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118. Alignement de trois points

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Considérez la figure ci-dessous.

Le quadrilatère $ABCD$ est un carré, le point $E$ est situé à l’intérieur de ce carré pour que le triangle $ABE$ soit équilatéral, le point $F$ est situé à l’extérieur de ce même carré pour que le triangle $BCF$ soit équilatéral.

Notez $a = AB$ la valeur du côté du carré.

Vous allez montrer uniquement avec des calculs de distances que les points $D\comma$ $E$ et $F$ sont alignés dans cet ordre.

Calculez la distance entre $D$ et $F$

Comme le triangle $DCF$ est isocèle en $C\comma$ vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :

\begin{align*} DF^2 &= DC^2+CF^2-2\times DC\times CF\times \cos 150°\\ &= 2a^2-2a^2 \cos 150°\\ &= 2a^2+2a^2\cos 30°\\ &=2a^2+2a^2\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ &=2a^2+a^2\sqrt{3}\\ &=a^2(2+\sqrt{3}). \end{align*}

Avant de prendre la racine carrée, il convient de voir si $2+\sqrt{3}$ s’écrit comme un carré agréable, et c’est effectivement le cas.

Remarquez que :

\begin{align*} (\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 &= 2+6+2\sqrt{12}\\ &=8+2\times 2\sqrt{3}\\ &=8+4\sqrt{3}\\ &=4(2+\sqrt{3}). \end{align*}

Ainsi :

\begin{align*} 4DF^2 &= 4a^2(2+\sqrt{3})\\ &= a^2(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2. \end{align*}

Par positivité des distances $\boxed{2DF = a(\sqrt{2}+\sqrt{6}).}$

Calculez la distance entre $D$ et $E$

Comme le triangle $ADE$ est isocèle en $A\comma$ vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :

\begin{align*} DE^2 &= AE^2+AD^2-2\times AE \times AD\times \cos 30°\\ &=2a^2-2a^2\cos30°\\ &=2a^2-a^2\sqrt{3}\\ &=a^2(2-\sqrt{3}). \end{align*}

Remarquez comme dans le paragraphe précédent que :

\begin{align*} (\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 &= 6+2-2\sqrt{12}\\ &=8-2\times 2\sqrt{3}\\ &=8-4\sqrt{3}\\ &=4(2-\sqrt{3}). \end{align*}

Par positivité des distances et du nombre $\sqrt{6}-\sqrt{2}\comma$ vous obtenez $\boxed{2DE = a(\sqrt{6}-\sqrt{2}).}$

Calculez la distance entre $E$ et $F$

Le triangle $EBF$ est isocèle en $B.$ De plus, $\widehat{EBF} =\widehat{EBC}+\widehat{CBF} = 30°+60°=90°.$ Par conséquent, le triangle $EBF$ est rectangle isocèle en $B.$ Le théorème de Pythagore fournit :

\begin{align*} EF^2 &= BE^2+BF^2\\ &=2a^2. \end{align*}

Du coup $EF = a\sqrt{2}.$

Montrez que $DE+EF=DF$

Par somme :

\begin{align*} 2DE+2EF &= a(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 2a\sqrt{2}\\ &=a(\sqrt{6}+\sqrt{2})\\ &=2DF. \end{align*}

L’égalité $DE+EF=DF$ entraîne l’appartenance du point $E$ au segment $[DF]$ comme annoncé.

Prolongement

L’alignement des points $D\comma$ $E$ et $F$ peut être démontré autrement. Une autre méthode, utilisant les homothéties et les translations, est présentée dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 119.