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117. La multiplication d’un chiffre par 9

17/07/2020 - 0071

Vous avez appris par coeur la table de multiplication par 9, oui mais… avez-vous compris comment elle est construite ?

Une conséquence d’un calcul algébrique

Prenez un chiffre non nul noté $c$, autrement dit, un nombre entier compris entre $1$ et $9.$

Pour calculer $c\times 9$, vous pouvez effectuer $c\times (10-1) = 10c -c.$ Cette méthode est largement connue, par exemple au lieu de calculer $7\times 9$ vous effectuez $70-7=63.$

Le problème c’est que cette écriture présente une soustraction qui ne donne pas directement les chiffres de l’écriture décimale du résultat. Vous souhaitez pouvoir obtenir $9\times 7 = 6\times 10 + 3$.

Il est tout à fait possible d’y parvenir.

Remarquez que :

$\begin{align*}
c\times 9 &= c\times (10-1)\\
&=10c-c\\
&= (10(c-1)+10)-c\\
&=10(c-1)+(10-c)
\end{align*}$

Comme $c$ est un chiffre non nul, vous constatez que $c-1$ est un chiffre et que $10-c$ est aussi un chiffre.

Par conséquent, l’égalité $\boxed{c\times 9 = (c-1)\times 10 + (10-c)}$ vous donne la lecture des deux chiffres du résultat de la multiplication $c\times 9.$

  • Le chiffre des dizaines est égal à $c-1$,
  • Le chiffre des unités est égal à $10-c.$

Comment calculer $7\times 9$ ?

Vous souhaitez calculer $7\times 9$ ? Vous avez $c=7$ donc $c-1 = 6$. Le résultat de $7\times 9$ commence par un $6$. Puis prenez le complément à $10$ du chiffre $c$, à savoir $10-c = 10-7=3.$ Vous obtenez le chiffre des unités de $7\times 9$ et finalement $7\times 9= 63.$

Pas convaincu ? Encore un autre exemple

Comment calculer le délicat $9\times 9$ ? Vous posez $c=9$, donc $c-1 = 8$ (8 dizaines) et $10-c = 10-9=1$ (1 unité). Donc $9\times 9 =81.$

Prolongement

D’après vous, peut-on généraliser la méthode vue ci-dessus pour calculer le produit d’un nombre à deux chiffres par 9 ? Par exemple $52\times 9$ ? $87\times 9$ ?

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