078. Un endomorphisme de $\R^3$ diagonalisable

Soit $T$ l’endomorphisme de $\R^3$ qui est représenté par la matrice suivante $A$ dans la base canonique : $$A =
\begin{pmatrix}
-9 & 4 & 4 \\
-8 & 3 & 4 \\
-16 & 8 & 7
\end{pmatrix}.$$

Déterminez les valeurs propres de $T$

Le polynôme caractéristique de $T$ est égal à celui de n’importe quelle matrice dans laquelle $T$ est représenté. Vous allez calculer le polynôme caractéristique de $T$, en calculant :

$\begin{align*}
\det(xI-A) &= \begin{vmatrix}
x+9 & -4 & -4 \\
8 & x-3 & -4 \\
16 & -8 & x-7
\end{vmatrix}\\
&= \begin{vmatrix}
x+9 & 0 & -4 \\
8 & x+1 & -4 \\
16 & -x-1 & x-7
\end{vmatrix}\\
&= (x+1)\begin{vmatrix}
x+9 & 0 & -4 \\
8 & 1 & -4 \\
16 & -1 & x-7
\end{vmatrix}\\
&= (x+1)\begin{vmatrix}
x+9 & 0 & -4 \\
24 & 0 & x-11 \\
16 & -1 & x-7
\end{vmatrix}\\
&= (x+1)\begin{vmatrix}
x+9 & -4 \\
24 & x-11 \\
\end{vmatrix}\\
&=(x+1)(x^2-2x-99+96)\\
&=(x+1)(x^2-2x-3)\\
&=(x+1)^2(x-3).\\
\end{align*}$

L’endomorphisme $T$ possède deux valeurs propres $-1$ et $3.$

Déterminez des vecteurs propres de $T$

Vecteurs propres associés à la valeur propre $-1$

Vous déterminez d’abord la dimension du noyau de l’endomorphisme $T+I.$ Il est représenté par la matrice $A+I$ dans la base canonique.

$A+I = \begin{pmatrix}
-8 & 4 & 4 \\
-8 & 4 & 4 \\
-16 & 8 &8
\end{pmatrix}$

Il est immédiat de voir que le rang de $A+I$ est égal à 1. Par le théorème du rang, le noyau de $A+I$ est de dimension 2.

Posons $V_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}$ et $V_2 = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
2
\end{pmatrix}.$

$V_1$ et $V_2$ sont deux vecteurs non colinéaires, appartenant au noyau de $A+I$. Il s’ensuit que le noyau de $A+I$ est l’espace engendré par la famille $(V_1,V_2).$

Vecteurs propres associés à la valeur propre $3$

D’après ce qui précède, vous savez que la dimension du noyau de l’endomorphisme $T-3I$ est égale à $1$. Vérifiez-le directement.

$A-3I = \begin{pmatrix}
-12 & 4 & 4 \\
-8 & 0 & 4 \\
-16 & 8 &4
\end{pmatrix}.$

Les deux premières lignes de $A-3I$ sont linéairement indépendantes.
La troisième dépend des deux autres : $L_3 = 2L_1-L_2$. Le rang de $A-3I$ est égal à 2, donc son noyau est de dimension 1 par le théorème du rang.

Posons $V_3 = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}.$

$V_3$ appartient au noyau de $A-3I$.

Formez une base de vecteurs propres

La famille $(V_1,V_2)$ est libre et $V_3$ ne peut appartenir à l’espace engendré par elle, parce que des vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont toujours linéairement indépendants.

Par conséquent la famille $(V_1,V_2,V_3)$ est libre et c’est une base de $\R^3$. Posez $$P = (V_1 \vert V_2 \vert V_3) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & 2 &2
\end{pmatrix}.$$

Notez $D$ la matrice diagonale $$D = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 &3
\end{pmatrix}.$$

La matrice $P$ est inversible et
$\begin{align*}
AP &= A(V_1 \vert V_2 \vert V_3)\\
&=(AV_1 \vert AV_2 \vert AV_3)\\
&=(-V_1 \vert -V_2 \vert 3V_3)\\
&=PD
\end{align*}.$

Par invisibilité de $P$, vous avez $P^{-1}AP = D.$

L’endomorphisme $T$ est diagonalisable et admet la base $(V_1,V_2,V_3)$ pour base de diagonalisation.

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