Votre navigateur n'accepte pas le Javascript.La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

École AVOSZ 

École AVOSZ

Catégorie : Niveau Première

295. Déterminez sans division si un nombre est premier (1/2)

Rédigé par on | Niveau Première, Niveau Seconde, Niveau Terminale

Partez d’un exemple : le nombre $119$ est-il premier ? Autrement dit, existe-t-il un nombre entier $n$ compris entre $2$ et $118$ de sorte que $119$ soit un multiple de $n$ ?

Les premiers tests de divisibilité échouent :

  • $119$ est impair et n’est pas divisible par $2$ ;
  • la somme des chiffres de $119$ est égale à $11$ qui n’est pas dans la table de $3$, donc $119$ n’est pas un multiple de $3$ ;
  • $119$ ne finit ni par $0$ ni par $5$ et n’est pas divisible par $5$ ;
  • Il existe un critère de divisibilité par $7$, mais il est peu diffusé et donc, à moins de diviser $119$ par $7$, vous ne savez pas s’il est divisible par $7$…

Il va falloir changer de méthode.

Utilisez une idée attribuée à Fermat

L’objectif est d’utiliser l’identité remarquable suivante :

a^2-b^2 = (a+b)(a-b).

Vous allez d’abord déterminer le plus petit entier possible $k$ tel que $k^2>119.$

Déjà, pourquoi un tel entier existe ? Comment le déterminer ?

Considérez l’ensemble $A$ suivant, formé par les entiers positifs ayant un carré strictement supérieur à $119$ :

A = \{m\in\N, m^2>119\}.

Comme :

\begin{align*}
10^2 &= 100\\
11^2 &= 121
\end{align*}

Vous déduisez que $11$ est un élément de $A.$ Cela s’écrit $11\in A.$

$A$ est donc une partie de $\N$ qui est non vide. Donc elle admet un plus petit élément noté $k.$

De ce qui précède, $k\leq 11$ : en effet, $k$ et $11$ sont deux éléments de $A$ et $k$ est le plus petit élément de $A.$

Si $k<11$, vous auriez $0\leq k\leq 10$ et en élevant au carré, $k^2 \leq 100.$ $k$ est un entier vérifiant $k^2\leq 119$ donc $k\notin A$, ce qui est absurde.

Vous déduisez ainsi que $k = 11.$ Autrement dit :

\mathrm{Min}\ \{m\in\N, m^2>119\} = 11.

Commencez à calculer, quand $\ell \geq k$ les différences $\ell^2-119$

Vous commencez avec $\ell = 11$ :

\begin{align*}
11^2 - 119 &= 121-119
\\
&=2.
\end{align*}

Comme $2$ n’est pas un carré, l’identité remarquable $a^2-b^2$ n’est pas applicable et vous poursuivez.

Avec $\ell = 12$ :

\begin{align*}
12^2 - 119 &= 144-119
\\
&=25.
\end{align*}

Comme $25$ est un carré, l’identité remarquable est applicable. En effet :

\begin{align*}
12^2 - 119 &= 5^2
\\
12^2-5^2&=119\\
(12-5)(12+5)&=119.
\end{align*}

Vous obtenez :

\boxed{119 = 7\times 17.}

Concluez

Le nombre $119$ n’est pas premier puisqu’il est divisible par $7.$
L’intérêt de cette démarche est d’avoir une factorisation explicite.

260. Résolvez une équation de degré 2

Rédigé par on | Niveau Première, Niveau Seconde

Dans cet article, vous allez chercher tous les réels $x$ tels que $2x^2+x-5 = 0.$ C’est un cas particulier de l’équation générale $ax^2+bx+c=0.$

Vous allez voir qu’il est possible de résoudre cette équation sans utiliser le discriminant, en mettant bout à bout deux changements de variables.

Première étape, se ramener à une équation où le coefficient de $x^2$ est égal à $1$ via un changement de variable. Vous vous retrouvez ainsi avec une équation de la forme $x^2+bx+c=0$ qui est plus facile à résoudre que la première.

Seconde étape, supprimer le terme $bx$, de façon à obtenir une équation finale de la forme $x^2+c=0$ qui se résoudra avec l’utilisation de la racine carrée.

Ramenez-vous à une équation où $x^2$ apparaît une seule fois

L’idée est d’effectuer un premier changement de variable.

En effet, l’équation :

2x^2+x-5 = 0

après multiplication par $2$, coefficient de $x^2$, est équivalente à :

4x^2+2x-10 = 0.

Or, $4x^2$ est le carré de $2x$. En posant $\boxed{X = 2x}$ vous constatez que résoudre $2x^2+x-5=0$ est équivalent à résoudre :

X^2+X-10=0.

Supprimez le terme de degré $1$

Une translation va faire l’affaire.

Posez $y = X+k$ où $k$ est un nombre qui sera choisi plus tard.

L’équation :

X^2+X-10=0

est équivalente à :

\begin{align*}
(y-k)^2+(y-k)-10&=0\\
y^2-2ky+k^2+y-k-10 &= 0\\
y^2+(1-2k)y+k^2-k-10 &=0.
\end{align*}

Afin de faire disparaître le terme en $y$, vous choisissez $k$ pour que $1-2k=0$, soit $k=\frac{1}{2}.$

Vous remarquez que :

\begin{align*}
k^2-k-10 &= \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-10\\
&=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}-\frac{40}{4}\\
&=\frac{1}{4}-\frac{42}{4}\\
&=-\frac{41}{4}.
\end{align*}

Ainsi, via le changement de variable $\boxed{y=X+\frac{1}{2}}$, l’équation $X^2+X-10=0$ est équivalente à :

\begin{align*}
y^2-\frac{41}{4}&=0\\
y^2-\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2&=0\\
\left(y-\frac{\sqrt{41}}{2}\right)\left(y+\frac{\sqrt{41}}{2}\right) &=0.
\end{align*}

Concluez

D’après ce qui précède, $y$ peut prendre deux valeurs : $\frac{\sqrt{41}}{2}$ et $-\frac{\sqrt{41}}{2}.$

Comme $y=X+\frac{1}{2}$, c’est que $X = -\frac{1}{2}+y$, donc $X$ peut prendre deux valeurs : $\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$ et $\frac{-1-\sqrt{41}}{2}.$

Comme $X=2x$ c’est que $x=\frac{X}{2}$, vous déduisez de cette analyse que l’équation $2x^2+x-5 = 0$ admet exactement deux solutions qui sont :

\frac{-1+\sqrt{41}}{4}\text{ et }\frac{-1-\sqrt{41}}{4}.

Prolongement

En utilisant la démarche exposée dans cet article, pourriez-vous résoudre l’équation $3x^2+5x-2 = 0$ l’inconnue $x$ appartenant à l’ensemble des nombres réels ?

161. Continuité de la fonction inverse

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Première

Soit $x_0$ un réel non nul. L’écriture $\lim_{x\to x_0} \frac{1}{x} = \frac{1}{x_0}$ cache en réalité certaines propriétés assez subtiles et délicates à écrire. Cela va être expliqué en détail dans cet article.

En effet, quand $x$ se rapproche de $x_0$, qu’est-ce qui permet d’affirmer que $\frac{1}{x}$ existe ? Et à supposer qu’il est bien défini, pourquoi est-il proche de $\frac{1}{x_0}$ ?

Le plan

Soit $x_0$ un réel non nul et $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Vous allez montrer qu’il existe un réel $\alpha > 0$, de sorte que, dans un premier temps, pour tout $x\in\R, \vert x-x_0\vert < \alpha \implies x\neq 0.$

Cela prouvera que, sur l’intervalle $\left]x_0-\alpha, x_0+\alpha\right[$, la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ est bien définie.

Dans un second temps, pour un autre réel noté encore $\alpha$, vous montrerez que, pour tout $x\in \left]x_0-\alpha, x_0+\alpha\right[$, $\frac{1}{x}$ est bien défini et $\left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} \right\rvert< \varepsilon.$

Etablissez l’existence de $\alpha>0$ satisfaisant l’implication $\forall x\in\R, \vert x-x_0\vert < \alpha \implies x\neq 0$

Le but consiste à minorer la valeur absolue de $x$ par un réel strictement positif.

L’inégalité triangulaire, propriété très importante de la valeur absolue, va vous permettre de conclure.

Soit pour le moment un réel $\alpha >0$ et $x$ un réel tel que $\vert x-x_0\vert < \alpha.$ Par symétrie de la valeur absolue, vous avez aussi $\vert x_0-x\vert < \alpha.$

Remarquez dans un premier temps que $x_0 = (x_0-x) + x.$

Vous en déduisez les majorations suivantes :

\begin{aligned}
\vert x_0 \vert &\leq \vert x_0-x\vert + \vert x \vert\\
&< \alpha + \vert x \vert.
\end{aligned}

Si bien que $\vert x_0 \vert – \alpha < \vert x \vert.$

Maintenant, posez $\alpha = \frac{\vert x_0 \vert}{2}.$ Comme $x_0$ est non nul, le réel $\alpha$ est bien strictement positif.

Soit $x$ un réel tel que $\vert x-x_0\vert < \alpha.$

Alors $\vert x_0 \vert – \alpha < \vert x \vert$ d’où $2\alpha – \alpha < \vert x \vert$ et par suite $0<\alpha<\vert x \vert$ ce qui implique que $x$ est non nul.

Remarque. Vous pourriez choisir $\alpha = \vert x_0 \vert$ ce qui suffirait. Vous auriez $\vert x \vert > 0.$ Mais alors, dans le paragraphe qui suit, vous seriez coincé pour obtenir une majoration de $\frac{1}{\vert x\vert}.$

Effectuez une recherche pour trouver une bonne valeur du réel $\alpha$

Reprenez le nombre $\alpha$ défini par $\frac{\vert x_0 \vert}{2}.$

D’après le paragraphe précédent, pour tout réel $x$ vérifiant $\vert x-x_0\vert < \alpha$ le nombre $x$ est non nul donc le réel $\frac{1}{x}$ est bien défini.

Vous avez même établi que $\vert x \vert > \alpha >0$ donc $\frac{1}{\alpha} > \frac{1}{\vert x \vert}.$

Soit donc $x$ un réel tel que $\vert x-x_0\vert < \alpha.$

Vous établissez les majorations suivantes :

\begin{aligned}
\left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} \right\rvert &\leq \left\lvert\frac{x_0-x}{x \times x_0} \right\rvert\\
&\leq \frac{\vert x_0-x \vert }{\vert x_0 \vert}\times \frac{1}{\vert x \vert} \\
&< \frac{\vert x_0-x\vert }{\vert x_0 \vert}\times \frac{1}{\alpha}.
\end{aligned}

Pour que le membre de droite soit strictement inférieur à $\varepsilon$, vous voulez avoir $\vert x_0-x\vert < \varepsilon \alpha \vert x_0 \vert$ ce qui conduit à choisir $x$ tel que $\vert x_0-x\vert < \frac{\varepsilon \vert x_0 \vert ^2}{2}.$

Etablissez l’existence de $\alpha>0$ satisfaisant l’implication $\forall x\in\R, \vert x-x_0\vert < \alpha \implies \left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} \right\rvert< \varepsilon$

D’après les deux paragraphes précédents, vous posez $\alpha = \mathrm{Min}\left(\frac{\vert x_0 \vert}{2}, \frac{\varepsilon \vert x_0 \vert^2}{2}\right).$

Soit $x$ un nombre réel tel que $\vert x-x_0\vert < \alpha.$

Par inégalité triangulaire :

$\vert x_0 \vert \leq \vert x_0-x \vert +\vert x\vert$

d’où $\vert x_0 \vert < \alpha +\vert x\vert$ et $\vert x_0 \vert < \frac{\vert x_0 \vert}{2} +\vert x\vert$ et donc $0 < \frac{\vert x_0 \vert}{2} < \vert x \vert.$

Donc $x$ est non nul et $\frac{1}{x}$ est bien défini.

Alors :

\begin{aligned}
\left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} \right\rvert &\leq \left\lvert\frac{x_0-x}{x\times x_0} \right\rvert \\
&\leq \frac{\vert x-x_0 \vert}{\vert x_0\vert} \times \frac{1}{\vert x \vert} \\
&\leq \frac{\vert x-x_0 \vert}{\vert x_0\vert} \times \frac{2}{\vert x_0 \vert} \\
&\leq \frac{2\vert x-x_0 \vert}{\vert x_0\vert^2} \\
&< \frac{2 \alpha }{\vert x_0\vert^2} \\
&< \varepsilon.
\end{aligned}

Concluez

Le résultat établi s’écrit en termes de limites.

Pour tout $x_0\neq 0$, $\lim_{x\to x_0} \frac{1}{x} = \frac{1}{x_0}.$

On dit aussi que, pour tout $x_0\neq 0$, la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ est non seulement bien définie dans un voisinage de $x_0$, mais aussi continue en $x_0.$

154. Quand l’union de trois espaces vectoriels est un espace vectoriel (cas 4/8, cas 5/8, cas 6/8, cas 7/8 et cas 8/8)

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Première

Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels où $\K$ est un corps dans lequel $1+1\neq 0$ (il est dit de caractéristique différente de $2$), tels que l’union $E\cup F \cup G$ soit aussi un $\K$-espace vectoriel. L’ensemble $E\cup F \cup G$ est muni d’une addition interne notée $+$ de sorte que $E$, $F$ et $G$ soient des sous-espaces vectoriels de $E\cup F \cup G.$

Vous allez montrer que l’un des espaces vectoriels contient les deux autres.

Le cas numéro 1 est traité dans l'article 151.
Le cas numéro 2 est traité dans l'article 152.
Le cas numéro 3 est traité dans l'article 153.

Pour y parvenir, raisonnez par l’absurde en supposant que cela ne soit pas le cas.

Ainsi la proposition logique « ($F \subset E$ et $G\subset E$) ou ($G \subset F$ et $E\subset F$) ou ($E \subset G$ et $F\subset G$) » est fausse.

Donc la proposition « ($F \not\subset E$ ou $G\not\subset E$) et ($G \not\subset F$ ou $E\not\subset F$) et ($E \not\subset G$ ou $F\not\subset G$) » est vraie.

Ce que vous écrivez « ($E\not\subset F$ ou $G \not\subset F$) et ($F\not\subset G$ ou $E \not\subset G$) et ($G\not\subset E$ ou $F \not\subset E$) » est vraie.

Cela amène à traiter huit cas possibles.

Note. Il existe une démonstration plus rapide permettant d’éviter de traiter potentiellement 8 cas qui eux-mêmes se subdivisent en plusieurs sous-cas. C’est certes plus élégant mais arrivez-vous à construire une telle preuve ?

Dans cet article, vous allez montrer que les cas numéros 4, 5, 6, 7 et 8 aboutissent toujours à des impossibilités.

Traitez le cas numéro 4 : $E \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$

Le cas numéro 2 a été traité dans l'article 152.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en échangeant les rôles des espaces vectoriels $E$ et $F$, vous aboutissez au fait que $F \not\subset E, E \not\subset G \text{ et } E \not\subset F$ ce qui est exactement le cas numéro 4.

Traitez le cas numéro 5 : $G \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } G \not\subset E$

Le cas numéro 2 est traité dans l'article 152.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en appliquant la permutation des espaces $G\to E \to F \to G$, vous aboutissez au fait que $F \not\subset G, G \not\subset E \text{ et } G \not\subset F$ ce qui est exactement le cas numéro 5.

Traitez le cas numéro 6 : $G \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$

Le cas numéro 2 est traité dans l'article 152.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en appliquant la permutation des espaces $G\leftrightarrow E$, vous aboutissez au fait que $G \not\subset F, F \not\subset E \text{ et } F \not\subset G$ ce qui est exactement le cas numéro 6.

Traitez le cas numéro 7 : $G \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } G \not\subset E$

Le cas numéro 2 est traité dans l'article 152.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en appliquant la permutation des espaces $F\leftrightarrow G$, vous aboutissez au fait que $E \not\subset G, G \not\subset F \text{ et } G \not\subset E$ ce qui est exactement le cas numéro 7.

Traitez le cas numéro 8 : $G \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$

Le cas numéro 1 est traité dans l'article 151.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } G \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en appliquant la permutation des espaces $E\leftrightarrow F$, vous aboutissez au fait que $F \not\subset E, E \not\subset G \text{ et } G \not\subset F$ ce qui est exactement le cas numéro 1.

153. Quand l’union de trois espaces vectoriels est un espace vectoriel (cas 3/8)

Rédigé par on | Niveau Agrégation, Niveau Capes, Niveau Première

Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels où $\K$ est un corps dans lequel $1+1\neq 0$ (il est dit de caractéristique différente de $2$), tels que l’union $E\cup F \cup G$ soit aussi un $\K$-espace vectoriel. L’ensemble $E\cup F \cup G$ est muni d’une addition interne notée $+$ de sorte que $E$, $F$ et $G$ soient des sous-espaces vectoriels de $E\cup F \cup G.$

Vous allez montrer que l’un des espaces vectoriels contient les deux autres.

Pour y parvenir, raisonnez par l’absurde en supposant que cela ne soit pas le cas.

Dans cet article, vous allez montrer que le cas numéro 3, à savoir $\boxed{E \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } G \not\subset E}$ aboutit toujours à une impossibilité.

Vous pouvez également consulter le cas numéro 1 qui est traité dans l'article 151.
Vous pouvez également consulter le cas numéro 2 qui est traité dans l'article 152.
Vous pouvez également consulter les cas numéros 4, 5, 6, 7 et 8 qui sont traités dans l'article 154.

Exposez la situation

Il existe $e\in E$ tel que $e\not\in F$, il existe $e’\in E$ tel que $e’\not\in G$ et il existe $g\in G$ tel que $g\not\in E.$

Sous cas 1 : $e+e’\in E$, $e+g\in E$, $e’+g\in E$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ par différence, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 2 : $e+e’\in E$, $e+g\in E$, $e’+g\in F$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ par différence, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 3 : $e+e’\in E$, $e+g\in E$, $e’+g\in G$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ par différence, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 4 : $e+e’\in E$, $e+g\in F$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$ par différence, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 5 : $e+e’\in E$, $e+g\in F$, $e’+g\in F$

Le vecteur $e’-g$ appartient à $E\cup F \cup G.$

Si $e’-g\in E$, comme $e’\in E$ par différence $g\in E$, contradiction.

Si $e’-g\in G$, comme $g\in G$, par somme $e’\in G$, contradiction.

Donc $e’-g \in F.$

Or $e’+g \in F$. Par différence il vient $2g\in F$ or $2\neq 0$ donc $g\in F.$

Or $e+g\in F$. Par différence il vient $e\in F$, contradiction.

Sous cas 6 : $e+e’\in E$, $e+g\in F$, $e’+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e’+g\in G$ par différence $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 7 : $e+e’\in E$, $e+g\in G$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$ par différence $g\in E$, contradiction.

Sous cas 8 : $e+e’\in E$, $e+g\in G$, $e’+g\in F$

Considérez le vecteur $e+e’+g.$

Si $e+e’+g\in E$, comme $e+e’\in E$, alors $g\in E$, contradiction.

Si $e+e’+g\in F$, comme $e’+g\in F$, alors $e\in F$, contradiction.

Donc $e+e’+g\in G$ or $e+g\in G$ donc $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 9 : $e+e’\in E$, $e+g\in G$, $e’+g\in G$

Comme $e’+g\in G$ et $g\in G$, $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 10 : $e+e’\in F$, $e+g\in E$, $e’+g\in E$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 11 : $e+e’\in F$, $e+g\in E$, $e’+g\in F$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 12 : $e+e’\in F$, $e+g\in E$, $e’+g\in G$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 13 : $e+e’\in F$, $e+g\in F$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 14 : $e+e’\in F$, $e+g\in F$, $e’+g\in F$

Considérez le vecteur $e’-g.$

Si $e’-g\in E$, alors comme $e’\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Si $e’-g\in G$, alors comme $g\in G$, vous déduisez $e’\in G$, contradiction.

Donc $e’-g\in F$.

Or $e’+g \in F$ donc par somme $2e’\in F$, comme $2\neq 0$, $e’\in F$.

Or $e+e’ \in F$ donc par différence $e\in F$, contradiction.

Sous cas 15 : $e+e’\in F$, $e+g\in F$, $e’+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e’+g \in G$ vous déduisez $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 16 : $e+e’\in F$, $e+g\in G$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$, alors $g\in E$, contradiction.

Sous cas 17 : $e+e’\in F$, $e+g\in G$, $e’+g\in F$

Considérez le vecteur $e+e’+g.$

Si $e+e’+g\in E$, comme $(e,e’)\in E^2$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Si $e+e’+g\in F$, comme $e’+g\in F$ vous déduisez $e\in F$, contradiction.

Donc $e+e’+g \in G$. Or, $e+g\in G$ donc $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 18 : $e+e’\in F$, $e+g\in G$, $e’+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e’+g\in G$, vous déduisez $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 19 : $e+e’\in G$, $e+g\in E$, $e’+g\in E$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 20 : $e+e’\in G$, $e+g\in E$, $e’+g\in F$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 21 : $e+e’\in G$, $e+g\in E$, $e’+g\in G$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 22 : $e+e’\in G$, $e+g\in F$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 23 : $e+e’\in G$, $e+g\in F$, $e’+g\in F$

Considérez le vecteur $e-g.$

Si $e-g\in E$, alors, comme $e\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Si $e-g\in F$, comme $e+g\in F$, par somme $2e\in F$ et comme $2\neq 0$, $e\in F$, contradiction.

Donc $e-g \in G.$

Or $g\in G$, donc $e\in G.$

Mais $e+e’\in G$ et par différence $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 24 : $e+e’\in G$, $e+g\in F$, $e’+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e’+g\in G$ par différence, $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 25 : $e+e’\in G$, $e+g\in G$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 26 : $e+e’\in G$, $e+g\in G$, $e’+g\in F$

Comme $g\in G$ et $e+g\in G$ vous déduisez $e\in G.$

Or $e+e’\in G$ et par différence $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 27 : $e+e’\in G$, $e+g\in G$, $e’+g\in G$

Identique au cas 26.

Et si vous pouviez aller plus vite

Le cas numéro 3 traite le cas où $\boxed{E \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } G \not\subset E}.$

Rappelez-vous que le cas numéro 2 était $\boxed{E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E}$ qui aboutissait à l’impossibilité que $E\cup F \cup G$ soit un espace vectoriel.

Quand vous effectuez la permutation circulaire $E\to G \to F \to E$ vous remarquez que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ devient $G \not\subset E, E \not\subset F \text{ et } E \not\subset G$ ce qui est exactement le cas 3.

Ainsi le cas 3 se déduit du cas 2 par cet argument, ce qui évite le traitement des 27 cas exposés ci-dessus.

139. Une équation du troisième degré

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Première, Niveau Terminale

Soit à résoudre dans les nombres réels l’équation $(E): x^3-15x-4=0.$

Etudiez les variations de la fonction $x\mapsto x^3-15x-4$

Pour tout réel $x$, posez $f(x)=x^3-15x-4.$

La fonction $f$ étant polynomiale, elle est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2-15 = 3(x^2-5) = 3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}).$

De cette factorisation, vous déduisez que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty, -\sqrt{5}].$

Or, $\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ et $f(-\sqrt{5}) = -5\sqrt{5}+15\sqrt{5}-4 = 10\sqrt{5}-4 = \sqrt{500}-\sqrt{16}$ par conséquent $f(-\sqrt{5})>0$. L’équation $(E)$ a donc exactement une solution appartenant à l’intervalle $]-\infty, -\sqrt{5}].$

De même, de la factorisation de la fonction $f’$, vous déduisez que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[ -\sqrt{5}, \sqrt{5}].$ Calculez $f(\sqrt{5}) = 5\sqrt{5}-15\sqrt{5}-4 = -10\sqrt{5}-4$ ce qui montre que $f(\sqrt{5}) < 0$. Comme $f(-\sqrt{5})<0$, l’équation $(E)$ a donc exactement une solution appartenant à l’intervalle $[ -\sqrt{5}, \sqrt{5}].$

Enfin, de la factorisation de la fonction $f’$, vous déduisez que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[\sqrt{5},+\infty[.$ Or $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ et $f(\sqrt{5}) < 0$ donc l’équation $(E)$ a exactement une solution appartenant à l’intervalle $[ \sqrt{5}, +\infty[.$

Conclusion : l’équation $(E)$ possède exactement trois solutions réelles.

Cherchez si l’équation admet une solution entière

Soit $n$ un entier tel que $f(n)=0$. Alors $n^3-15n = 4$ donc $n(n^2-15)=4$ ce qui prouve que $n \mid 4$ et par suite $n\in\{4,2,1,-1,-2,-4\}$ ce qui limite le nombre de candidats à tester.

Prenez $n=4$. $f(4) = 16\times 4 – 15\times 4 – 4 = 4-4 = 0.$

L’entier $4$ est une solution de l’équation $(E).$

Déterminez les deux autres solutions de l’équation

Comme $4$ est solution de $(E)$, vous allez factoriser le polynôme $x^3-15x-4$ par $x-4$ successivement.

Posez $p(x) = x^3-15x-4.$

Ecrivez que $x^2(x-4) = x^3-4x^2$ et que $p(x) = x^3-15x-4$ puis effectuez une soustraction. Le degré du polynôme de droite diminue et passe de $3$ à $2$ : $p(x)+(-x^2)(x-4) = 4x^2-15x-4.$

Poursuivez. $4x(x-4) = 4x^2-16x$ et $p(x)+(-x^2)(x-4) = 4x^2-15x-4.$ Par soustraction, $p(x)+(-x^2-4x)(x-4) = x-4.$ Le degré a encore diminué et il est passé de $2$ à $1$.

Terminez $1(x-4) = x-4$ et $p(x)+(-x^2-4x)(x-4) = x-4.$ Par soustraction, $p(x)+(-x^2-4x-1)(x-4) = 0.$

Par conséquent $p(x) = (x-4)(x^2+4x+1).$

Déterminez les deux autres solutions de $(E)$ revient à résoudre l’équation de degré $2$ suivante : $x^2+4x+1 = 0.$ Celle-ci s’écrit $(x+2)^2-3 = 0$ soit $x = -2+\sqrt{3}$ ou $x=-2-\sqrt{3}.$

Concluez

L’équation $(E)$ admet pour ensemble de solutions réelles $\{4, -2+\sqrt{3}, -2-\sqrt{3}\}.$

118. Alignement de trois points

Rédigé par on | Niveau Capes, Niveau Première

Considérez la figure ci-dessous.

$ABCD$ est un carré, le point $E$ est situé à l’intérieur de ce carré pour que le triangle $ABE$ soit équilatéral, le point $F$ est situé à l’extérieur de ce même carré pour que le triangle $BCF$ soit équilatéral.

Notez $a = AB$ la valeur du côté du carré.

Vous allez montrer uniquement avec des calculs de distances que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés dans cet ordre.

Calculez la distance entre $D$ et $F$

Comme le triangle $DCF$ est isocèle en $C$, vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :

\begin{align*}
DF^2 &= DC^2+CF^2-2\times DC\times CF\times \cos 150°\\
&= 2a^2-2a^2 \cos 150°\\
&= 2a^2+2a^2\cos 30°\\
&=2a^2+2a^2\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&=2a^2+a^2\sqrt{3}\\
&=a^2(2+\sqrt{3}).
\end{align*}

Avant de prendre la racine carrée, il convient de voir si $2+\sqrt{3}$ s’écrit comme un carré agréable, et c’est effectivement le cas.

Remarquez que :

\begin{align*}
(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 &= 2+6+2\sqrt{12}\\
&=8+2\times 2\sqrt{3}\\
&=8+4\sqrt{3}\\
&=4(2+\sqrt{3}).
\end{align*}

Ainsi :

\begin{align*}
4DF^2 &= 4a^2(2+\sqrt{3})\\
&= a^2(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2.
\end{align*}

Par positivité des distances $\boxed{2DF = a(\sqrt{2}+\sqrt{6}).}$

Calculez la distance entre $D$ et $E$

Comme le triangle $ADE$ est isocèle en $A$, vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :

\begin{align*}
DE^2 &= AE^2+AD^2-2\times AE \times AD\times \cos 30°\\
&=2a^2-2a^2\cos30°\\
&=2a^2-a^2\sqrt{3}\\
&=a^2(2-\sqrt{3}).
\end{align*}

Remarquez comme dans le paragraphe précédent que :

\begin{align*}
(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 &= 6+2-2\sqrt{12}\\
&=8-2\times 2\sqrt{3}\\
&=8-4\sqrt{3}\\
&=4(2-\sqrt{3}).
\end{align*}

Par positivité des distances et du nombre $\sqrt{6}-\sqrt{2}$, vous obtenez $\boxed{2DE = a(\sqrt{6}-\sqrt{2}).}$

Calculez la distance entre $E$ et $F$

Le triangle $EBF$ est isocèle en $B$. De plus, $\widehat{EBF} =\widehat{EBC}+\widehat{CBF} = 30°+60°=90°.$ Par conséquent, le triangle $EBF$ est rectangle isocèle en $B$. Le théorème de Pythagore fournit :

\begin{align*}
EF^2 &= BE^2+BF^2\\
&=2a^2.
\end{align*}

Du coup $EF = a\sqrt{2}.$

Montrez que $DE+EF=DF$

Par somme :

\begin{align*}
2DE+2EF &= a(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 2a\sqrt{2}\\
&=a(\sqrt{6}+\sqrt{2})\\
&=2DF.
\end{align*}

L’égalité $DE+EF=DF$ entraîne l’appartenance du point $E$ au segment $[DF]$ comme annoncé.

Prolongement

L’alignement des points $D$, $E$ et $F$ peut être démontrée autrement. Voici une autre méthode utilisant des homothéties, une projection et une translation.

091. Comment calculer la somme des nombres impairs compris entre 12 et 120 ?

Rédigé par on | Niveau Première, Niveau Terminale

Il s’agit de calculer la somme $13+15+\dots+119$ en progression arithmétique.

Utilisez le nombre du milieu

Le nombre du milieu est égal à $\frac{13+119}{2} = \frac{12+120}{2}=66$, c’est-à-dire que la somme peut être partagée en deux de la façon suivante autour de 66.

Elle est égale à $(13+15+…+63+65) + (67+69+…+117+119).$
Vous remarquez que $13+119 = 132$, que $15+117=132$, …, que $65+67 = 132.$
Par conséquent la somme $13+15+\dots+119$ est égale à $132$ fois la moitié du nombre de termes de cette somme.

Déterminez le nombre de termes de la somme

Pour calculer le nombre de termes de la somme, c’est plus délicat.

On peut procéder ainsi. $13$ est le terme $1$. Le nombre $15$ est le terme $2$ et ainsi de suite. Le nombre $119$ est le terme $n$. Il faut calculer $n$.

Notez $f$ la fonction qui, à chaque rang, associe son terme dans la somme.

\begin{align*}
&f(1)=13\\
&f(2)=15\\
&\vdots\\
&f(n)=119.
\end{align*}

Comme la progression est arithmétique, la fonction $f$ est affine.

Les écarts entre les termes de la sommes sont proportionnels aux écarts des rangs. Par conséquent :

$\frac{f(n)-f(1)} {n-1} = \frac{ f(2)-f(1) }{ 2 – 1}.$

D’où : $\frac{119-13}{n-1}=2.$

Soit $n-1 = \dfrac{119-13}{ 2} = \dfrac{120-14}{2}=60-7=53.$ Vous déduisez que $n=54.$

Concluez

La moitié de $54$ étant $27$, la somme cherchée est égale à $27\times 132 = 3564.$

076. Pour les Premières en ST2S

Rédigé par on | Niveau Première

Probabilités

22012020 - Capture d’écran 2020 01 22 à 09.48.08

Fonction de degré 3

22012020 - Capture d’écran 2020 01 22 à 09.47.42

Les suites numériques

22012020 - Capture d’écran 2020 01 22 à 09.49.50

Second degré

1 / Résoudre les équations suivantes : $x^2+x-1 = 0$, $-11x^2+x+1=0$, $x^2+x+1=0$, $4x^2+4x+1=0.$

2 / En déduire les solutions de l’inéquation $\dfrac{(x^2+x-1)(-11x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(4x^2+4x+1)}\geq 0.$