Souvent mal comprise, la relation $D = P^{-1}AP$ est apprise par coeur à défaut de pouvoir lui donner un sens en algèbre linéaire.
Pourtant, elle traduit juste l’associativité du produit matriciel.
Pour fixer les idées, soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $f$ un endomorphisme de $E$.
Considérez $(e_1, \dots, e_n)$, base de $E$ dans laquelle vous disposez de la matrice $A$ de $f$ dans cette base.
Traduisez le lien entre $(e_1\quad \dots\quad e_n)$ et $(f(e_1)\quad \dots\quad f(e_n))$
Soit $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$. La colonne numéro $i$ de $A$ est donnée par $\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \dots \\ a_{ni} \\ \end{pmatrix}$ les coefficients $a_{ji}$ donnant les coordonnées de la décomposition du vecteur $f(e_i)$ sur la base $(e_1,\dots,e_n)$, ce qui se traduit par le sigma $f(e_i)=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j.$
Il faut bien avouer que cette notation avec un sigma n’est guère pratique.
Il convient d’écrire, par produit matriciel, que $f(e_i) = (e_1\quad \dots\quad e_n)\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \dots \\ a_{ni}\end{pmatrix}.$
Vous en déduisez la relation fondamentale, la matrice ligne de vecteurs $(f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n))$ est égale au produit matriciel $(e_1\quad \dots \quad e_n) A.$
$\boxed{(f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) =(e_1\quad \dots \quad e_n) A. }$
Ecrivez le lien entre deux bases de $E$
La base $(e_1\quad\dots\quad e_n)$ étant déjà prise en compte plus haut, considérez une autre base $(f_1\quad\dots\quad f_n)$ de $E$. Appelez $P$ la matrice de passage de $(e_1\quad\dots\quad e_n)$ vers la base $(f_1\quad\dots\quad f_n).$
Pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$, le vecteur $f_i$ se décompose avec un sigma : $f_i=\sum_{j=1}^n p_{ji}e_j$ et les coefficients $p_{ji}$ sont regroupés dans la matrice $P$ qui est définie par :
Comme tout à l’heure, l’écriture avec un sigma est peu agréable aussi, vous pouvez remarquer que $f_i$ s’écrit comme le produit matriciel $f_i = (e_1\quad \dots \quad e_n) \begin{pmatrix}p_{1i}\\\dots\\ p_{ni}\end{pmatrix}.$
La matrice ligne $(f_1\quad\dots\quad f_n)$ s’écrit comme le produit matriciel $(e_1\quad \dots \quad e_n) P.$
En résumé :
$\boxed{(f_1\quad\dots\quad f_n) = (e_1\quad \dots \quad e_n) P.}$
Et la relation de diagonalisation $D = P^{-1}AP$
Supposez que vous ayez trouvé une base de diagonalisation de $f$, autrement dit, il existe $n$ scalaires $\lambda_1$, …, $\lambda_n$ tels que $\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, f(f_i)=\lambda_i f_i.$
Remarquez que $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) = (\lambda_1 f_1\quad\dots\quad \lambda_n f_n).$
Cette matrice ligne s’écrit comme un produit matriciel en utilisant la matrice $D$ diagonale définie par :
qui vous permet d’écrire successivement :
\begin{aligned}
(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) &= (\lambda_1 f_1\quad\dots\quad \lambda_n f_n) \\
&= (f_1\quad\dots\quad f_n)D\\
&= [(e_1\quad \dots \quad e_n) P]D\\
&=(e_1\quad \dots \quad e_n) [PD].
\end{aligned}
Notez l’utilisation des crochets qui soulignent l’associativité du produit matriciel.
Mais $(f_1\quad\dots\quad f_n) = (e_1\quad \dots \quad e_n) P.$ Comme $f$ est linéaire, vous obtenez $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) = (f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) P$ ce qui vous donne un autre calcul possible pour la matrice ligne $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n))$ :
\begin{aligned}
(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) &= (f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) P\\
&=[(e_1\quad \dots \quad e_n) A]P\\
&=(e_1\quad \dots \quad e_n) [AP].
\end{aligned}
Vous déduisez l’égalité suivante de combinaisons linéaires : $(e_1\quad \dots \quad e_n)PD = (e_1\quad \dots \quad e_n)AP.$
Comme la famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, il y a unicité des coefficients et par suite $PD = AP.$
Comme la matrice $P$ est une matrice de passage d’une base vers une autre, elle est inversible et en multipliant à gauche par $P^{-1}$ vous obtenez le résultat annoncé : $\boxed{P^{-1}AP= D.}$
Partagez!
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook!
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles!
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira!