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133. Limite d’une suite géométrique dont la raison a une valeur absolue strictement inférieure à 1

Pourquoi la limite d'une telle suite est-elle égale à $0$ ? Il existe un moyen d'y parvenir avec les outils du lycée. Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$ Etablissez la monotonie de…

130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes

L'objectif de cet article de démontrer que $\forall (z,z')\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z')=\mathrm{exp}(z+z').$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite…

129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus

D'après l'article 128, pour tout réel $x$, vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L'exponentielle d'un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module 1 Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN$,…

128. Une définition de l’exponentielle

Soit $z$ un nombre complexe fixé. Considérez la suite suivante définie par $\forall n\in\NN, u_n = \left(1+\frac{z}{n}\right)^n.$ Vous allez démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\NN}$ est convergente. Sa limite sera notée $\mathrm{exp}(z)$ et appelée exponentielle de $z.$ Les suites de Cauchy…

124. Equations de degré 4, des palindromes au cas général

Dans cet article, vous recherchez un moyen de trouver tous les candidats potentiels d'une équation réelle de degré 4. Les exemples sont choisis pour que les calculs restent compréhensibles bien que longs sur la fin de l'article. Vous allez constater…

122. Racine de 2 est irrationnel

Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l'équation $x^2=2.$ Vous allez démontrer qu'il n'existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$ Un tel résultat constitue l'irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l'ensemble $\Q$…

121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées

Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$ Quels outils seront utilisés? Vous allez utiliser le développement d'une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$ Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$ Vous allez utiliser des propriétés…