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068. Repérez les racines multiples d’un polynôme

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Pour tout polynôme $P$ à coefficients complexes, vous allez démontrer que $P$ est à racines simples dans $\C\comma$ si et seulement si, le polynôme $P$ et le polynôme dérivé $P^{\prime}$ sont premiers entre eux.

Pour démontrer ce résultat, vous aller démontrer l’équivalence suivante : pour tout polynôme $P$ à coefficients dans $\C\comma$ $P$ possède au moins une racine multiple dans $\C\comma$ si et seulement si, les polynômes $P$ et $P^{\prime}$ ne sont pas premiers entre eux.

Démontrez l’implication $\implies$

Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $\C\comma$ possédant au moins une racine complexe multiple. Notez $a\in \C$ une telle racine. Il existe un polynôme $Q\in \C[X]$ tel que $P(X)=(X-a)^2 Q(X).$ Il s’ensuit, en dérivant, que :

\begin{align*} P^{\prime}(X)&=2(X−a)Q(X)+(X−a)^2Q^{\prime}(X)\\ &=(X−a)\bigl(2Q(X)+(X−a)Q^{\prime}(X)\bigr). \end{align*}

Le polynôme $X-a$ divise les polynômes $P$ et $P^{\prime}\comma$ donc ils ne sont pas premiers entre eux.

Démontrez l’implication $\impliedby$

Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $\C\comma$ tels que $P$ et $P^{\prime}$ ne soient pas premiers entre eux. Il existe un polynôme $Q\in \C[X]$ de degré supérieur ou égal à 1, tel que $Q$ divise à la fois $P$ et $P^{\prime}.$ Notez que $P^{\prime}$ a un degré supérieur ou égal à $1\comma$ donc $P$ a pour degré un entier $n$ tel que $n\geq 2.$

Or, $Q$ est un polynôme non constant à coefficients complexes. Utilisant le théorème de d’Alembert, il existe un nombre complexe $a$ tel que $Q(a)=0.$ Il en résulte que $P(a)=0$ et que $P^{\prime}(a)=0.$

Il vous est conseillé d’étudier une démonstration complète du théorème de d’Alembert.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 062.

La formule de Taylor appliquée au polynôme $P$ en $a$ permet de conclure. En effet :

\begin{align*} P(X) &= \sum_{k=0}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \\&= \sum_{k=2}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \\&= (X-a)^2\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{P^{(k+2)}(a)}{(k+2)!}(X-a)^k.\end{align*}

Cette écriture prouve que $a$ est une racine multiple de $P.$

Étudiez un exemple précis

Soit $P$ le polynôme défini par :

P(X)=X^6-6X^5+15X^4-20X^3+12X^2-4.

Pour savoir si $P$ possède une racine complexe multiple, vous calculez le $\pgcd$ est polynômes $P$ et $P^{\prime}.$

En dérivant le polynôme $P\comma$ il vient :

\begin{align*} P^{\prime}(X)&=6X^5-30X^4+60X^3-60X^2+24X\\ &= 6(X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X). \end{align*}

Vous posez $Q(X) = X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X$ et vous utilisez l’égalité $\pgcd(P,P^{\prime})=\pgcd(P,Q).$

Appliquez l’algorithme d’Euclide aux polynômes $P$ et $Q.$ Cela vous amène à effectuer une première division euclidienne :

\begin{array}{r|l} X^6-6X^5+ 15X^4-20X^3+12X^2-4& \underline{X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X}\\ \underline{X^6-5X^5+10X^4-10X^3+4X^2} & X-1\\ -X^5+5X^4-10X^3+8X^2-4 &\\ \underline{-X^5+5X^4-10X^3+10X^2-4X} &\\ -2X^2+4X-4 \end{array}

Vous constatez que $(-2X^2+4X+4) = -2(X^2-2X+2).$

Vous effectuez une autre division euclidienne :

\begin{array}{r|l} X^5-5X^4+10X^3-10X^2+4X & \underline{X^2-2X+2}\\ \underline{X^5-2X^4+2X^3} & X^3-3X^2+2X \\ -3X^4+8X^3-10X^2+4X &\\ \underline{-3X^4+6X^3-6X^2} & \\ 2X^3-4X^2+4X&\\ \underline{2X^3-4X^2+4X}\\ 0 \end{array}

Du coup, $\pgcd(P,P^{\prime})=X^2-2X+2.$

Le polynôme $P$ possède au moins une racine multiple dans $\C.$