Un peu de topologie… soit $F$ une partie de $\R$ qui vérifie la propriété dite de Heine-Borel :
Tout recouvrement ouvert de $F$ admet un sous-recouvrement fini.
Vous allez démontrer que $F$ est une partie fermée et bornée.
Quelques notations pratiques
Pour toute partie $A\subset \R$, notez son complémentaire $\overline{A} = \{x\in\R, x\notin A\}.$ La notation « barre » n’a rien à voir avec la notion d’adhérence que l’on peut trouver ailleurs dans des notions topologiques.
Démontrez que $F$ est bornée
Pour tout entier naturel $n$, notez $I_n = \left]-n-1 ;n+1\right[.$
Comme $\R$ est recouvert par l’ensemble des $I_n$ pris pour $n\in\N$, il en est de même de $F$.
Appliquant la propriété de Heine-Borel à $F$, vous déduisez qu’il existe $r$ entiers naturels $n_1$, $\dots$, $n_r$ tels que $F \subset I_{n_1} \cup \cdots \cup I_{n_r}.$
Notez $m$ le plus grand entier naturel parmi $n_1$, $\dots$, $n_r$. Vous déduisez que $F \subset I_m$ ce qui prouve que la partie $F$ est bornée.
Démontrez que $F$ est fermée
Soit $x\in \overline{F}.$ Il s’agit de démontrer qu’il existe un intervalle ouvert inclus dans $\overline{F}$ et contenant $x$.
Pour tout entier naturel $n$, notez $I_n = \left[x-\dfrac{1}{n+1} ; x+\dfrac{1}{n+1}\right].$
L’intersection des $(I_n)$ est réduite à un singleton : $\bigcap_{n\in\N} I_n = \{x\}$. Comme $x\notin F$, il en résulte que $\left(\bigcap_{n\in\N} I_n\right)\cap F = \emptyset.$
Vous déduisez $ F\subset \bigcup_{n\in\N} \overline{I_n}.$
Pour tout entier naturel $n$, les ensembles $\overline{I_n}$ sont ouverts. Vous appliquez la propriété de Heine-Borel à $F$. Vous déduisez qu’il existe $r$ entiers naturels $n_1$, $\dots$, $n_r$ tels que $F \subset I_{n_1} \cup \cdots \cup I_{n_r}.$
Notez $m$ le plus petit entier naturel parmi $n_1$, $\dots$, $n_r$. Vous déduisez que $F \subset \overline{I_m}$ et par suite $I_m\subset \overline{F}$ donc l’ouvert $\left]x-\dfrac{1}{m+1} ; x+\dfrac{1}{m+1}\right[$ est inclus dans $\overline{F}$ et contient $x$.
La partie $F$ est donc fermée.
Prolongement
La propriété établie dans ce document est-elle valable si on considère que $F$ est cette fois une partie d’un espace métrique $E$ ou lieu d’une partie de $\R$ ?
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