Le présent article prolonge une étude antérieure portant sur l’inégalité triangulaire et examine plus précisément les conditions d’égalité dans le cadre de l’inégalité triangulaire renversée.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 053.
Analysez la situation
Soient $z$ et $w$ deux nombres complexes tels que :
\bigl\vert\vert z\vert – \vert w \vert\bigr\vert = \vert z-w\vert.
Vous élevez au carré et obtenez :
\begin{align*}
\bigl\vert\vert z\vert – \vert w \vert\bigr\vert^2 = \vert z-w\vert^2.
\end{align*}
Le membre de gauche désigne le module au carré du nombre réel $\vert z \vert – \vert w \vert.$ Le membre de droite désigne le module au carré d’un nombre complexe $z-w$ qui se calcule avec son conjugué. Cela fournit :
\begin{align*}
(\vert z\vert – \vert w \vert)^2 &= (z-w)(\overline{z}-\overline{w}) \\
\vert z \vert^2+\vert w\vert^2-2\vert z\vert \vert w\vert &= \vert z \vert^2-z\overline{w}-\overline{z}w+\vert w \vert^2\\
2\vert z\vert \vert w\vert &= z\overline{w}+\overline{z}w.
\end{align*}
Un nombre complexe a le même module que son conjugué, d’où :
2\vert z\vert \vert \overline{w}\vert = z\overline{w}+\overline{z}w.
Vous remarquez que le conjugué de $\overline{z}w$ est $z\overline{w}\comma$ d’où :
2\vert z\vert \vert \overline{w}\vert = z\overline{w}+\overline{z\overline{w}}.
La somme d’un nombre complexe et de son conjugué vaut le double de sa partie réelle, donc :
\begin{align*}
2\vert z\vert \vert \overline{w}\vert &= 2\re(z\overline{w})\\
\vert z\vert \vert \overline{w}\vert &= \re(z\overline{w})\\
\vert z\overline{w}\vert &= \re(z\overline{w}).
\end{align*}
Utilisant le contenu préliminaire de l’article précité, vous déduisez que $z\overline{w}\in\R_{+}.$ Alors $w=0$ ou il existe $s\in\R_{+}$ tel que $z=sw.$
Étudiez la réciproque
Soient $z$ et $w$ deux nombres complexes.
Le cas où $w=0$
Les calculs fournissent :
\begin{align*}
\vert\vert z\vert – \vert w \vert\vert &= \vert\vert z\vert – \vert 0 \vert\vert\\
&=\vert\vert z\vert – 0\vert \\
&=\vert\vert z\vert \vert \\
&=\vert z\vert \\
&=\vert z – 0\vert\\
&=\vert z – w\vert.
\end{align*}
Le cas où il existe $s\in\R_{+}$ tel que $z=sw$
\begin{align*}
\bigl\vert\vert z\vert – \vert w \vert\bigr\vert &=
\bigl\vert \vert sw\vert – \vert w \vert\bigr\vert \\
&=
\bigl\vert \vert s\vert \vert w\vert – \vert w \vert\bigr\vert.
\end{align*}
Comme $s$ est un réel positif, il vient $s=\vert s\vert.$ De même, comme $\vert w\vert$ est un réel positif, vous avez $\bigl\vert\vert w\vert\bigr\vert = \vert w \vert\comma$ d’où :
\begin{align*}
\bigl\vert\vert z\vert – \vert w \vert\bigr\vert
&=
\bigl\vert \vert sw \vert – \vert w \vert\bigr\vert\\
&=
\bigl\vert \vert s \vert \vert w \vert – \vert w \vert\bigr\vert\\
&=
\bigl\vert s \vert w\vert – \vert w \vert\bigr\vert\\
&=\bigl\vert (s -1) \vert w\vert \bigr\vert\\
&= \vert (s -1) \vert\ \bigl\vert\vert w\vert\bigr\vert\\
&= \vert (s -1) \vert \vert w\vert\\
&= \vert (s-1)w\vert\\
&= \vert sw-w\vert\\
&= \vert z-w\vert.
\end{align*}
Concluez
Le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire renversée est résolu. Quels que soient les nombres complexes $z$ et $w\comma$ vous avez l’équivalence suivante :
\bigl\vert\vert z\vert – \vert w \vert\bigr\vert = \vert z-w\vert \iff \bigl((w=0) \text{ ou } (\exists s\in\R_{+}, z=sw)\bigr).
