Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On rappelle que le produit cartésien $E\times F$ de ces deux ensembles est défini par un ensemble de couples, c’est-à-dire : $E\times F = \{(x,y), x\in E, y\in F\}.$

Définissez une application

Une application $f$ de $E$ dans $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$ tel que, pour tout $x\in E\comma$ il existe un unique $y\in F$ tel que $(x,y)\in f$. Pour tout $x$ appartenant à $E\comma$ l’unique $y$ tel que $(x,y)\in f$ est noté $f(x)\comma$ il est appelé image de $x$ par $f.$

Définissez une fonction

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$ tel que, pour tout $x\in E$, il existe au plus un $y\in F$ tel que $(x,y)\in f$.

Vous constatez qu’une fonction de $E$ dans $F$ est une application d’un ensemble $E^{\prime} \subset E$ dans $F$.

Fournissez un exemple

$f: \R\to \R$ définie par $f(x) = \sqrt{x}$ est une fonction, alors que $g: \R_{+}\to \R$ définie par $g(x) = \sqrt{x}$ est une application.