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112. Calcul des cosinus de pi/7, 3pi/7 et 5pi/7

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Factorisez $X^7+1$ dans $\C[X]$

Remarquez déjà que pour tout nombre complexe $z\comma$ il est impossible d’avoir l’annulation simultanée du polynôme $X^7+1$ et de son polynôme dérivé. En effet $z^7+1=0$ et $7z^6 = 0$ fournit $z=0$ et la contradiction $1=0.$

Le polynôme $X^7+1$ n’a que des racines simples dans $\C.$ En posant $\alpha = \e^{\frac{i\pi}{7}}\comma$ vous remarquez que $\alpha$ est annulé par $X^7+1$ étant donné que $\e^{i\pi} = -1\comma$ appelé relation d’Euler.

Ensuite, il s’agit de remarquer que $\alpha^3$ est aussi une racine de $X^7+1.$ En effet, $(\alpha^3)^7+1 = (\alpha^7)^3+1 = (-1)^3+1 = 0.$

Il en est de même pour $\alpha^5$ avec un calcul similaire : $(\alpha^5)^7+1 = (\alpha^7)^5+1 = (-1)^5+1=0.$

Comme $X^7+1$ est à coefficients réels, les trois conjugués $\overline{\alpha}\comma$ $\overline{\alpha}^3$ et $\overline{\alpha}^5$ sont aussi trois racines de $X^7+1.$

Étant donné que $-1$ est aussi une racine de $X^7+1\comma$ vous obtenez la factorisation finale de $X^7+1$ dans $\C[X]\comma$ à savoir :

\boxed{X^7+1 = (X+1)(X-\alpha)(X-\overline{\alpha})\left(X-\alpha^3\right)\left(X-\overline{\alpha}^3\right)\left(X-\alpha^5\right)\left(X-\overline{\alpha}^5\right)}.

Développez $(X-z)(X-\overline{z})$

Vous obtenez un polynôme à coefficients réels qui est égal à $X^2-(z+\overline{z})X+|z|^2.$

Rappelez-vous que $z+\overline{z}$ vaut deux fois la partie réelle de $z\comma$ qui est un réel.

Factorisez $X^7+1$ dans $\R[X]$

Posez maintenant $\alpha_1 = \cos \left(\frac{\pi}{7}\right)\comma$ $\alpha_3 = \cos \left(\frac{3\pi}{7}\right)$ et $\alpha_5 = \cos \left(\frac{5\pi}{7}\right).$

Vous développez et obtenez successivement :

(X-\alpha)(X-\overline{\alpha}) = X^2-2\alpha_1 X+1
(X-\alpha^3)(X-\overline{\alpha}^3) = X^2-2\alpha_3 X+1
(X-\alpha^5)(X-\overline{\alpha}^5) = X^2-2\alpha_5 X+1.

Vous en déduisez que :

\boxed{X^7+1 = (X+1)(X^2-2\alpha_1 X+1)(X^2-2\alpha_3 X+1)(X^2-2\alpha_5 X+1)}.

Déduisez-en un polynôme annulateur de $\alpha_1\comma$ $\alpha_3$ et $\alpha_5$

Notez que pour tout $u\in\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5\}\comma$ le polynôme $X^2-2uX+1$ divise le polynôme $X^7+1.$

Soit maintenant $u$ fixé appartenant à $\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5\}.$

Quand vous effectuez la division euclidienne de $X^7+1$ par $X^2-2uX+1$ vous avez pour quotient :

Q(X)=X^5+2uX^4+(4u^2-1)X^3+(8u^3-4u)X^2+(16u^4-12u^2+1)X+(32u^5-32u^3+6u)

et pour reste :

R(X) = (64u^6-80u^4+24u^2-1)X+(-32u^5+32u^3-6u+1).

Le reste étant nul, vous en déduisez que : $64u^6-80u^4+24u^2-1 = 0$ et que $-32u^5+32u^3-6u+1 = 0.$

En multipliant la dernière relation par $2u\comma$ vous obtenez $-64u^6+64u^4-12u^2+2u = 0.$

Finalement, par addition des deux polynômes en $u$ de degré $6\comma$ vous aboutissez à : $-16u^4+12u^2+2u-1=0.$

Or, $-32u^5+32u^3-6u+1 = 0.$ Multipliez par $-2u$ la relation $-16u^4+12u^2+2u-1=0$ pour obtenir $32u^5-24u^3-4u^2+2u=0.$

Par somme des deux polynômes en $u$ de degré 5, vous aboutissez à $8u^3-4u^2-4u+1=0.$

Concluez par la factorisation de $8X^3-4X^2-4X+1$

D’après ce qui précède, les trois nombres $\alpha_1 = \cos \left(\frac{\pi}{7}\right)\comma$ $\alpha_3 = \cos \left(\frac{3\pi}{7}\right)$ et $\alpha_5 = \cos \left(\frac{5\pi}{7}\right)$ sont trois racines, deux à deux distinctes puisque la fonction cosinus est injective sur $[0,\pi]\comma$ du polynôme $8X^3-4X^2-4X+1.$

Vous en déduisez la factorisation :

\boxed{8X^3-4X^2-4X+1 = 8\left(X-\cos \frac{\pi}{7}\right)\left(X-\cos \frac{3\pi}{7}\right)\left(X-\cos \frac{5\pi}{7}\right).}

Calculez aussi les cosinus de $\frac{2\pi}{7}\comma$ $\frac{4\pi}{7}$ et $\frac{6\pi}{7}$

Ne traînez plus et rendez-vous dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 107.