Il vous est proposé dans cet article de déterminer la décomposition de la fraction rationnelle $\frac{2X^2-X+1}{(X-1)^3(X+1)^3}\comma$ en éléments simples dans $\R(X)$.
L’objectif principal est d’exposer une méthode systématique utilisant des calculs sur des polynômes. D’autres réponses alternatives ne sont pas présentées dans ce contenu.
Voyez comment décomposer une fraction qui possède deux parties polaires de première espèce avec multiplicités.
Utilisez un changement de variable
Vous posez $Y = X-1\comma$ puis vous calculez $\frac{2X^2-X+1}{(X+1)^3}$ en fonction de $Y.$
Pour le dénominateur, vous avez :
\begin{align*}
(X+1)^3 &= \bigl((Y+1)+1\bigr)^3\\
&=(Y+2)^3\\
&=Y^3+6Y^2+12Y+8.
\end{align*}
Pour le numérateur, vous avez :
\begin{align*}
2X^2-X+1 &=2(Y+1)^2-(Y+1)+1\\
&=2(Y^2+2Y+1)-Y\\
&=2Y^2+3Y+2.
\end{align*}
Du coup :
\begin{align*}
\frac{2X^2-X+1}{(X+1)^3} &= \frac{2Y^2+3Y+2}{Y^3+6Y^2+12Y+8}.
\end{align*}
Effectuez une division suivant les puissances croissantes
Le reste de cette division doit être un multiple de $Y^3\comma$ ce qui amène à effectuer les opérations suivantes.
\begin{array}{r|l}
2+3Y+2Y^2 & \underline{8+12Y+6Y^2+Y^3}\\
\underline{2+3Y+\frac{3}{2}Y^2+\frac{1}{4}Y^3}&\frac{1}{4}+\frac{1}{16}Y^2\\
\frac{1}{2}Y^2-\frac{1}{4}Y^3& \\
\underline{\frac{1}{2}Y^2+\frac{3}{4}Y^3+\frac{3}{8}Y^4+\frac{1}{16}Y^5}\\
-Y^3-\frac{3}{8}Y^4-\frac{1}{16}Y^5
\end{array}
Ainsi :
\begin{align*}
\frac{2X^2-X+1}{(X+1)^3} &= \frac{1}{4}+\frac{1}{16}Y^2 + \frac{-Y^3-\frac{3}{8}Y^4-\frac{1}{16}Y^5}{8+12Y+6Y^2+Y^3}.
\end{align*}
Vous divisez par $Y^3$ et vous obtenez :
\begin{align*}
\frac{2X^2-X+1}{Y^3(X+1)^3} &= \frac{1}{4Y^3}+\frac{1}{16Y} + \frac{-1-\frac{3}{8}Y-\frac{1}{16}Y^2}{(X+1)^3}.
\end{align*}
Vous calculez $-1-\frac{3}{8}Y-\frac{1}{16}Y^2$ en fonction de $X\comma$ ce qui donne :
\begin{align*}
-1-\frac{3}{8}Y-\frac{1}{16}Y^2 &= -\frac{1}{16}(X-1)^2-\frac{3}{8}(X-1)-1\\
&=\frac{-1}{16}(X^2-2X+1)-\frac{3}{8}X-\frac{5}{8}\\
&=\frac{-1}{16}X^2-\frac{1}{4}X-\frac{11}{16}.
\end{align*}
Vous avez obtenu le début de la décomposition :
\begin{align*}
\frac{2X^2-X+1}{(X-1)^3(X+1)^3} &=\frac{1}{4(X-1)^3}+\frac{1}{16(X-1)}\\
&\quad+\frac{\frac{-1}{16}X^2-\frac{1}{4}X-\frac{11}{16}}{(X+1)^3}.
\end{align*}
Effectuez un second changement de variable
Pour traiter la fraction rationnelle $\frac{\frac{-1}{16}X^2-\frac{1}{4}X-\frac{11}{16}}{(X+1)^3}\comma$ vous posez $Z=X+1.$
Vous calculez le numérateur de cette dernière en fonction des puissances de $Z\comma$ ce qui donne :
\begin{align*}
\frac{-1}{16}X^2-\frac{1}{4}X-\frac{11}{16} &= \frac{-1}{16}(Z-1)^2-\frac{1}{4}(Z-1)-\frac{11}{16}\\
&=\frac{-1}{16}(Z^2-2Z+1)-\frac{1}{4}Z-\frac{7}{16}\\
&=\frac{-1}{16}Z^2-\frac{1}{8}Z-\frac{1}{2}.
\end{align*}
Du coup :
\begin{align*}
\frac{\frac{-1}{16}X^2-\frac{1}{4}X-\frac{11}{16}}{(X+1)^3} &= \frac{\frac{-1}{16}Z^2-\frac{1}{8}Z-\frac{1}{2}}{Z^3}\\
&=-\frac{1}{16Z}-\frac{1}{8Z^2}-\frac{1}{2Z^3}\\
&=-\frac{1}{16(X+1)}-\frac{1}{8(X+1)^2}\\
&\qquad-\frac{1}{2(X+1)^3}.
\end{align*}
Concluez
La décomposition en éléments simples de la fraction demandée est la suivante :
\boxed{\begin{align*}
\frac{2X^2-X+1}{(X-1)^3(X+1)^3} &=\frac{1}{4(X-1)^3}+\frac{1}{16(X-1)}\\
&\qquad-\frac{1}{16(X+1)}\\
&\qquad-\frac{1}{8(X+1)^2}-\frac{1}{2(X+1)^3}.
\end{align*}
}
