107. Calcul des cosinus de $2\pi / 7$, $4\pi / 7$ et $6\pi / 7$

Soit $\alpha = \dfrac{2\pi}{7}.$ Le but de l'article est de trouver une équation polynomiale qui caractérise $u=\cos \alpha$, $v=\cos (2\alpha)$ et $w=\cos (3\alpha).$ Factorisez le polynôme $X^7-1$ dans $\C[X]$ Les 7 nombres complexes $1$, $\e^{i\alpha}$, $\e^{-i\alpha}$, $\e^{2i\alpha}$, $\e^{-2i\alpha}$, $\e^{3i\alpha}$ et…

097. Comment obtenir la réduction de Frobenius d’une matrice ainsi qu’une base associée ?

17/07/2020 - 0059

Une base de Frobenius ? Une matrice de Frobenius ? Qu'est-ce ? Connaissez-vous la matrice compagnon d'un polynôme unitaire ? Pour $P_1(X) = X^3 + X^2 -3X +7$, vous associez l'équation de ses racines en isolant le terme de plus…

094. Comment bien calculer un déterminant ?

17/07/2020 - 0057

Pourquoi calculer un déterminant ? Considérez la matrice $A=\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}.$ Pour parvenir à trouver une représentation plus simple de cette matrice, vous êtes plus ou moins amenés à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A$, c'est-à-dire tous les réels…