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078. Diagonalisez un endomorphisme réel

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $u$ l’endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est :

A = \begin{pmatrix} -9 & 4 & 4 \\ -8 & 3 & 4 \\ -16 & 8 & 7 \end{pmatrix}.

Vous notez $I$ la matrice identité d’ordre $3.$

Déterminez les valeurs propres de $u$

Le polynôme caractéristique de $u$ est égal à celui de n’importe quelle matrice qui représente $u.$ Vous procédez au calcul du polynôme caractéristique de la matrice $A\comma$ grâce au déterminant suivant :

\begin{align*} \det(XI-A) &= \begin{vmatrix} X+9 & -4 & -4 \\ 8 & X-3 & -4 \\ 16 & -8 & X-7 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} X+9 & 0 & -4 \\ 8 & X+1 & -4 \\ 16 & -X-1 & X-7 \end{vmatrix}\\ &= (X+1)\begin{vmatrix} X+9 & 0 & -4 \\ 8 & 1 & -4 \\ 16 & -1 & X-7 \end{vmatrix}\\ &= (X+1)\begin{vmatrix} X+9 & 0 & -4 \\ 24 & 0 & X-11 \\ 16 & -1 & X-7 \end{vmatrix}\\ &= (X+1)\begin{vmatrix} X+9 & -4 \\ 24 & X-11 \\ \end{vmatrix}\\ &=(X+1)(X^2-2X-99+96)\\ &=(X+1)(X^2-2X-3)\\ &=(X+1)^2(X-3).\\ \end{align*}

L’endomorphisme $u$ possède exactement deux valeurs propres qui sont $-1$ et $3.$

Déterminez des vecteurs propres de $A$

Vecteurs propres associés à la valeur propre $-1$

Vous allez chercher la dimension du noyau de la matrice $A+I.$ Vous avez :

A+I = \begin{pmatrix} -8 & 4 & 4 \\ -8 & 4 & 4 \\ -16 & 8 &8 \end{pmatrix}.

En notant $C_1\comma$ $C_2$ et $C_3$ les colonnes de la matrice $A+I\comma$ vous constatez que $C_1=-2C_3$ et que $C_1 = -2C_2.$ Ainsi, $\vect(C_1,C_2,C_3)=\vect(C_1).$ Comme $C_1\neq 0\comma$ vous déduisez que la matrice $A+I$ est de rang $1.$ Par le théorème du rang, la dimension du noyau de $A+I$ est égale à $2.$

Comme $C_1+2C_2 = 0\comma$ vous posez :

V_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}.

De même, comme $C_1+2C_3=0\comma$ vous posez :

V_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.

Les deux vecteurs $V_1$ et $V_2$ sont non colinéaires et sont deux éléments du noyau de la matrice $A+I.$ Comme la dimension du noyau de $A+I$ est égale à $2\comma$ il s’ensuit que la famille $(V_1,V_2)$ est une base de $\ker(A+I).$ Ainsi, $\ker(A+I) = \vect(V_1,V_2).$

Vecteurs propres associés à la valeur propre $3$

Vous calculez la matrice $A-3I\comma$ ce qui donne :

A-3I = \begin{pmatrix} -12 & 4 & 4 \\ -8 & 0 & 4 \\ -16 & 8 &4 \end{pmatrix}.

Les deux premières colonnes $D_1$ et $D_2$ de cette matrice sont linéairement indépendantes. En notant $D_3$ la troisième colonne, vous observez que $-2D_3 = D_1+D_2.$ Ainsi, le rang de la matrice $A-3I$ est égal à $2$ et son noyau est de dimension $1.$

Comme $D_1+D_2+2D_3=0\comma$ vous posez :

V_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.

Le vecteur $V_3$ appartient au noyau de la matrice$A-3I$ et il est non nul, donc $\ker(A-3I) = \vect(V_3).$

Formez une base de vecteurs propres

Des espaces propres associés à des valeurs propres différentes sont en somme directe. Donc la somme $\ker(A-3I)\oplus\ker(A+I)$ est directe. En réunissant une base de $\ker(A-3I)$ et une base de $\ker(A+I)$ vous obtenez une base de $\R^3.$

Par conséquent la famille $(V_1,V_2,V_3)$ est une base de $\R^3.$

Vous considérez la matrice suivante qui est inversible :

P = (V_1 \vert V_2 \vert V_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 &2 \end{pmatrix}.

Vous notez $D$ la matrice diagonale suivante :

D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 &3 \end{pmatrix}.

Par distribution de la matrice $A$ sur les colonnes de la matrice $P$ vous obtenez :

\begin{align*} AP &= A(V_1 \vert V_2 \vert V_3)\\ &=(AV_1 \vert AV_2 \vert AV_3)\\ &=(-V_1 \vert -V_2 \vert 3V_3)\\ &=PD. \end{align*}.

Par inversibilité de la matrice $P\comma$ vous déduisez que $P^{-1}AP = D.$

Autrement dit, la matrice $A$ est diagonalisable. Il en résulte que l’endomorphisme $u$ est diagonalisable. La famille $(V_1,V_2,V_3)$ est une base de vecteurs propres pour cet endomorphisme.