113. Diagonalisation et formules de changements de bases

La relation $D = P^{-1}AP$ traduit l’associativité du produit matriciel.

Pour fixer les idées, soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $f$ un endomorphisme de $E.$

Considérez une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ et notez $A$ la matrice de $f$ dans cette base.

Traduisez le lien entre $(e_1\quad \dots\quad e_n)$ et $(f(e_1)\quad \dots\quad f(e_n))$

Soit $i\in\llbracket 1, n\rrbracket.$ La colonne numéro $i$ de $A$ est donnée par $\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \dots \\ a_{ni} \\ \end{pmatrix}$ les coefficients $a_{ji}$ donnant les coordonnées de la décomposition du vecteur $f(e_i)$ sur la base $(e_1,\dots,e_n)\comma$ ce qui se traduit par le sigma $f(e_i)=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j.$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.

Il faut bien avouer que cette notation avec un sigma n’est guère pratique.

Il convient d’écrire, par produit matriciel, que $f(e_i) = (e_1\quad \dots\quad e_n)\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \dots \\ a_{ni}\end{pmatrix}.$

Vous en déduisez la relation fondamentale, la matrice ligne de vecteurs $(f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n))$ est égale au produit matriciel $(e_1\quad \dots \quad e_n) A.$

\boxed{(f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) =(e_1\quad \dots \quad e_n) A. }

Écrivez le lien entre deux bases de $E$

La base $(e_1\quad\dots\quad e_n)$ étant déjà prise en compte plus haut, considérez une autre base $(f_1\quad\dots\quad f_n)$ de $E.$ Appelez $P$ la matrice de passage de $(e_1\quad\dots\quad e_n)$ vers la base $(f_1\quad\dots\quad f_n).$

Pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket\comma$ le vecteur $f_i$ se décompose avec un sigma : $f_i=\sum_{j=1}^n p_{ji}e_j$ et les coefficients $p_{ji}$ sont regroupés dans la matrice $P$ qui est définie par :

P = \begin{pmatrix} p_{11} & \cdots & p_{1i} & \cdots & p_{1n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ p_{n1} & \cdots & p_{ni} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix}.

Comme tout à l’heure, l’écriture avec un sigma est peu agréable aussi, vous pouvez remarquer que $f_i$ s’écrit comme le produit matriciel $f_i = (e_1\quad \dots \quad e_n) \begin{pmatrix}p_{1i}\\\dots\\ p_{ni}\end{pmatrix}.$

La matrice ligne $(f_1\quad\dots\quad f_n)$ s’écrit comme le produit matriciel $(e_1\quad \dots \quad e_n) P.$

En résumé :

\boxed{(f_1\quad\dots\quad f_n) = (e_1\quad \dots \quad e_n) P.}

Et la relation de diagonalisation $D = P^{-1}AP$

Supposez que vous ayez trouvé une base de diagonalisation de $f\comma$ autrement dit, il existe $n$ scalaires $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ tels que $\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, f(f_i)=\lambda_i f_i.$

Remarquez que $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) = (\lambda_1 f_1\quad\dots\quad \lambda_n f_n).$

Cette matrice ligne s’écrit comme un produit matriciel en utilisant la matrice $D$ diagonale définie par :

D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}

qui vous permet d’écrire successivement :

\begin{align*} (f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) &= (\lambda_1 f_1\quad\dots\quad \lambda_n f_n) \\ &= (f_1\quad\dots\quad f_n)D\\ &= [(e_1\quad \dots \quad e_n) P]D\\ &=(e_1\quad \dots \quad e_n) [PD]. \end{align*}

Notez l’utilisation des crochets qui soulignent l’associativité du produit matriciel.

Mais $(f_1\quad\dots\quad f_n) = (e_1\quad \dots \quad e_n) P.$ Comme $f$ est linéaire, vous obtenez $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) = (f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) P$ ce qui vous donne un autre calcul possible pour la matrice ligne $(f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)).$ Cela donne :

\begin{align*} (f(f_1)\quad\dots\quad f(f_n)) &= (f(e_1)\quad \dots \quad f(e_n)) P\\ &=[(e_1\quad \dots \quad e_n) A]P\\ &=(e_1\quad \dots \quad e_n) [AP]. \end{align*}

Vous déduisez l’égalité suivante de combinaisons linéaires : $(e_1\quad \dots \quad e_n)PD = (e_1\quad \dots \quad e_n)AP.$

Comme la famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E\comma$ il y a unicité des coefficients et par suite $PD = AP.$

Comme la matrice $P$ est une matrice de passage d’une base vers une autre, elle est inversible et en multipliant à gauche par $P^{-1}$ vous obtenez le résultat annoncé : $\boxed{P^{-1}AP= D.}$