École AVOSZ

051. Majorez la somme de deux racines carrées

1 février 2019

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Vous cherchez à déterminer s’il existe un réel strictement positif $C$ minimal tel que, quels que soient les réels strictement positifs $a$ et $b\comma$ vous ayez :

\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq C\sqrt{a+b}.

Définissez une fonction

Soit $b$ un réel strictement positif fixé.

Pour tout réel $x$ strictement positif, vous posez :

g_b(x)=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{b}}{\sqrt{x+b}}.

Étudiez la fonction $g_b$

La fonction $g_b$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour tout $x$ de cet intervalle :

\begin{align*} g_b^{\prime} (x)&=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x} }\sqrt{x+b}-(\sqrt{x}+\sqrt{b})\frac{1}{2\sqrt{x+b}}}{(\sqrt{x+b})^2}\\ &=\frac{\frac{x+b-\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{b})}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}}}{x+b}\\ &=\frac{b-\sqrt{b}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\ &=\frac{b\sqrt{b}-b\sqrt{x}}{2\sqrt{b}\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\ &=\frac{b(\sqrt{b}-\sqrt{x})}{2\sqrt{b}\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\ &=\frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{x})(\sqrt{b}+\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)(\sqrt{b}+\sqrt{x})}\\ &=\frac{\sqrt{b}(b-x)}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)(\sqrt{b}+\sqrt{x})}. \end{align*}

Il s’ensuit que la fonction $g_b$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0,b].$ Elle est strictement décroissante sur l’intervalle $[b,+\infty[.$

Ainsi, la fonction $g_b$ admet un maximum en $b$ et ce maximum vaut :

g_b(b)=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{2b}}=\sqrt{2}.

Du coup, vous avez montré que :

\forall x\gt0, g_b(x)\leq \sqrt{2}.

Concluez

D’après ce qui précède, si $b$ est un réel strictement positif fixé et si $a$ un réel strictement positif, vous avez $g_b(a)\leq \sqrt{2}\comma$ ce qui fournit :