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295. Déterminez sans division si un nombre est premier (1/2)

Partez d’un exemple : le nombre $119$ est-il premier ? Autrement dit, existe-t-il un nombre entier $n$ compris entre $2$ et $118$ de sorte que $119$ soit un multiple de $n$ ?

Les premiers tests de divisibilité échouent :

  • $119$ est impair et n’est pas divisible par $2$ ;
  • la somme des chiffres de $119$ est égale à $11$ qui n’est pas dans la table de $3$, donc $119$ n’est pas un multiple de $3$ ;
  • $119$ ne finit ni par $0$ ni par $5$ et n’est pas divisible par $5$ ;
  • Il existe un critère de divisibilité par $7$, mais il est peu diffusé et donc, à moins de diviser $119$ par $7$, vous ne savez pas s’il est divisible par $7$…

Il va falloir changer de méthode.

Utilisez une idée attribuée à Fermat

L’objectif est d’utiliser l’identité remarquable suivante :

a^2-b^2 = (a+b)(a-b).

Vous allez d’abord déterminer le plus petit entier possible $k$ tel que $k^2>119.$

Déjà, pourquoi un tel entier existe ? Comment le déterminer ?

Considérez l’ensemble $A$ suivant, formé par les entiers positifs ayant un carré strictement supérieur à $119$ :

A = \{m\in\N, m^2>119\}.

Comme :

\begin{align*}
10^2 &= 100\\
11^2 &= 121
\end{align*}

Vous déduisez que $11$ est un élément de $A.$ Cela s’écrit $11\in A.$

$A$ est donc une partie de $\N$ qui est non vide. Donc elle admet un plus petit élément noté $k.$

De ce qui précède, $k\leq 11$ : en effet, $k$ et $11$ sont deux éléments de $A$ et $k$ est le plus petit élément de $A.$

Si $k<11$, vous auriez $0\leq k\leq 10$ et en élevant au carré, $k^2 \leq 100.$ $k$ est un entier vérifiant $k^2\leq 119$ donc $k\notin A$, ce qui est absurde.

Vous déduisez ainsi que $k = 11.$ Autrement dit :

\mathrm{Min}\ \{m\in\N, m^2>119\} = 11.

Commencez à calculer, quand $\ell \geq k$ les différences $\ell^2-119$

Vous commencez avec $\ell = 11$ :

\begin{align*}
11^2 - 119 &= 121-119
\\
&=2.
\end{align*}

Comme $2$ n’est pas un carré, l’identité remarquable $a^2-b^2$ n’est pas applicable et vous poursuivez.

Avec $\ell = 12$ :

\begin{align*}
12^2 - 119 &= 144-119
\\
&=25.
\end{align*}

Comme $25$ est un carré, l’identité remarquable est applicable. En effet :

\begin{align*}
12^2 - 119 &= 5^2
\\
12^2-5^2&=119\\
(12-5)(12+5)&=119.
\end{align*}

Vous obtenez :

\boxed{119 = 7\times 17.}

Concluez

Le nombre $119$ n’est pas premier puisqu’il est divisible par $7.$
L’intérêt de cette démarche est d’avoir une factorisation explicite.

268. Toute fonction affine conserve les barycentres

Soit $m$ un nombre réel non nul et soit $p$ un nombre réel. On définit la fonction affine $f$ en posant :

\forall x\in\R, f(x)=mx+p.

Dans toute la suite, on désigne par $a$ et $b$ deux nombres réels fixés.

Notion de barycentre de deux réels

Soit $t$ un nombre réel. Le barycentre des réels $a$ et $b$ affecté des coefficients respectifs $t$ et $1-t$ est le réel défini par :

ta+(1-t)b.

Effet de la fonction affine $f$ sur un barycentre

Par définition de la fonction $f$, il vient :

\begin{align*}
f(a) &= ma+p \\
f(b) &= mb+p.
\end{align*}

Soit $t$ un nombre réel. Après multiplication par $t$ de la première ligne et par $1-t$ de la seconde, vous obtenez :

\begin{align*}
tf(a) &= mta+tp \\
(1-t)f(b) &= m(1-t)b+(1-t)p.
\end{align*}

Par somme vous déduisez :

\begin{align*}
tf(a)+(1-t)f(b) &= mta+m(1-t)b + tp +(1-t)p \\
&= m\left[ta+(1-t)b\right] + tp+p-tp\\
&= m\left[ta+(1-t)b\right] +p\\
&= f(ta+(1-t)b).
\end{align*}
 

Est ainsi démontré la conservation du barycentre de deux points par une fonction affine $f$.

Autrement dit, si $f$ est une fonction affine :

\boxed{\forall (a,b,t)\in\R^3, f(ta+(1-t)b) =tf(a)+(1-t)f(b).}

Cela se reformule ainsi :

\forall (a,b,\lambda, \mu)\in\R^4, \lambda+\mu = 1 \implies f(\lambda a+\mu b) =\lambda f(a)+\mu f(b).

Une fonction affine se comporte comme une fonction linéaire sous réserve que les scalaires $\lambda$ et $\mu$ aient une somme égale à $1.$

Application : déterminez toutes les fonctions affines $f$ telles que $f(2)=3$ et $f(5)=4$

Analyse

Supposez qu’il existe une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4.$

Soit $x$ un nombre réel.

Il s’agit de déterminer $f(x).$

D’après la propriété vue ci-dessus sur les fonctions affines, vous avez :

\ \begin{align*}
\forall t\in\R, f(2t+5(1-t))&=tf(2)+(1-t)f(5)\\
f(2t+5-5t)&=3t+4(1-t)\\
f(-3t+5)&=3t+4-4t\\
f(-3t+5)&=-t+4.
\end{align*}

Posez alors $t = \frac{5-x}{3}.$

Vous avez :

\begin{align*}
3t &= 5-x\\
x &= -3t+5.
\end{align*}

Ainsi :

\begin{align*}
f(x) &= f(-3t+5)\\
&= -t+4\\
&= - \frac{5-x}{3} + 4\\
&= \frac{x-5}{3}+4\\
&= \frac{x-5}{3}+\frac{12}{3}\\
&=\frac{x+7}{3}.
\end{align*}

S’il existe une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4$ alors elle est unique et elle est définie par :

\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3}. 

Synthèse

Réciproquement, considérez la fonction $f$ définie par :

\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3} = \frac{1}{3}x+\frac{7}{3}.

La fonction $f$ est bien affine, avec $m = \frac{1}{3}$ et $p=\frac{7}{3}.$

De plus :

\begin{align*}
f(2) &= \frac{2+7}{3} = \frac{9}{3} = 3\\
f(5) &= \frac{5+7}{3} = \frac{12}{3} = 4.
\end{align*}

La fonction $f$ convient bien.

Concluez

Il existe une unique fonction affine $f$ telle que $f(2)=3$ et $f(5)=4.$

Elle est définie par :

\boxed{\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3}. }

260. Résolvez une équation de degré 2

Dans cet article, vous allez chercher tous les réels $x$ tels que $2x^2+x-5 = 0.$ C’est un cas particulier de l’équation générale $ax^2+bx+c=0.$

Vous allez voir qu’il est possible de résoudre cette équation sans utiliser le discriminant, en mettant bout à bout deux changements de variables.

Première étape, se ramener à une équation où le coefficient de $x^2$ est égal à $1$ via un changement de variable. Vous vous retrouvez ainsi avec une équation de la forme $x^2+bx+c=0$ qui est plus facile à résoudre que la première.

Seconde étape, supprimer le terme $bx$, de façon à obtenir une équation finale de la forme $x^2+c=0$ qui se résoudra avec l’utilisation de la racine carrée.

Ramenez-vous à une équation où $x^2$ apparaît une seule fois

L’idée est d’effectuer un premier changement de variable.

En effet, l’équation :

2x^2+x-5 = 0

après multiplication par $2$, coefficient de $x^2$, est équivalente à :

4x^2+2x-10 = 0.

Or, $4x^2$ est le carré de $2x$. En posant $\boxed{X = 2x}$ vous constatez que résoudre $2x^2+x-5=0$ est équivalent à résoudre :

X^2+X-10=0.

Supprimez le terme de degré $1$

Une translation va faire l’affaire.

Posez $y = X+k$ où $k$ est un nombre qui sera choisi plus tard.

L’équation :

X^2+X-10=0

est équivalente à :

\begin{align*}
(y-k)^2+(y-k)-10&=0\\
y^2-2ky+k^2+y-k-10 &= 0\\
y^2+(1-2k)y+k^2-k-10 &=0.
\end{align*}

Afin de faire disparaître le terme en $y$, vous choisissez $k$ pour que $1-2k=0$, soit $k=\frac{1}{2}.$

Vous remarquez que :

\begin{align*}
k^2-k-10 &= \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-10\\
&=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}-\frac{40}{4}\\
&=\frac{1}{4}-\frac{42}{4}\\
&=-\frac{41}{4}.
\end{align*}

Ainsi, via le changement de variable $\boxed{y=X+\frac{1}{2}}$, l’équation $X^2+X-10=0$ est équivalente à :

\begin{align*}
y^2-\frac{41}{4}&=0\\
y^2-\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2&=0\\
\left(y-\frac{\sqrt{41}}{2}\right)\left(y+\frac{\sqrt{41}}{2}\right) &=0.
\end{align*}

Concluez

D’après ce qui précède, $y$ peut prendre deux valeurs : $\frac{\sqrt{41}}{2}$ et $-\frac{\sqrt{41}}{2}.$

Comme $y=X+\frac{1}{2}$, c’est que $X = -\frac{1}{2}+y$, donc $X$ peut prendre deux valeurs : $\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$ et $\frac{-1-\sqrt{41}}{2}.$

Comme $X=2x$ c’est que $x=\frac{X}{2}$, vous déduisez de cette analyse que l’équation $2x^2+x-5 = 0$ admet exactement deux solutions qui sont :

\frac{-1+\sqrt{41}}{4}\text{ et }\frac{-1-\sqrt{41}}{4}.

Prolongement

En utilisant la démarche exposée dans cet article, pourriez-vous résoudre l’équation $3x^2+5x-2 = 0$ l’inconnue $x$ appartenant à l’ensemble des nombres réels ?

056. Résolvez une équation

Vous voulez trouver tous les nombres x tels que (x+4)(x+4)=(x+4)(3x+1) ? Savoir combien il y en a ?

Utilisez une autre lettre que $x$

Posez $y=x+4$. Cela simplifie la vision de l’équation proposée.

La quantité $(x+4)(x+4)$ s’écrit $y^2$.

Pour l’expression $(x+4)(3x+1)$ vous trouvez $y(3x+1)$.

N’aimant pas mélanger les $x$ avec les $y$, vous observez que $y-4=x$ puis que :
\begin{aligned} 3x+1&=3(y-4)+1\\&=3y-12+1\\&=3y-11.\end{aligned}

Résolvez $y^2=y(3y-11)$

Si $y=0$ l’équation est satisfaite et vous trouvez $x=-4$.

Si $y\neq 0$, vous divisez les deux membres de $y^2=y(3y-11)$ par $y$ et vous trouvez :
\begin{aligned} y&=3y-11\\11&=2y\\\dfrac{11}{2}&=y\\ \dfrac{11}{2}-4&=y-4\\ \dfrac{11}{2}- \dfrac{8}{2}&=x\\ \dfrac{3}{2}&=x. \end{aligned}

Concluez

L’équation $(x+4)(x+4)=(x+4)(3x+1)$ admet exactement deux solutions, $x=-4$ et $x=\dfrac{3}{2}.$

055. Trouvez deux nombres dont la somme vaut 20 et le produit vaut 95

Un peu plus corsé que l’article 54 vu que les réponses ne pourront pas être des nombres entiers.

Que livre l’information selon laquelle la somme vaut 20 ?

Pour que la somme fasse 20, vous pouvez tester des nombres entiers d’abord.

Vous observez qu’il y a une symétrie autour de $10$ : $2$ et $18$ pour le début c’est $10-8$ et $10+8$. $3$ et $17$ pour le deuxième c’est $10-7$ et $10+7$.
Plus généralement, le plus petit nombre que vous cherchez est égal à $10-x$ et le plus grand à $10+x$ où $x$ désigne un nombre positif à déterminer…

Que livre l’information du produit égal à 95 ?

Le produit $(10-x)(10+x)$ est égal à $95$. Sauf que ce produit est aussi une identité remarquable connue vu que $\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$.

$(10-x)(10+x)=10^2-x^2$ donc $100-x^2=95$. Pas le choix, comme $100-5=95$, c’est que $x^2=5$ et $x=\sqrt{5}$ vu la positivité de $x$.

Synthèse et conclusion

Synthèse : $10-\sqrt{5}$ et $10+\sqrt{5}$ sont les seuls nombres qui peuvent convenir.

Conclusion : vous vérifiez que les nombres trouvés conviennent.
La somme $(10-\sqrt{5})+ (10+\sqrt{5})$ est bien égale à $20$ par élimination des racines carrées.
Le produit $(10-\sqrt{5})\times (10+\sqrt{5})$ est égal à $10^2 – (\sqrt{5})^2 = 100-5=95$.

054. Trouvez deux nombres dont la somme vaut 78 et le produit vaut 225

Quand je vois que ce problème est traité à coup de « relations entre les coefficients et racines d’un polynôme », résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues, utilisation du discriminant… je sors et je me dois d’écrire cet article pour montrer oh combien on peut résoudre cela sans se prendre le chou, avec des arguments compréhensibles dès le collège.

De quoi avez-vous besoin ?

Deux outils fondamentaux.

L’identité remarquable $\boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$ tout d’abord.
Puis la formule du milieu : si $a$ et $b$ sont deux nombres de milieu $m$, alors $\boxed{m=\frac{a+b}{2}}$, autrement dit, $m$ est la moyenne de $a$ et de $b$.

Et maintenant, l’analyse !

Imaginez que vous avez trouvé deux nombres dont la somme vaut $78$ et le produit vaut $225$. Notez $a$ le plus petit des deux et $b$ le plus grand. Notez $m$ le milieu de $a$ et de $b$. Notez $x$ l’écart $\dfrac{b-a}{2}$, avec $x$ positif.

Vous avez les égalités $a=m-x$ et $b=m+x$.

Maintenant passez au numérique. La somme $a+b$ vaut $78$ donc le milieu $m$ vaut deux fois moins, soit $39$.
Le produit $ab$ vaut $(m-x)(m+x)$ soit $m^2-x^2$, soit $39^2-x^2$.
Or vous voulez que ce produit soit égal à $225$, donc, pas le choix.

\begin{aligned} 225&=39^2-x^2 \\x^2&=39^2-225\\ &=1521-225 \\&=1300-4\\&=1296\\&=36^2\end{aligned}.

Comme $x$ est positif, vous avez $x=36$.

Le plus petit des deux nombres est $a=39-36=3$ et le plus grand est $b=39+36=75$.

Synthèse et conclusion

Vous n’oubliez pas de vérifier : $3+75=78$, ok pour la somme. $3\times 75=210+15=225$. Voilà problème résolu : 3 et 75 sont deux nombres qui conviennent pour avoir une somme de 78 et un produit de 225 et ce sont les seuls, quitte à les permuter entre eux.

050. Comment calculer un pourcentage à partir du prix de départ et du prix de fin ?

Un checkpoint pour tout savoir sur ce sujet.

Les notations $V_F$ et $V_I$

Appelez $V_F$ la valeur finale et $V_I$ la valeur initiale.

Le pourcentage de hausse ou de baisse est égal à $\boxed{\dfrac{V_F-V_I}{V_I}\times 100.}$
Plus précisément, si la valeur calculée est positive, c’est une pourcentage de hausse, si elle est négative, c’est un pourcentage de baisse.

Exemple de hausse : le prix d’un article passe de 135€ à 167€

Vous écrivez : $V_F=167$ et $V_I=135$.

\begin{aligned}
\frac{V_F-V_I}{V_I}\times 100&=\frac{167-135}{135}\times 100\\
&=\dfrac{32}{135}\times 100\\
&\approx 23,7.\\
\end{aligned}

Le prix a augmenté de 23,7 % environ.

Exemple de baisse : le prix d’un article passe de 115€ à 97€

Vous écrivez : $V_F=97$ et $V_I=115$.

\begin{aligned}
\dfrac{V_F-V_I}{V_I}\times 100&=\dfrac{97-115}{115}\times 100\\
&=-\dfrac{18}{115}\times 100\\
&\approx -15,7.\\
\end{aligned}

Le prix a baissé de 15,7 % environ.