École AVOSZ

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079. Analysez un endomorphisme réel non diagonalisable

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Vous considérez l’endomorphisme $u$ du $\R$-espace vectoriel $\R^3\comma$ dont la matrice dans la base canonique est :

A=\begin{pmatrix} 6 & -3 & -2 \\ 4 & -1 & -2 \\ 10 & -5 & -3\end{pmatrix}.

Vous allez démontrer, en raisonnant par l’absurde, que $u$ n’est pas diagonalisable.

Supposez que $u$ admette une base de vecteurs propres, notée $(v_1,v_2,v_3).$ Notez $I$ la matrice identité d’ordre $3.$

Déterminez les valeurs propres de $u$

Vous calculez le polynôme caractéristique de $u$ qui coïncide avec celui de la matrice $A.$ Vous avez :

\begin{align*} \det (XI-A) &= \begin{vmatrix}X-6 & 3 & 2 \\ -4 & X+1 & 2\\ -10 & 5 & X+3 \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} X-2 & -X+2 & 0 \\ -4 & X+1 & 2\\ -10 & 5 & X+3 \end{vmatrix}\\ &= (X-2)\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -4 & X+1 & 2\\ -10 & 5 & X+3\end{vmatrix} \\ &= (X-2)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & X-3 & 2\\ -10 &-5 & X+3\end{vmatrix} \\ &= (x-2)\begin{vmatrix} X-3 & 2\\ -5 & X+3\end{vmatrix} \\ &= (X-2)(X^2-9+10)\\ &=(X-2)(X^2+1). \end{align*}

Comme $u$ est un endomorphisme de $\R$-espace vectoriel, il ne possède qu’une seule valeur propre qui est $2.$

Concluez

Les vecteurs $v_1\comma$ $v_2$ et $v_3$ étant des vecteurs propres de $u\comma$ nécessairement, vous avez :

\forall i\in\llbracket 1, 3\rrbracket, u(v_i)=2v_i.

Soit maintenant $x$ un vecteur quelconque de $\R^3.$ Il se décompose sur la base $(v_1,v_2,v_3)$ donc il existe des réels $\lambda_1\comma$ $\lambda_2$ et $\lambda_3$ tels que :

x = \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3.

Par linéarité, vous obtenez :

\begin{align*} u(x) &= \lambda_1u(v_1)+\lambda_2u(v_2)+\lambda_3u(v_3)\\ &= 2\lambda_1v_1+2\lambda_2v_2+2\lambda_3v_3\\ &=2(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3)\\ &=2x. \end{align*}

Donc la matrice de $u$ dans la base canonique est $2I.$ Ainsi, $A=2I\comma$ une contradiction.

Vous avez montré que l’endomorphisme $u$ n’est pas diagonalisable.