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063. Démontrez le théorème de d’Alembert (partie 2/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Cet article est le prolongement de celui dans lequel il a été démontré que tout polynôme à coefficients complexes et de degré impair possède au moins une racine complexe.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 062.

Il s’agit ici de généraliser ce résultat aux autres degrés. Un résultat préliminaire utile est d’abord explicité ci-dessous.

Décomposez un entier naturel non nul en tant que produit d’une puissance de $2$ et d’un nombre impair

Pour tout entier naturel $m$ non nul, vous notez $\mathscr{P}(m)$ la propriété « il existe un entier naturel $n$ et un entier naturel impair $q$ tels que $m=2^nq.$ »

Initialisation. Pour $m=1\comma$ vous posez $n=0$ et $q=1.$ Vous avez bien $m = 2^n q$ avec $q$ impair, donc $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $m$ un entier naturel non nul. Supposez que les propriétés $\mathscr{P}(1),\dots, \mathscr{P}(m)$ soient vérifiées.

Si l’entier $m+1$ est impair, vous posez $n=0$ et $q=m+1\comma$ de sorte que $m+1=2^n q.$

Si l’entier $m+1$ est pair, il existe un nombre entier $r$ tel que $m+1=2r.$ Comme $m+1$ est strictement positif, $r$ est strictement positif aussi, donc $r\geq 1.$

Si $r\geq m+1\comma$ alors $2r\geq 2m+2$ ce qui amène à $m+1\geq 2m+2$ d’où $0\geq m+1\comma$ ce qui est absurde. Donc $r\leq m.$

Par hypothèse de récurrence, la propriété $\mathscr{P}(r)$ est vérifiée, donc il existe un entier naturel $n$ et un entier naturel impair $q$ tels que $r = 2^nq.$ Par suite, $2r = 2^{n+1}q$ et $m+1=2^{n+1}q.$

La propriété $\mathscr{P}(m+1)$ est à nouveau vérifiée.

Conclusion. Par récurrence, il vient d’être établi que :

\boxed{\forall m\geq 1, \exists n\in\N, \exists q\in\N, m= 2^nq\quad (\text{avec }q \text{ impair}).}

Montrez que toute matrice complexe admet au moins une valeur complexe par récurrence forte

Note. Dans toute cette section, tous les espaces vectoriels ou sous-espaces vectoriels considérés ont pour scalaires le corps $\C$ des nombres complexes.

Pour tout entier naturel $n\comma$ vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « Pour tout entier naturel $q$ impair, toute matrice à coefficients complexes dont l’ordre est égal à $2^n q$ possède au moins une valeur propre complexe. »

Initialisation. Soit $q$ un entier naturel impair. Soit $A$ une matrice complexe d’ordre $2^0q = q.$ Comme le polynôme caractéristique de $A$ est un polynôme à coefficients complexes, de degré $q$ qui est impair, il admet au moins une racine complexe $\lambda.$ Donc $\lambda$ est valeur propre de $A.$ La propriété $\mathscr{P}(0)$ est ainsi vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel. Supposez que les propriétés $\mathscr{P}(0),\dots, \mathscr{P}(n)$ soient vérifiées.

Soit $q$ un entier naturel impair et $A$ une matrice à coefficients complexes, dont l’ordre $r$ est égal à $2^{n+1}q.$

Vous considérez l’ensemble $S$ des matrices à coefficients complexes d’ordre $r$ qui sont égales à leur transposée.

$S$ est alors un $\C$-espace vectoriel de dimension finie égale à $s = \frac{r(r+1)}{2}.$ En effet, une matrice symétrique à coefficients complexes est entièrement déterminée par ses $r$ coefficients situés sur sa diagonale principale et la moitié des coefficients restants, qui sont au nombre de $\frac{r^2-r}{2}.$ La somme $r+\frac{r^2-r}{2}$ est égale à $\frac{r^2+r}{2}\comma$ lui-même égal à $\frac{r(r+1)}{2}.$

En posant $t = 2^nq$ qui est un entier naturel, vous remarquez que :

\begin{align*} s &= \frac{2^{n+1}q(2\times 2^nq+1)}{2}\\ &= 2^nq(2\times 2^nq+1)\\ &= 2^nq(2t+1). \end{align*}

Comme les entiers $q$ et $2t +1$ sont impairs, leur produit $q^{\prime}$ l’est aussi. Donc $S$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension finie égale à $2^n q^{\prime}\comma$ où $q^{\prime}$ est impair.

Vous posez alors :

\left\{\begin{align*} \forall M\in S, u(M) &= AM+MA^{\top}\\ \forall M\in S, v(M) &= AMA^{\top}. \end{align*} \right.

Vous allez vérifier que $u$ et $v$ définissent deux applications de $S$ dans $S.$

En effet, soit $M$ un élément de $S\comma$ c’est-à-dire une matrice symétrique à coefficients complexes, telle que $M = M^{\top}.$

D’une part :

\begin{align*} u(M)^{\top} &= (AM+MA^{\top})^{\top}\\ &= (AM)^{\top}+(MA^{\top})^{\top}\\ &= M^{\top}A^{\top}+(A^{\top})^{\top}M^{\top}\\ &=MA^{\top}+AM\\ &=AM+MA^{\top}\\ &=u(M). \end{align*}

D’autre part :

\begin{align*} v(M)^{\top} &= (AMA^{\top})^{\top}\\ &=(A^{\top})^{\top}M^{\top}A^{\top}\\ &=AMA^{\top}\\ &=v(M). \end{align*}

Vous allez maintenant vérifier que $u$ et $v$ sont deux endomorphismes de $S.$

En effet, soient $M$ et $N$ deux éléments de $S$ et $z$ un nombre complexe. D’une part, vous avez :

\begin{align*} u(M+zN) &= A(M+zN)+(M+zN)A^{\top}\\ &=AM+zAN+MA^{\top}+zNA^{\top}\\ &=(AM+MA^{\top})+z(AN+NA^{\top})\\ &=u(M)+zu(N). \end{align*}

D’autre part :

\begin{align*} v(M+zN) &=A(M+zN)A^{\top}\\ &= AMA^{\top}+zANA^{\top}\\ &= v(M)+zv(N). \end{align*}

Vous allez ensuite montrer que les endomorphismes $u$ et $v$ de $S$ commutent.

Soit $M$ un élément de $S.$

\begin{align*} v(u(M)) &= Au(M)A^{\top}\\ &= A(AM+MA^{\top})A^{\top}\\ &= AAMA^{\top}+AMA^{\top}A^{\top}\\ &= A(AMA^{\top})+(AMA^{\top})A^{\top}\\ &= Av(M)+v(M)A^{\top}\\ &= u(v(M)). \end{align*}

Vous considérez alors l’ensemble $\Omega=\{m\in\N, m$ n’est pas divisible par $2^{n+1}$ et il existe un sous-espace vectoriel $V$ de $S$ qui soit stable à la fois par $u$ et par $v\comma$ et tel que $m=\dim V\}.$ Autrement dit, $\Omega$ contient toutes les valeurs de $\dim V\comma$ pourvu que $V$ soit un sous-espace vectoriel de $S$ qui soit stable par $u$ et par $v\comma$ et dont la dimension n’est pas un multiple de $2^{n+1}.$

$S$ est lui-même un sous-espace vectoriel de $S\comma$ stable par $u$ et par $v.$ Comme $\dim S = 2^n q^{\prime}\comma$ l’entier $2^{n+1}$ ne divise pas $\dim S.$ En effet, si tel était le cas, vous auriez $2^{n+1} \mid 2^n q^{\prime}$ d’où $2 \mid q^{\prime}$ et $q^{\prime}$ serait pair, ce qui est absurde. Du coup, $\dim S\in\Omega.$

L’ensemble $\Omega$ est une partie non vide de $\N\comma$ donc $\Omega$ admet un plus petit élément $p.$

Par définition de $p\comma$ il existe un sous-espace vectoriel $K$ de $S\comma$ stable par $u$ et par $v\comma$ et tel que $\dim K = p$ et $2^{n+1} \nmid p.$ Notez que $p$ n’est pas nul, sinon $2^{n+1}$ diviserait $p\comma$ donc $p\geq 1.$ Soit $(e_1,\dots,e_p)$ une base de $K.$

La matrice de l’endomorphisme $u_{\vert K}$ dans cette base est d’ordre $p.$ Il existe un entier naturel $\alpha$ et un entier naturel impair $\kappa$ tels que $p= 2^{\alpha}\kappa.$ Si $\alpha$ était supérieur ou égal à $n+1\comma$ alors $2^{n+1}$ diviserait $p\comma$ ce qui est absurde. Donc $\alpha$ est un entier naturel inférieur ou égal à $n.$

Or, la propriété $\mathscr{P}(\alpha)$ est vraie par hypothèse de récurrence. La matrice $u_{\vert K}$ dans la base $(e_1,\dots, e_p)\comma$ ayant pour ordre $p=2^{\alpha}\kappa\comma$ avec $\kappa$ impair, vous déduisez qu’elle possède une valeur propre $\lambda.$

Donc l’endomorphisme $u_{\vert K}$ possède aussi $\lambda$ pour valeur propre. Dans la suite, vous notez $N$ le noyau de l’endomorphisme $u_{\vert K}-\lambda\id_K$ et $R$ son image.

Si $N\neq K\comma$ alors l’inclusion $N\subset K$ est stricte et $\dim N \lt \dim K.$ Comme $\dim K$ est le plus petit élément de $\Omega\comma$ il s’ensuit que $\dim N \notin \Omega.$ Cependant, $N$ est stable par $u$ et par $v.$ $\dim N$ est un entier naturel. Vous avez donc $2^{n+1} \mid \dim N.$ Par le théorème du rang, $\dim N+\dim R = \dim K.$ Si $\dim R$ était divisible par $2^{n+1}$ la somme $\dim N+\dim R$ le serait aussi et $\dim K$ serait divisible par $2^{n+1}\comma$ ce qui est exclu. Donc $2^{n+1}\nmid \dim R.$ Comme $R$ est à la fois stable par $u$ et par $v\comma$ vous avez $\dim R\in \Omega.$ Or, $\dim K$ est le plus petit élément de $\Omega\comma$ donc vous déduisez que $\dim K \leq \dim R.$ Comme la somme $\dim R+\dim N$ vaut $\dim K$ vous avez $\dim N =0.$ Or, $\lambda$ est valeur propre de $u_{\vert K}$ donc $\dim N\geq 1\comma$ d’où une contradiction.

Du coup, $N=K.$ Vous considérez alors l’endomorphisme $v_{\vert K}.$ Sa matrice dans la base $(e_1,\dots,e_p)$ a pour ordre $p=2^{\alpha}\kappa.$ Comme $\mathscr{P}(\alpha)$ est vraie, cette matrice possède une valeur propre $\mu\in\C\comma$ qui est aussi une valeur propre de $v_{\vert K}.$ En notant $X\in K$ un vecteur propre associé, vous avez $X\neq 0$ et $v_{\vert K}(X) = v(X)=\mu X.$ Or $X\in K$ donc $X\in N$ et par suite $u_{\vert K}(X) = u(X)=\lambda X.$ Comme $K\subset S\comma$ vous déduisez que $X\in S.$ Les endomorphismes $u$ et $v$ ont ainsi en commun le vecteur propre $X.$

Utilisant l’élément $X$ précité, vous avez :

\left\{\begin{align*} AX-XA^{\top} &= \lambda X\\ AXA^{\top} &=\mu X \end{align*} \right.

Vous multipliez la première ligne par $A$ à gauche :

\begin{align*} A^2-AXA^{\top} &=\lambda AX\\ A^2-\mu X &= \lambda AX. \end{align*}

En désignant par $I$ la matrice identité d’ordre $r\comma$ il vient :

(A^2-\lambda A – \mu I) X = 0.

Vous considérez le discriminant $\Delta = \lambda^2+4\mu\comma$ que vous mettez sous forme trigonométrique. Il existe un réel positif ou nul $\rho$ et un réel $\theta$ tels que $\Delta = \rho \e^{i\theta}.$

Vous posez alors :

\left\{ \begin{align*} a_1 &= \frac{\lambda + \sqrt{\rho}\e^{i\theta/2}}{2}\\ a_2 &= \frac{\lambda – \sqrt{\rho}\e^{i\theta/2}}{2}. \end{align*} \right.

La somme $a_1+a_2$ est égale à $\lambda.$

Le produit $a_1a_2$ s’écrit comme suit :

\begin{align*} a_1a_2 &= \frac{\lambda^2-\rho \e^{i\theta}}{4}\\ &=\frac{\lambda^2-\Delta}{4}\\ &=\frac{-4\mu}{4}\\ &=-\mu. \end{align*}

Vous développez le produit :

\begin{align*} (A-a_1I)(A-a_2I) &= A^2-(a_1+a_2)A+a_1a_2I\\ &= A^2-\lambda A -\mu I. \end{align*}

Ainsi :

\begin{align*} (A-a_1I)(A-a_2I)X &=0. \end{align*}

Comme $X\in S$ et que $X$ qui n’est pas la matrice nulle, en prenant une colonne non nulle $C$ de $X\comma$ vous avez aussi $(A-a_1I)(A-a_2I)C = 0.$

Si $(A-a_2I)C =0\comma$ alors $AC=a_2C\comma$ ce qui prouve que $a_2$ est valeur propre de $A.$

Si $(A-a_2I)C\neq 0\comma$ vous posez $C^{\prime} = (A-a_2I)C.$ Alors $C^{\prime}$ contient au moins un coefficient non nul et $(A-a_1I)C^{\prime}=0$ d’où $AC^{\prime} = a_1C^{\prime}.$ Cela prouve que $a_1$ est valeur propre de $A.$

Dans tous les cas, la matrice $A$ possède une valeur propre complexe et la propriété $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.

Conclusion. Il vient d’être établi par récurrence que pour tout entier naturel $n\comma$ et pour tout entier naturel $q$ impair, toute matrice à coefficients complexes dont l’ordre est égal à $2^n q$ possède au moins une valeur propre complexe.

Soit maintenant $A$ une matrice à coefficients complexes. Notez $r$ son ordre, qui est un entier naturel tel que $r\geq 1.$ Il existe un entier naturel $\alpha$ et un entier naturel impair $\kappa$ tels que $r=2^{\alpha}\kappa.$ D’après ce qui précède, $A$ possède au moins une valeur propre complexe.

Il vient d’être démontré que toute matrice à coefficients complexes possède au moins une valeur propre complexe.

Utilisez la notion de matrice compagnon

Soit $n$ un entier naturel non nul et $P$ un polynôme à coefficients complexes de degré $n.$ Il existe des nombres complexes $c_0, \dots, c_{n-1}$ et un nombre complexe non nul $c_n$ tels que :

P(X)=c_nX^n+\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^k.

Vous considérez le polynôme complexe unitaire $Q$ défini par :

Q(X) = X^n +\sum_{k=0}^{n-1}\frac{c_k}{c_n}X^k.

Pour tout $k\in\llbracket 0, n-1\rrbracket\comma$ vous posez $a_k = -\frac{c_k}{c_n}\comma$ de sorte que :

Q(X) = X^n -\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k.

Vous associez à ce polynôme $Q$ la matrice suivante, appelée matrice compagnon du polynôme $Q.$ Elle est définie par :

A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & a_0\\ 1 & 0 & \dots & 0 & a_1\\ 0 & 1 & \dots & 0 & a_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}

Vous notez :

C_0 = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad C_1 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad \dots \quad C_{n-1} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}.

La matrice $A$ agit sur les matrices colonnes précédentes de la façon suivante :

\left\{\begin{align*} AC_0 &= C_1\\ AC_1 &= C_2 \\ \vdots\\ AC_{n-2} &= C_{n-1}\\ AC_{n-1} &= \sum_{k=0}^{n-1}a_kC_k. \end{align*} \right.

Les lignes précédentes, sauf la dernière, permettent d’écrire ce qui suit :

\forall k\in\llbracket 0, n-1\rrbracket, C_k = A^kC_0.

En substituant, il vient :

\begin{align*} A(A^{n-1}C_{0}) &= \sum_{k=0}^{n-1}a_kA^kC_0\\ A^nC_0 &= \sum_{k=0}^{n-1}a_kA^kC_0\\ \left(A^n-\sum_{k=0}^{n-1}a_kA^k\right)C_0 &=0\\ Q(A)C_0&=0. \end{align*}

Soit $k$ un élément de l’intervalle $\llbracket 0, n-1\rrbracket.$ Multipliez la relation précédente à gauche par $A^k\comma$ vous obtenez, grâce à la commutation des polynômes en $A\comma$ que :

\begin{align*} A^k Q(A)C_0 &= 0\\ Q(A) A^k C_0 &= 0\\ Q(A) C_k &= 0. \end{align*}

Ainsi, toutes les colonnes de la matrice $Q(A)$ sont nulles, donc $Q(A)$ est la matrice nulle.

Or, la matrice $A$ est à coefficients complexes. Donc elle possède au moins une valeur propre complexe notée $\lambda.$ Soit $V$ un vecteur propre associé, c’est une matrice colonne non identiquement nulle. De plus :

AV = \lambda V.

Du coup, quel que soit $k\in\llbracket 0, n\rrbracket\comma$ vous avez :

A^kV = \lambda^kV.

Par linéarité, il vient :

\begin{align*} Q(A)V &= \left(A^n – \sum_{k=0}^{n-1}a_kA^k\right)V\\ &= A^nV-\sum_{k=0}^{n-1}a_kA^kV\\ &= \lambda^nV-\sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda^kV\\ &= \left(\lambda^n – \sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda^k\right)V\\ &= Q(\lambda)V. \end{align*}

Comme la matrice $Q(A)$ est nulle, la matrice colonne $Q(A)V$ est identiquement nulle, donc $Q(\lambda)V$ aussi. Or, $V$ possède au moins un coefficient non nul, donc $Q(\lambda)=0.$

Du coup :

0 = \lambda^n +\sum_{k=0}^{n-1}\frac{c_k}{c_n}\lambda^k.

Vous multipliez le tout par $c_n$ et vous obtenez $P(\lambda)=0.$

Concluez

Le théorème de d’Alembert est démontré : tout polynôme non constant de $\C[X]$ possède au moins une racine complexe.