I}{V_I}\times 100&=\frac{167-135}{135}\times 100\\ &=\frac{32}{135}\times 100\\ &\approx 23,7.\\ \end{align*}

Le prix a augmenté de $23,7$% environ.

Utilisez la formule sur un exemple de baisse

Soit un autre article dont le prix passe de $115$€ à $97$€.

Vous écrivez : $V_F=97$ et $V_I=115.$ Alors :

\begin{align*} \frac{V_F-V_I}{V_I}\times 100&=\frac{97-115}{115}\times 100\\ &=-\frac{18}{115}\times 100\\ &\approx -15,7.\\ \end{align*}

Le prix a baissé de $15,7$% environ.