École AVOSZ

051. Majorez la somme de deux racines carrées

1 février 2019

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Vous cherchez à déterminer s’il existe un réel strictement positif $C$ minimal tel que, quels que soit les réels strictement positifs $a$ et $b\comma$ vous ayez :

\Sqrt{a}+\Sqrt{b}\leq C\Sqrt{a+b}.

Définissez une fonction

Soit $b$ un réel strictement positif fixé.

Pour tout réel $x$ strictement positif, vous posez :

g_b(x)=\frac{\Sqrt{x}+\Sqrt{b}}{\Sqrt{x+b}}.

Étudiez la fonction $g_b$

Soit $b$ un réel strictement positif fixé.

La fonction $g_b$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour tout $x$ de cet intervalle :

\begin{align*} g_b^{\prime} (x)&=\frac{\frac{1}{2\Sqrt{x} }\Sqrt{x+b}-(\Sqrt{x}+\Sqrt{b})\frac{1}{2\Sqrt{x+b}}}{(\Sqrt{x+b})^2}\\ &=\frac{\frac{x+b-\Sqrt{x}(\Sqrt{x}+\Sqrt{b})}{2\Sqrt{x}\Sqrt{x+b}}}{x+b}\\ &=\frac{b-\Sqrt{b}\Sqrt{x}}{2\Sqrt{x}\Sqrt{x+b}(x+b)}\\ &=\frac{b\Sqrt{b}-b\Sqrt{x}}{2\Sqrt{b}\Sqrt{x}\Sqrt{x+b}(x+b)}\\ &=\frac{b(\Sqrt{b}-\Sqrt{x})}{2\Sqrt{b}\Sqrt{x}\Sqrt{x+b}(x+b)}\\ &=\frac{\Sqrt{b}(\Sqrt{b}-\Sqrt{x})(\Sqrt{b}+\Sqrt{x})}{2\Sqrt{x}\Sqrt{x+b}(x+b)(\Sqrt{b}+\Sqrt{x})}\\ &=\frac{\Sqrt{b}(b-x)}{2\Sqrt{x}\Sqrt{x+b}(x+b)(\Sqrt{b}+\Sqrt{x})}. \end{align*}

Il s’ensuit que la fonction $g_b$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0,b].$ Elle est strictement décroissante sur l’intervalle $[b,+\infty[.$

Ainsi, la fonction $g_b$ admet un maximum en $b$ et ce maximum vaut :

g_b(b)=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{2b}}=\sqrt{2}.

Du coup, vous avez montré que :

\forall x>0, g_b(x)\leq \sqrt{2}.

Concluez

D’après ce qui précède, si $b$ est un réel strictement positif fixé et si $a$ un réel strictement positif, vous avez $g_b(a)\leq \sqrt{2}$ ce qui fournit