Considérez la figure ci-dessous.
$ABCD$ est un carré, le point $E$ est situé à l’intérieur de ce carré pour que le triangle $ABE$ soit équilatéral, le point $F$ est situé à l’extérieur de ce même carré pour que le triangle $BCF$ soit équilatéral.
Notez $a = AB$ la valeur du côté du carré.
Vous allez montrer uniquement avec des calculs de distances que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés dans cet ordre.
Calculez la distance entre $D$ et $F$
Comme le triangle $DCF$ est isocèle en $C$, vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :
\begin{aligned}
DF^2 &= DC^2+CF^2-2\times DC\times CF\times \cos 150°\\
&= 2a^2-2a^2 \cos 150°\\
&= 2a^2+2a^2\cos 30°\\
&=2a^2+2a^2\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&=2a^2+a^2\sqrt{3}\\
&=a^2(2+\sqrt{3}).
\end{aligned}
Avant de prendre la racine carrée, il convient de voir si $2+\sqrt{3}$ s’écrit comme un carré agréable, et c’est effectivement le cas.
Remarquez que :
\begin{aligned}
(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 &= 2+6+2\sqrt{12}\\
&=8+2\times 2\sqrt{3}\\
&=8+4\sqrt{3}\\
&=4(2+\sqrt{3})
\end{aligned}
si bien que :
\begin{aligned}
4DF^2 &= 4a^2(2+\sqrt{3})\\
&= a^2(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2
\end{aligned}
et par positivité des distances $\boxed{2DF = a(\sqrt{2}+\sqrt{6}).}$
Calculez la distance entre $D$ et $E$
Comme le triangle $ADE$ est isocèle en $A$, vous obtenez par le théorème d’Al-Kashi :
\begin{aligned}
DE^2 &= AE^2+AD^2-2\times AE \times AD\times \cos 30°\\
&=2a^2-2a^2\cos30°\\
&=2a^2-a^2\sqrt{3}\\
&=a^2(2-\sqrt{3}).
\end{aligned}
Remarquez comme dans le paragraphe précédent que :
\begin{aligned}
(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 &= 6+2-2\sqrt{12}\\
&=8-2\times 2\sqrt{3}\\
&=8-4\sqrt{3}\\
&=4(2-\sqrt{3})
\end{aligned}
Par positivité des distances et du nombre $\sqrt{6}-\sqrt{2}$, vous obtenez $\boxed{2DE = a(\sqrt{6}-\sqrt{2}).}$
Calculez la distance entre $E$ et $F$
Le triangle $EBF$ est isocèle en $B$. De plus, $\widehat{EBF} =\widehat{EBC}+\widehat{CBF} = 30°+60°=90°.$ Par conséquent, le triangle $EBF$ est rectangle isocèle en $B$. Le théorème de Pythagore fournit :
\begin{aligned}
EF^2 &= BE^2+BF^2\\
&=2a^2.
\end{aligned}
Du coup $EF = a\sqrt{2}.$
Montrez que $DE+EF=DF$
\begin{aligned}
2DE+2EF &= a(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 2a\sqrt{2}\\
&=a(\sqrt{6}+\sqrt{2})\\
&=2DF.
\end{aligned}
L’égalité $DE+EF=DF$ entraîne l’appartenance du point $E$ au segment $[DF]$ comme annoncé.
Prolongements
Voici une autre méthode utilisant des homothéties, une projection et une translation.
L’alignement des points $D$, $E$ et $F$ peut être démontrée autrement (angles, calculs dans un repère…).
Quelle est l’approche de que vous préférez ?
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