Dans cet article, $F$ désigne une partie de $\R$ qui vérifie la propriété suivante : de tout recouvrement de $F$ par des ouverts de $\R\comma$ on peut en extraire un recouvrement fini.

Vous allez démontrer que $F$ est une partie fermée et bornée de $\R.$

Quelques notations

Pour toute partie $A\subset \R\comma$ vous noterez $A^{\complement}$ son complémentaire dans $\R\comma$ soit :

Démontrez que la partie $F$ est bornée

Pour tout entier naturel $n\comma$ notez $I_n$ l’intervalle ouvert défini par :

Soit $x$ un nombre réel. Notez $m = \lfloor\,\vert x\vert\,\rfloor$ la partie entière de sa valeur absolue. Vous avez :

Si l’entier relatif $m$ est strictement inférieur à $0\comma$ alors $m\leq -1\comma$ d’où $m+1\leq 0.$ Or, $\vert x\vert \lt m+1\comma$ ce qui entraîne $\vert x \vert \lt 0\comma$ contradiction. Donc $m$ est positif ou nul.

Or, vous avez aussi l’encadrement suivant :

Comme $x\leq \vert x\vert$ et comme $\vert x \vert \lt m+1\comma$ il vient $x\lt m+1.$ Or, $-m-1 \lt -\vert x\vert$ et $-\vert x\vert \leq x$ donc $-m-1\lt x.$ Finalement, $x\in I_m.$

Du coup :

Comme $F\subset \R\comma$ vous déduisez que $F$ est recouvert par la famille $(I_n)_{n\in\N}.$ Ainsi, il existe $r$ entiers naturels $n_1,\dots, n_r$ tels que :

Soit $N$ le maximum de l’ensemble fini $\{n_i, 1\leq i\leq r\}.$ Pour tout $i$ appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, r\rrbracket\comma$ l’intervalle $I_N$ contient l’intervalle $I_{n_i}.$ Donc $F\subset I_N\comma$ ce qui prouve que la partie $F$ est bornée.

Démontrez que la partie $F$ est fermée

Soit $x$ un réel fixé n’appartenant pas à $F\comma$ c’est-à-dire $x\in F^{\complement}.$ Il s’agit de démontrer qu’il existe un intervalle ouvert inclus dans $F^{\complement}$ et contenant $x.$

Pour tout entier naturel $n\comma$ vous notez $I_n$ l’intervalle fermé défini par :

Pour tout entier naturel $n\comma$ vous avez $x\in I_n.$ Il en résulte l’inclusion suivante :

Soit maintenant $u$ un réel tel que $u\in \bigcap_{n\in\N} I_n.$ Alors, pour tout entier naturel $n\comma$ vous avez l’encadrement :

En faisant tendre $n$ vers $+\infty\comma$ vous déduisez que :

Donc $u=x.$ L’inclusion suivante est ainsi satisfaite :

L’intersection de tous les intervalles $I_n\comma$ quand $n$ parcourt $\N\comma$ est réduite à un singleton :

En prenant le complémentaire, vous déduisez :

Comme $x\notin F\comma$ vous déduisez :

Par suite :

Pour tout entier naturel $n\comma$ les ensembles $I_n^{\complement}$ sont des parties ouvertes de $\R.$ Vous déduisez qu’il existe $r$ entiers naturels $n_1, \dots, n_r$ tels que :

Notez $m$ le plus petit élément de l’ensemble fini $\{n_i, i\in\llbracket 1, r\rrbracket\}.$ L’ensemble $I_m^{\complement}$ contient toutes les parties $I_{n_i}^{\complement}\comma$ quand $i$ parcourt l’intervalle $\llbracket 1, r\rrbracket.$ Vous déduisez que $F$ est inclus dans $I_m^{\complement}.$ En prenant le complémentaire, il vient :

Posez maintenant :

$J$ est une partie ouverte de $\R$ qui contient $x.$ Or, $J\subset I_m$ et $I_m\subset F^{\complement}.$ Donc $J\subset F^{\complement}.$

Ainsi, tout élément $x$ qui n’appartient pas à $F$ appartient à une partie ouverte de $\R$ qui est incluse dans $F^{\complement}.$

La partie $F$ est donc fermée.

Prolongement

Pourriez-vous établir la réciproque ? Si $F$ est une partie fermée et bornée de $\R\comma$ pourriez-vous montrer que, pour tout recouvrement de $F$ par des ouverts de $\R\comma$ on peut en extraire un sous-recouvrement fini ?

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 400.