La différence est subtile…
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On rappelle que le produit cartésien $E\times F$ de ces deux ensembles est défini par un ensemble de couples, c’est-à-dire : $E\times F = \{(x,y) , x\in E, y\in F\}$.
Définition d’une application
Une application $f$ de $E$ dans $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$ tel que, pour tout $x\in E$, il existe un unique $y\in F$ tel que $(x,y)\in f$. L’unicité permet de donner le nom $f(x)$ à ce seul $y$ pour $x$.
Définition d’une fonction
Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est une sous-ensemble de $E\times F$ tel que, pour tout $x\in E$, il existe au plus un $y\in F$ tel que $(x,y)\in f$.
Remarques
Une fonction de $E$ dans $F$ est une application d’une partie $E’$ de $E$ dans $F$.
Exemples
$f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \sqrt{x}$ est une fonction.
$g : \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = \sqrt{x}$ est une application.
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