Soit $\alpha = \dfrac{2\pi}{7}.$ Le but de l'article est de trouver une équation polynomiale qui caractérise $u=\cos \alpha$, $v=\cos (2\alpha)$ et $w=\cos (3\alpha).$ Factorisez le polynôme $X^7-1$ dans $\C[X]$ Les 7 nombres complexes $1$, $\e^{i\alpha}$, $\e^{-i\alpha}$, $\e^{2i\alpha}$, $\e^{-2i\alpha}$, $\e^{3i\alpha}$ et…
En savoir plus 107. Calcul des cosinus de $2\pi / 7$, $4\pi / 7$ et $6\pi / 7$
Un angle de $36°$ correspond, en radians, à un angle de $\dfrac{\pi}{5}$. De même un angle de $72°$ admet une mesure en radians égale à $\dfrac{2\pi}{5}$. Les nombres complexes permettent de trouver les valeurs des cosinus de $\dfrac{2\pi}{5}$ et du…
En savoir plus 106. Le calcul du cosinus de 36° et du cosinus de 72°
Il a été vu dans l'article précédent que si $E$ est une partie de $\C$, alors l'intérieur de $E$ est égal à $\overset{\circ}{E} = E \setminus \partial E$, c'est-à-dire à $E$ privé de sa frontière et l'adhérence de $E$ est…
Pour fixer les idées, soit $E$ une partie de $\C.$ Pour tout $x\in E$ et pour tout réel $r>0$, on note $B_x(r)$ la boule (au sens topologique) ouverte de centre $x$ et de rayon $r$, définie par l'ensemble $\{z\in\C, |z-x|<r\}.$…
L'ensemble des entiers naturels noté $\N$ est formé de tous les entiers positifs en commençant par $0$ qui est lui aussi positif. Il est impossible de démontrer que l'ensemble $\N$ existe : on travaille à partir d'axiomes qui justifient son…
Exemple d'une intégrale très technique.
Une base de Frobenius ? Une matrice de Frobenius ? Qu'est-ce ? Connaissez-vous la matrice compagnon d'un polynôme unitaire ? Pour $P_1(X) = X^3 + X^2 -3X +7$, vous associez l'équation de ses racines en isolant le terme de plus…
Soit $n$ un entier naturel non nul, $\K$ un corps et $A$ une matrice appartenant à $M_n(\K).$ $\K^n$ désigne l'ensemble des matrices colonnes à $n$ lignes à coefficients dans $\K.$ Il existe un polynôme unitaire de degré minimal, noté $\Pi\in\K[X]$…
En savoir plus 096. Comment calculer le polynôme minimal d’une matrice ?
Pourquoi calculer un déterminant ? Considérez la matrice $A=\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}.$ Pour parvenir à trouver une représentation plus simple de cette matrice, vous êtes plus ou moins amenés à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A$, c'est-à-dire tous les réels…
Le contexte Dans cet article, on se place dans un espace vectoriel $V$ réel ou complexe muni d'un produit scalaire, appellé aussi espace préhilbertien. Ce produit scalaire sera noté $(.|.)$, dans le cas complexe ce produit scalaire sera linéaire pour…
En savoir plus 093. Meilleure approximation et orthogonalité
