Il vous est proposé dans cet article de déterminer la décomposition de la fraction rationnelle $\frac{X^4+1}{(X^2+X+1)^3(X^2-X+1)^2}\comma$ en éléments simples dans $\R(X)$.
L’objectif principal est d’exposer une méthode systématique utilisant des calculs sur des polynômes. D’autres réponses alternatives ne sont pas présentées dans ce contenu.
Voyez comment décomposer une fraction qui possède deux parties polaires de deuxième espèce avec multiplicités.
Utilisez un changement de variable
Vous posez $Y=X^2+X+1.$ Vous allez calculer $X^4+1$ et $(X^2-X+1)^2$ en fonction de $X$ et des puissances de $Y.$ Toutes les puissances de $X$ avec un exposant supérieur ou égal à $2$ seront éliminées.
Vous débutez par $X^4+1$ comme suit :
\begin{align*}
X^4+1 &= (X^2)^2+1\\
&= (Y-X-1)^2+1\\
&=Y^2+X^2-2XY-2Y+2X+2\\
&=Y^2+(Y-X-1)-2XY-2Y+2X+2\\
&=Y^2+(-1-2X)Y+X+1.
\end{align*}
Vous poursuivez avec $(X^2-X+1)^2\comma$ ce qui donne :
\begin{align*}
(X^2-X+1)^2 &= \bigl((Y-X-1)-X+1\bigr)^2\\
&= (Y-2X)^2\\
&=Y^2+4X^2-4XY\\
&=Y^2+4(Y-X-1)-4XY\\
&=Y^2+(4-4X)Y-4X-4.
\end{align*}
Effectuez une division selon les puissances croissantes
Le premier terme $1+X$ disparaît en positionnant $\frac{-1}{4}$ dans le quotient partiel.
\begin{array}{r|l}
1+X+(-1-2X)Y+Y^2 & \underline{-4-4X+(4-4X)Y+Y^2} \\
\underline{1 +X +(-1+X)Y-\frac{1}{4}Y^2} & \frac{-1}{4} \\
-3XY+\frac{5}{4}Y^2
\end{array}
Préparez les calculs intermédiaires
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
D’une part :
\begin{align*}
(-4-4X)(b+aX) &= -4b-4aX-4bX-4aX^2\\
&= -4b-4aX-4bX-4a(Y-X-1)\\
&=4a-4b-4bX-4aY.
\end{align*}
D’autre part :
\begin{align*}
(4-4X)(b+aX) &= 4b+4aX-4bX-4aX^2\\
&= 4b+4aX-4bX-4a(Y-X-1)\\
&=4a+4b+(8a-4b)X-4aY.
\end{align*}
Éliminez le terme $-3XY$ du reste partiel
Vous choisissez $a$ et $b$ pour que le développement du produit $(-4-4X)(b+aX)$ démarre par $-3X\comma$ ce qui amène à prendre $a=\frac{3}{4}$ et $b=\frac{3}{4}.$
Pour un tel choix :
\left\{\begin{align*}
&(-4-4X)\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}X\right) = -3X-3Y\\
&(4-4X)\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}X\right) = 6+3X-3Y.
\end{align*}
\right.
L’étape suivante de la division est obtenue :
\begin{array}{r|l}
1+X+(-1-2X)Y+Y^2 & \underline{-4-4X+(4-4X)Y+Y^2} \\
\underline{1 +X +(-1+X)Y-\frac{1}{4}Y^2} & \frac{-1}{4} +\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}X\right)Y \\
-3XY+\frac{5}{4}Y^2 &\\
\underline{-3XY+(3+3X)Y^2+\left(\frac{-9}{4}+\frac{3}{4}X\right)Y^3} &\\
\left(\frac{-7}{4}-3X\right)Y^2+\left(\frac{9}{4}-\frac{3}{4}X\right)Y^3
\end{array}
Éliminez le terme $(\frac{-7}{4}-3X)Y^2$ du reste partiel
Vous choisissez $a$ et $b$ pour que le développement du produit $(-4-4X)(b+aX)$ démarre par $\frac{-7}{4}-3X\comma$ ce qui amène à avoir $-4b=-3$ et $4a-4b=\frac{-7}{4}.$ Les nombres $a=\frac{5}{16}$ et $b=\frac{3}{4}$ conviennent.
Pour un tel choix :
\left\{\begin{align*}
&(-4-4X)\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{16}X\right) = \frac{-7}{4}-3X-\frac{5}{4}Y\\
&(4-4X)\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{16}X\right) = \frac{17}{4}-\frac{1}{2}X-\frac{5}{4}Y.
\end{align*}
\right.
La division est maintenant terminée :
\begin{array}{r|l}
1+X+(-1-2X)Y+Y^2 & \underline{-4-4X+(4-4X)Y+Y^2} \\
\underline{1 +X +(-1+X)Y-\frac{1}{4}Y^2} & \frac{-1}{4} +\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}X\right)Y \\
-3XY+\frac{5}{4}Y^2 &\quad + \left(\frac{3}{4}+\frac{5}{16}X\right)Y^2\\
\underline{-3XY+(3+3X)Y^2+\left(\frac{-9}{4}+\frac{3}{4}X\right)Y^3} & \\
\left(\frac{-7}{4}-3X\right)Y^2+\left(\frac{9}{4}-\frac{3}{4}X\right)Y^3 &\\
\underline{\left(\frac{-7}{4}-3X\right)Y^2 + \left(3-\frac{1}{2}X\right)Y^3+ \left(\frac{-1}{2}+\frac{5}{16}X\right)Y^4} &\\
(\frac{-3}{4}-\frac{1}{4}X)Y^3+\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{16}X\right)Y^4 &
\end{array}
Grâce à cette division, vous avez obtenu :
\begin{align*}
\frac{X^4+1}{(X^2-X+1)^2} &= \frac{-1}{4} +\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}X\right)Y+ \left(\frac{3}{4}+\frac{5}{16}X\right)Y^2\\
&\quad+\frac{(\frac{-3}{4}-\frac{1}{4}X)Y^3+\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{16}X\right)Y^4}{(X^2-X+1)^2}.
\end{align*}
Vous divisez le tout par $Y^3\comma$ ce qui donne :
\begin{align*}
\frac{X^4+1}{Y^3(X^2-X+1)^2} &= \frac{-1}{4Y^3} +\frac{3X+3}{4Y^2}+ \frac{5X+12}{16Y}\\
&\quad+\frac{\left(\frac{-3}{4}-\frac{1}{4}X\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{16}X\right)Y}{(X^2-X+1)^2}.
\end{align*}
Il vous reste à calculer $\left(\frac{-3}{4}-\frac{1}{4}X\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{16}X\right)Y$ en fonction de $X.$ Cela fournit :
\begin{align*}
\left(\frac{-3}{4}-\frac{1}{4}X\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{16}X\right)Y &= \frac{-3}{4}-\frac{1}{4}X\\
&\quad+\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{16}X\right)(X^2+X+1)\\
&=\frac{-3}{4}-\frac{1}{4}X + \frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}X+\frac{1}{2}\\
&\quad-\frac{5}{16}X^3-\frac{5}{16}X^2-\frac{5}{16}X\\
&=\frac{-1}{4}-\frac{1}{16}X + \frac{3}{16}X^2-\frac{5}{16}X^3.
\end{align*}
Vous avez obtenu la décomposition partielle suivante :
\begin{align*}
\frac{X^4+1}{(X^2+X+1)^3(X^2-X+1)^2} &=
\frac{-1}{4(X^2+X+1)^3} +\frac{3X+3}{4(X^2+X+1)^2}\\
&\quad + \frac{5X+12}{16(X^2+X+1)}\\
&\quad + \frac{\frac{-1}{4}-\frac{1}{16}X + \frac{3}{16}X^2-\frac{5}{16}X^3}{(X^2-X+1)^2}.
\end{align*}
Effectuez un second changement de variable
Pour déterminer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\frac{\frac{-1}{4}-\frac{1}{16}X + \frac{3}{16}X^2-\frac{5}{16}X^3}{(X^2-X+1)^2}\comma$ vous posez $Z=X^2-X+1$ et vous exprimez le numérateur de cette fraction à l’aide de $X$ et des puissances de $Z.$
Vous avez déjà $X^2 = Z+X-1.$ Le calcul de $X^3$ se poursuit ainsi :
\begin{align*}
X^3 &= X\times X^2\\
&= X(Z+X-1)\\
&=XZ+X^2-X\\
&=XZ+(Z+X-1)-X\\
&=(X+1)Z-1.
\end{align*}
Vous déduisez de ce calcul que :
\begin{align*}
\frac{-1}{4}-\frac{1}{16}X + \frac{3}{16}X^2-\frac{5}{16}X^3 &= \frac{-1}{4}-\frac{1}{16}X+\frac{3}{16}(Z+X-1)\\
&\quad-\frac{5}{16}\bigl((X+1)Z-1\bigr)\\
&=\frac{-1}{8}+\frac{1}{8}X+\left(\frac{-1}{8}-\frac{5}{16}X\right)Z.
\end{align*}
En divisant par $Z^2\comma$ vous obtenez :
\begin{align*}
\frac{\frac{-1}{4}-\frac{1}{16}X + \frac{3}{16}X^2-\frac{5}{16}X^3}{(X^2-X+1)^2} &= \frac{\frac{-1}{8}+\frac{1}{8}X}{Z^2}+\frac{\frac{-1}{8}-\frac{5}{16}X}{Z}\\
&=\frac{X-1}{8Z^2}+\frac{-5X-2}{16Z}\\
&=\frac{X-1}{8(X^2-X+1)^2}+\frac{-5X-2}{16(X^2-X+1)}.
\end{align*}
Concluez
Vous déduisez finalement la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle de départ :
\boxed{
\begin{align*}
\frac{X^4+1}{(X^2+X+1)^3(X^2-X+1)^2} &=
\frac{-1}{4(X^2+X+1)^3} +\frac{3X+3}{4(X^2+X+1)^2}\\
&\quad + \frac{5X+12}{16(X^2+X+1)}+ \frac{X-1}{8(X^2-X+1)^2}\\
&\quad +\frac{-5X-2}{16(X^2-X+1)}.
\end{align*}
}
