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076. Résolvez l’équation réelle du troisième degré (partie 2/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Ce contenu est le prolongement de l’article précédent.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 075.

Explicitez une stratégie pour résoudre l’équation réelle $x^3 – 2x -\frac{1}{4} = 0$

Effectuez une analyse

Soit $x$ un nombre réel tel que $x^3-2x-\frac{1}{4}=0.$

Soit $r$ un nombre réel non nul, que vous choisirez un peu plus tard. Posez $y = \frac{x}{r}.$ Alors :

\begin{align*} &(ry)^3-2ry-\frac{1}{4} =0\\ &r^2 ry^3-2ry=\frac{1}{4}\\ &r^2y^3-2y=\frac{1}{4r}\\ &\frac{3}{2}r^2y^3-3y=\frac{3}{8r}. \end{align*}

Souhaitant avoir $\frac{3}{2}r^2 = 4\comma$ vous décidez de poser $r = \sqrt{\frac{8}{3}}.$ Vous avez $r = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ soit $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Ainsi :

\begin{align*} &4y^3-3y = \frac{9}{8\times 2\sqrt{6}}\\ &4y^3-3y = \frac{9\sqrt{6}}{8\times 2\times 6}\\ &4y^3-3y = \frac{ 3\sqrt{6}}{32}. \end{align*}

Supposez que $y\gt 1.$ Il existe un réel $\theta$ tel que $y=\ch \theta.$

Alors vous obtenez :

\begin{align*} 4(\ch\theta)^3-3\ch\theta &=\frac{3\sqrt{6}}{32}\\ \ch(3\theta) &=\frac{3\sqrt{6}}{32}. \end{align*}

Or, $\frac{3\sqrt{6}}{32}\notin [1,+\infty[\comma$ ce qui est absurde.

De même supposez que $y\lt -1.$ Il existe un réel $\theta$ tel que $y=-\ch \theta.$

Ainsi :

\begin{align*} 4(-\ch\theta)^3-3(-\ch\theta) &=\frac{3\sqrt{6}}{32}\\ -4(\ch\theta)^3+3(\ch\theta) &=\frac{3\sqrt{6}}{32}\\ 4(\ch\theta)^3-3(\ch\theta)&=\frac{-3\sqrt{6}}{32}\\ \ch(3\theta)&=\frac{-3\sqrt{6}}{32}. \end{align*}

Or, $\frac{-3\sqrt{6}}{32}\notin [1,+\infty[\comma$ ce qui est absurde.

Vous déduisez que $y\in[-1,1].$ Donc il existe un réel $\theta$ tel que $y=\cos\theta.$

Du coup :

\begin{align*} 4(\cos\theta)^3-3\cos\theta &=\frac{3\sqrt{6}}{32}\\ \cos(3\theta) &=\frac{3\sqrt{6}}{32}. \end{align*}

Donc il existe un entier $k$ tel que :

\begin{align*} 3\theta &= \pm\left(\arccos\frac{3\sqrt{6}}{32}+2k\pi\right)\\ \theta &= \pm\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt{6}}{32}+\frac{2k\pi}{3}\right). \end{align*}

Effectuez la division euclidienne de $k$ par $3.$ Il existe un entier $q$ et un entier $\alpha\in\llbracket 0, 2\rrbracket$ tels que $k=3q+\alpha.$

Ainsi :

\theta = \pm\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt{6}}{32}+2q\pi +\frac{2\alpha\pi}{3}\right).

Du coup, le cosinus étant une fonction paire :

\begin{align*} y &= \cos \theta\\ &= \cos \left(\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt{6}}{32}+2q\pi +\frac{2\alpha\pi}{3}\right)\\ &=\cos \left(\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt{6}}{32}+\frac{2\alpha\pi}{3}\right). \end{align*}

Ainsi :

\begin{align*} x &=\frac{2\sqrt{6}}{3} \cos \left(\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt{6}}{32}+\frac{2\alpha\pi}{3}\right). \end{align*}

L’équation $x^3 – 2x -\frac{1}{4} = 0$ possède au maximum trois solutions.

Effectuez la synthèse

Pour tout $\ell\in\llbracket 0, 2\rrbracket\comma$ vous posez :

\begin{align*} x_{\ell} &= \frac{2\sqrt{6}}{3} \cos \left(\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt{6}}{32}+\frac{2\ell\pi}{3}\right). \end{align*}

Pour simplifier les notations, vous posez :

\theta = \arccos\frac{3\sqrt{6}}{32}.

Ainsi, pour tout $\ell\in\llbracket 0, 2\rrbracket\comma$ vous obtenez $x_{\ell} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right).$

Supposez qu’il existe deux indices $\alpha$ et $\beta$ appartenant à l’intervalle $\llbracket 0, 2\rrbracket$ avec $\alpha\neq \beta\comma$ tels que $x_{\alpha}=x_{\beta}.$

Alors $\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\alpha\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\beta\pi}{3}\right).$

Donc il existe un entier $k$ tel que :

\begin{align*} \frac{\theta}{3}+\frac{2\alpha\pi}{3} &=\pm \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\beta\pi}{3}+2k\pi\right). \end{align*}

Premier cas. Si $\frac{\theta}{3}+\frac{2\alpha\pi}{3}=\frac{\theta}{3}+\frac{2\beta\pi}{3}+2k\pi\comma$ alors vous avez $\frac{2\alpha\pi}{3}=\frac{2\beta\pi}{3}+2k\pi$ d’où $\alpha=\beta+3k$ et finalement $\vert \alpha-\beta\vert = 3\vert k\vert.$ Comme $\alpha$ et $\beta$ sont différents et entiers, vous avez $\vert \alpha-\beta \vert \geq 1$ donc $\vert k\vert \geq \frac{1}{3}.$ Comme $k$ est entier, il vient $\vert k \vert \geq 1$ donc $\vert \alpha-\beta\vert \geq 3.$ Or, comme $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à l’intervalle $\llbracket 0, 2\rrbracket\comma$ vous avez $\vert \alpha-\beta\vert \leq 2$ ce qui amène à une contradiction.

Second cas. Si $\frac{\theta}{3}+\frac{2\alpha\pi}{3}=-\frac{\theta}{3}-\frac{2\beta\pi}{3}-2k\pi\comma$ alors :

\begin{align*} \frac{\theta}{3}+\frac{\alpha\pi}{3}+\frac{\beta\pi}{3}=-k\pi\\ \theta=(-3k-\alpha-\beta)\pi. \end{align*}

Comme $-3k-\alpha-\beta\in\Z\comma$ vous avez $\cos \theta =\pm 1.$ Or, $\cos \theta = \frac{3\sqrt{6}}{32}\comma$ d’où une contradiction.

Donc les réels $x_0\comma$ $x_1$ et $x_2$ sont deux à deux distincts.

Soit $\ell$ un élément de l’intervalle $\llbracket 0, 2\rrbracket.$ Vous avez :

\begin{align*} x_{\ell}^3 – 2x_{\ell} -\frac{1}{4} &= \frac{48\sqrt{6}}{27}\left(\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right)\right)^3-\frac{4\sqrt{6}}{3}\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right)-\frac{1}{4}\\ &= \frac{\sqrt{6}}{3}\left[ \frac{48}{9}\left(\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right)\right)^3-4\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right)-\frac{3}{4\sqrt{6}}\right]\\ &= \frac{\sqrt{6}}{3}\left[ \frac{16}{3}\left(\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right)\right)^3-4\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{6}}{8}\right]\\ &= \frac{4\sqrt{6}}{9}\left[ 4\left(\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right)\right)^3-3\cos \left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\ell\pi}{3}\right)-\frac{3\sqrt{6}}{32}\right]\\ &= \frac{4\sqrt{6}}{9}\left[ \cos(\theta+2\ell\pi)-\frac{3\sqrt{6}}{32}\right]\\ &= \frac{4\sqrt{6}}{9}\left[ \cos\theta-\frac{3\sqrt{6}}{32}\right]\\ &= 0. \end{align*}

Les trois candidats sont effectivement bien des solutions.

Concluez

L’équation $x^3 – 2x-\frac{1}{4} = 0$ admet exactement $3$ solutions réelles qui sont :

\left\{\begin{align*} x_0 &= \frac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\frac{1}{3}\arccos \frac{3\sqrt{6}}{32}\right) \\ x_1 &= \frac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\frac{1}{3}\arccos \frac{3\sqrt{6}}{32} + \frac{2\pi}{3}\right)\\ x_2 &= \frac{2\sqrt{6}}{3} \cos\left(\frac{1}{3}\arccos \frac{3\sqrt{6}}{32} + \frac{4\pi}{3}\right). \end{align*} \right.