Pourquoi la limite d'une telle suite est-elle égale à $0$ ? Il existe un moyen d'y parvenir avec les outils du lycée. Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$ Etablissez la monotonie de…
Catégorie : Niveau Capes
130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes
L'objectif de cet article de démontrer que $\forall (z,z')\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z')=\mathrm{exp}(z+z').$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite…
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129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus
D'après l'article 128, pour tout réel $x$, vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L'exponentielle d'un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module 1 Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN$,…
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128. Une définition de l’exponentielle
Soit $z$ un nombre complexe fixé. Considérez la suite suivante définie par $\forall n\in\NN, u_n = \left(1+\frac{z}{n}\right)^n.$ Vous allez démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\NN}$ est convergente. Sa limite sera notée $\mathrm{exp}(z)$ et appelée exponentielle de $z.$ Les suites de Cauchy…
127. Longueur d’une bissectrice
Comment calculer la longueur d'une bissectrice dans un triangle connaissant la longueur des trois côtés de ce triangle? Le calcul vectoriel auquel vous allez ajouter le produit scalaire permettront de répondre. Il existe bien d'autres constructions, très astucieuses, permettant d'obtenir…
126. Le lemme d’Euclide
Contexte Les nombres premiers constituent des éléments très importants dans l'étude des nombres. Qu'est-ce qu'un nombre premier ? On entend souvent qu'un nombre est premier, si et seulement si, il n'est divisible que par 1 et par lui-même. Cette assertion…
124. Equations de degré 4, des palindromes au cas général
Dans cet article, vous recherchez un moyen de trouver tous les candidats potentiels d'une équation réelle de degré 4. Les exemples sont choisis pour que les calculs restent compréhensibles bien que longs sur la fin de l'article. Vous allez constater…
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122. Racine de 2 est irrationnel
Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l'équation $x^2=2.$ Vous allez démontrer qu'il n'existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$ Un tel résultat constitue l'irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l'ensemble $\Q$…
121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées
Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$ Quels outils seront utilisés? Vous allez utiliser le développement d'une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$ Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$ Vous allez utiliser des propriétés…
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120. Aire sous la parabole
Considérez la courbe $\cc$ d'équation $y=x^2$, lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[0,1].$ On note $\aa$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\cc$, l'axe des abscisses et la droite verticale d'équation $x=1.$ Comment trouver la valeur de $\aa$? Minorez la valeur…