Vous avez appris par cœur la table de multiplication par $9\comma$ oui mais… avez-vous compris comment elle est construite ?

Une conséquence d’un calcul algébrique

Prenez un chiffre non nul noté $c\comma$ autrement dit, un nombre entier compris entre $1$ et $9.$

Pour calculer $c\times 9\comma$ vous pouvez effectuer $c\times (10-1) = 10c -c.$ Cette méthode est largement connue, par exemple au lieu de calculer $7\times 9$ vous effectuez $70-7=63.$

Le problème c’est que cette écriture présente une soustraction qui ne donne pas directement les chiffres de l’écriture décimale du résultat. Vous souhaitez pouvoir obtenir $9\times 7 = 6\times 10 + 3.$

Il est tout à fait possible d’y parvenir.

Remarquez que :

Comme $c$ est un chiffre non nul, vous constatez que $c-1$ est un chiffre et que $10-c$ est aussi un chiffre.

Par conséquent, l’égalité $\boxed{c\times 9 = (c-1)\times 10 + (10-c)}$ vous donne la lecture des deux chiffres du résultat de la multiplication $c\times 9.$

• Le chiffre des dizaines est égal à $c-1\comma$
• Le chiffre des unités est égal à $10-c.$

Calculez $7\times 9$ avec cette méthode

Pour calculer le produit $7\times 9\comma$ vous avez $c=7$ donc $c-1 = 6.$ Le résultat de $7\times 9$ commence par un $6.$ Puis prenez le complément à $10$ du chiffre $c\comma$ à savoir $10-c = 10-7=3.$ Vous obtenez le chiffre des unités de $7\times 9$ et finalement $7\times 9= 63.$

Pas convaincu ? Encore un autre exemple

Pour le délicat produit $9\times 9\comma$ vous posez $c=9\comma$ donc $c-1 = 8$ (8 dizaines) et $10-c = 10-9=1$ (1 unité). Donc $9\times 9 =81.$

Prolongement

D’après vous, pouvez-vous généraliser la méthode vue ci-dessus pour calculer le produit d’un nombre à deux chiffres par neuf ? Testez-la par exemple sur les produits $52\times 9$ et $87\times 9.$