075. Résolvez l’équation réelle du troisième degré (partie 1/2)

Toute équation réelle de degré $3$ admet au moins une solution. Cet article vous propose des outils pour déterminer et construire l’ensemble de ses solutions.

Note. La discussion du nombre de solutions de l’équation de degré $3$ peut être effectuée avec la notion de discriminant. Avec l’approche utilisée dans cet article, vous constaterez qu’il ne sera pas utilisé.

Découvrez les fonctions sinus et cosinus

Explicitez des propriétés des fonctions hyperboliques

Sinus hyperbolique

La fonction sinus hyperbolique, notée $\sh\comma$ est définie par :

\forall x\in\R, \sh(x) = \frac{\e^x-\e^{-x}}{2}.

Cette fonction est une bijection de $\R$ dans $\R.$ Sa bijection réciproque est la fonction argument sinus hyperbolique, notée $\argsh.$

La fonction sinus hyperbolique vérifie une importante identité. Soit $x$ un nombre réel. Vous avez :

\begin{align*} (\sh x)^3 &= \frac{(\e^x-\e^{-x})^3}{8}\\ &=\frac{\e^{3x} -3\e^x+3\e^{-x}-\e^{-3x}}{8}\\ &=\frac{2\sh (3x)-6\sh x }{8}\\ &=\frac{\sh (3x)-3\sh x }{4}. \end{align*}

Du coup :

\boxed{\forall x\in\R, \sh (3x) = 4(\sh x)^3 + 3\sh x.}

Cosinus hyperbolique

La fonction cosinus hyperbolique, notée $\ch\comma$ est définie par :

\forall x\in\R, \ch(x) = \frac{\e^x+\e^{-x}}{2}.

Cette fonction réalise une bijection de $[0,+\infty[$ dans $[1,+\infty[.$ Sa bijection réciproque est la fonction argument cosinus hyperbolique, notée $\argch.$

La fonction cosinus hyperbolique vérifie une identité similaire proche de celle du sinus hyperbolique.

Soit $x\in\R.$ Vous avez ce qui suit :

\begin{align*} (\ch x)^3 &= \frac{(\e^x+\e^{-x})^3}{8}\\ &=\frac{\e^{3x} +3\e^x+3\e^{-x}+\e^{-3x}}{8}\\ &=\frac{2\ch (3x)+6\ch x }{8}\\ &=\frac{\ch (3x)+3\ch x }{4}. \end{align*}

Du coup :

\boxed{\forall x\in\R, \ch (3x) = 4(\ch x)^3 – 3\ch x.}

Explicitez des propriétés des fonctions circulaires

Sinus trigonométrique

La fonction sinus, notée $\sin\comma$ peut être définie à partir de l’exponentielle complexe, par :

\forall x\in\R, \sin(x) = \frac{\e^{ix}-\e^{-ix}}{2i}.

Cette fonction est une surjection de $\R$ dans $[-1,1].$

Soit $x\in\R.$ Vous avez :

\begin{align*} (\sin x)^3 &= \frac{(\e^{ix}-\e^{-ix})^3}{-8i}\\ &=\frac{\e^{3ix} -3\e^{ix}+3\e^{-ix}-\e^{-3ix}}{-8i}\\ &=\frac{2i\sin (3x)-6i\sin x }{-8i}\\ &=\frac{-\sin (3x)+3\sin x }{4}. \end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall x\in\R, \sin 3x = -4\sin^3 x + 3\sin x.}

Note. Cette propriété ne sera pas utilisée dans la suite de cet article, elle est donnée par exhaustivité.

Cosinus trigonométrique

La fonction cosinus, notée $\cos\comma$ peut être définie à partir de l’exponentielle complexe, par :

\forall x\in\R, \cos(x) = \frac{\e^{ix}+\e^{-ix}}{2}.

Cette fonction est une surjection de $\R$ dans $[-1,1].$ Plus précisément, elle réalise une bijection de $[0,\pi]$ dans $[-1,1].$ Vous notez $\arccos$ la bijection réciproque qui va de $[-1,1]$ dans $[0,\pi]\comma$ qui s’appelle arc cosinus.

Soit $x\in\R.$ Vous avez :

\begin{align*} (\cos x)^3 &= \frac{(\e^{ix}+\e^{-ix})^3}{8}\\ &=\frac{\e^{3ix} +3\e^{ix}+3\e^{-ix}+\e^{-3ix}}{8}\\ &=\frac{2\cos (3x)+6\cos x }{8}\\ &=\frac{\cos (3x)+3\cos x }{4}. \end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall x\in\R, \cos (3x) = 4(\cos x)^3 – 3\cos x.}

Explicitez une stratégie pour résoudre l’équation $x^3 – x -2 = 0$ d’inconnue réelle $x$

Élaborez une première idée

Les coefficients de $x^3$ et de $x$ étant de signes contraires, vous utiliserez en temps voulu une fonction $f$ vérifiant l’identité :

\forall \theta\in\R, f(3\theta) = 4f(\theta)^3-3f(\theta).

Vu ce qui précède, vous pouvez choisir pour la fonction $f$ soit le cosinus trigonométrique, soit le cosinus hyperbolique.

Vous essayez d’avoir une équation équivalente à $x^3 – x -2 = 0$ qui commence par $4x^3-3x.$

Vous multipliez par $4\comma$ ce vous donne un bon départ :

\begin{align*} \forall x\in\R, x^3 – x-2 = 0 &\iff 4x^3 – 4x-8 = 0. \end{align*}

Cependant, l’équation obtenue n’a pas le bon nombre de $x.$ Vous allez raffiner votre stratégie.

Préparez l’analyse avec un changement de variable

Soit $x$ une solution réelle de l’équation $x^3-x-2=0\comma$ telle que $x = rf(\theta)$ où $r$ est un réel non nul et $\theta\in\R.$ Vous avez successivement :

\begin{align*} &(rf( \theta))^3 – (rf(\theta))-2 = 0 \\ &r^3f( \theta)^3 – rf(\theta)-2 = 0\\ &r^2f( \theta)^3 – f(\theta) = \frac{2}{r}\\ &3r^2f( \theta)^3 – 3f(\theta) = \frac{6}{r}. \end{align*}

Vous choisissez $r\neq 0$ pour que $3r^2 = 4\comma$ ce qui est possible en prenant $r = \frac{2}{\sqrt{3}}.$ L’autre valeur possible de $r$, négative, est exclue, vous préférez choisir un nombre positif.

Alors il vient :

\begin{align*} &4f(\theta)^3 – 3f(\theta) = 3\sqrt{3}\\ &f(3\theta) = 3\sqrt{3}. \end{align*}

La fonction cosinus, au sens trigonométrique, prend ses valeurs dans $[-1,1].$ Or, $3\sqrt{3}\not\in [-1,1].$ Vous choisissez donc le cosinus hyperbolique pour $f.$

Il reste maintenant à comprendre pourquoi, si $x$ est une solution de l’équation $x^3-x-2=0\comma$ alors il existe un réel $r$ non nul et un réel $\theta$ tel que $x=r\ch\theta.$

Analysez la situation

Soit $x$ une solution réelle de l’équation $x^3 – x -2 = 0.$

Vous posez $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$ puis $y = \frac{x}{r}.$ Alors :

\begin{align*} x^3-x-2 &= 0\\ (ry)^3-ry-2 &=0\\ r^2 ry^3-ry-2&=0\\ \frac{4}{3} ry^3-ry-2&=0\\ 4ry^3-3ry-6 &= 0\\ 4y^3-3y=\frac{6}{r}\\ 4y^3-3y=3\sqrt{3}. \end{align*}

Supposez que $\vert y \vert \leq 1.$ Alors il existe un réel $\theta$ tel que $y=\cos \theta.$ Du coup :

\begin{align*} &4(\cos\theta)^3-3(\cos \theta) = 3\sqrt{3}\\ &\cos 3\theta = 3\sqrt{3}. \end{align*}

Comme $3\sqrt{3} \notin[-1,1]\comma$ vous aboutissez à une contradiction.

Supposez que $y\lt -1.$ Alors il existe un réel $\theta$ tel que $y=-\ch \theta.$ Du coup :

\begin{align*} &4(-\ch \theta)^3-3(-\ch \theta) =3\sqrt{3}\\ &-4(\ch \theta)^3+3\ch\theta = 3\sqrt{3}\\ &4(\ch \theta)^3-3\ch\theta = -3\sqrt{3}\\ &\ch(3\theta)=-3\sqrt{3}. \end{align*}

Or, $-3\sqrt{3}\notin [1,+\infty[.$ Vous avez à nouveau une contradiction.

De ce qui précède, vous déduisez que $y\gt 1.$ Donc il existe un réel $\theta$ tel que $y=\ch\theta.$ Ainsi :

\begin{align*} &4(\ch \theta)^3-3\ch \theta =3\sqrt{3}\\ &\ch(3\theta)=3\sqrt{3}. \end{align*}

Il en résulte que $3\theta = \argch(3\sqrt{3})$ puis que $\theta = \frac{1}{3}\argch(3\sqrt{3}).$

Donc $y = \ch \left(\frac{1}{3}\argch(3\sqrt{3})\right)$ et par suite :

x=\frac{2}{\sqrt{3}}\ch \left(\frac{1}{3}\argch(3\sqrt{3})\right).

Donc si l’équation $x^3 – x -2 = 0$ admet une solution, il n’y en a qu’une seule.

Passez à la synthèse

Soit $x$ le réel défini par :

x=\frac{2}{\sqrt{3}}\ch \left(\frac{1}{3}\argch(3\sqrt{3})\right).

Vous posez $\theta = \frac{1}{3}\argch(3\sqrt{3}).$ Alors $x = \frac{2}{\sqrt{3}}\ch \theta.$

Vous effectuez le calcul suivant :

\begin{align*} x^3-x-2 &= \frac{8}{3\sqrt{3}}(\ch\theta)^3-\frac{2}{\sqrt{3}}\ch\theta-2\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{4}{3}(\ch\theta)^3-\ch\theta\right)-2\\ &=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(4(\ch\theta)^3-3\ch\theta\right)-2\\ &=\frac{2}{3\sqrt{3}}\ch (3\theta)-2\\ &=\frac{2}{3\sqrt{3}}\ch \bigl(\argch(3\sqrt{3})\bigr)-2\\ &=\frac{2}{3\sqrt{3}}\times 3\sqrt{3}-2\\ &=2-2\\ &=0. \end{align*}

Concluez

L’équation réelle $x^3-x-2=0$ admet une solution unique qui est :

\boxed{x=\frac{2}{\sqrt{3}}\ch \left(\frac{1}{3}\argch(3\sqrt{3})\right).}

Prolongement

Vous souhaitez savoir ce qu’il advient dans d’autres équations du troisième degré ?

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 076.