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051. Majoration de $\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Vous cherchez à majorer $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ par $C\sqrt{a+b}$, où $C$ désigne une constante strictement positive.

Déterminez la meilleure valeur de $C$

Supposez qu’il existe une constante $C>0$ telle que, quels que soient les nombres $a$ et $b$ strictement positifs, vous ayez : $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq C\sqrt{a+b}$.

Vous en déduisez $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}\leq C$. Cela vous pousse à considérer la fonction de deux variables définie par $f(a , b)=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}.$

Trouver un majorant d’une fonction de deux variables, ce n’est guère évident… du coup, vous fixez $b$ et vous étudiez la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{b}}{\sqrt{x+b}}$.

Etude de la fonction $g$

La fonction $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour tout $x\in ]0,+\infty[$ :

$\begin{align*}
g'(x)&=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x} }\sqrt{x+b}-(\sqrt{x}+\sqrt{b})\dfrac{1}{2\sqrt{x+b}}}{(\sqrt{x+b})^2}\\
&=\frac{\dfrac{x+b-\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{b})}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}}}{x+b}\\
&=\frac{b-\sqrt{bx}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\
&=\frac{b\sqrt{b}-b\sqrt{x}}{2\sqrt{b}\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\
&=\frac{b(\sqrt{b}-\sqrt{x})}{2\sqrt{b}\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)}\\
&=\frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{x})(\sqrt{b}+\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)(\sqrt{b}+\sqrt{x})}\\
&=\frac{\sqrt{b}(b-x)}{2\sqrt{x}\sqrt{x+b}(x+b)(\sqrt{b}+\sqrt{x})}\\
\end{align*}$

Il s’ensuit que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0,b]$ et strictement décroissante sur $[b,+\infty[$. $g$ admet un maximum pour $x=b$ et ce maximum vaut : $g(b)=\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{2b}}=\sqrt{2}.$

Conclusion

Quels que soient les nombres $a$ et $b$ strictement positifs, $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2} \sqrt{a+b}$ et il n’y a pas mieux que la constante $C=\sqrt{2}$ réalisant cette majoration.

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