Considérez le nombre $\alpha = \sqrt[5]{\frac{-75+21\sqrt{10}}{125}} + \sqrt[5]{\frac{-75-21\sqrt{10}}{125}}+\sqrt[5]{\frac{225+72\sqrt{10}}{125}} + \sqrt[5]{\frac{225-72\sqrt{10}}{125}}.$
Il va s’agir de montrer que $\alpha$ vérifie une équation de degré 5.
Afin de calculer $\alpha^5$, vous allez poser successivement :
$\left\{\begin{align*}
x_1 &= \frac{-75+21\sqrt{10}}{125}\\
x_2 &= \frac{-75-21\sqrt{10}}{125}\\
y_1 &= \frac{225+72\sqrt{10}}{125}\\
y_2 &= \frac{225-72\sqrt{10}}{125}
\end{align*}\right.$
et
$\left\{\begin{align*}
A &= \sqrt[5]{x_1}\\
B &= \sqrt[5]{x_2}\\
C &= \sqrt[5]{y_1}\\
D &= \sqrt[5]{y_2}
\end{align*}\right.$
de sorte que $\alpha = A+B+C+D.$
Tableaux de calculs
\begin{aligned}
x_1x_2 &=\frac{-75+21\sqrt{10}}{125}\times \frac{-75-21\sqrt{10}}{125} \\
&= \frac{75^2-21^2\times 10}{125^2}\\
&=\frac{5625-4410}{125^2}\\
&=\frac{1215}{125^2}\\
&=\frac{243}{3125}
\end{aligned}
si bien que $\sqrt[5]{\frac{243}{3125}} = \frac{3}{5}.$
Comment développer $(A+B+C+D)^5$ ? Première idée
Les exposants de $A$, $B$, $C$, $D$ doivent avoir une somme égale à $5$.
Le terme $A^aB^bC^cD^d$ apparaît dans la somme autant de fois qu’il est possible de choisir $a$ fois le nombre $A$, $b$ fois le nombre $B$, $c$ fois le nombre $C$ et $d$ fois le nombre $D$. Ce nombre de fois est le coefficient multinomial $\binom{5}{a,b,c,d} = \frac{5 !}{a!b!c!d !}.$
Autrement dit
\begin{aligned}
(A+B+C+D)^5&=\sum_{a+b+c+d=5}\binom{5}{a,b,c,d}A^{a}B^bC^cD^d
\\
&=A^5 + A^4 \sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d
\\
&\quad+ A^3 \sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d + A^2 \sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d
\\
&\quad +A\sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d + \sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d
\\
\end{aligned}
La somme $\sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d$
\begin{aligned}
\sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{4,1,0,0}B + \binom{5}{4,0,1,0}C + \binom{5}{4,0,0,1}D
\\
&= 5B+5C+5D.
\end{aligned}
La somme $\sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d$
\begin{aligned}
\sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{3,2,0,0}B^2 + \binom{5}{3,1,1,0}BC + \binom{5}{3,1,0,1}BD
\\
&\quad+ \binom{5}{3,0,2,0}C^2+ \binom{5}{3,0,1,1}CD + \binom{5}{3,0,0,2}D^2
\\
&= 20B^2+5BC+5BD+20C^2+5CD+20D^2.
\end{aligned}
La somme $\sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d$
\begin{aligned}
\sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{2,3,0,0}B^3 + \binom{5}{2,2,1,0}B^2C + \binom{5}{2,2,0,1}B^2D
\\
&\quad+\binom{5}{2,1,2,0}BC^2+\binom{5}{2,1,1,1}BCD+\binom{5}{2,1,0,2}BD^2
\\
&\quad+\binom{5}{2,0,3,0}C^3+\binom{5}{2,0,2,1}C^2D + \binom{5}{2,0,1,2}CD^2+ \binom{5}{2,0,0,3}D^3
\\
&=10B^3+30B^2C+30B^2D+30BC^2+60BCD
\\
&\quad+30BD^2+10C^3+30C^2D+30CD^2+10D^3.
\end{aligned}
La somme $\sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d$
\begin{aligned}
\sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{1,4,0,0}B^4+\binom{5}{1,3,1,0}B^3C+\binom{5}{1,3,0,1}B^3D
\\
&\quad+\binom{5}{1,2,2,0}B^2C^2+\binom{5}{1,2,1,1}B^2CD+\binom{5}{1,2,0,2}B^2D^2
\\
&\quad+\binom{5}{1,1,3,0}BC^3+\binom{5}{1,1,2,1}BC^2D+\binom{5}{1,1,1,2}BCD^2
\\
&\quad+\binom{5}{1,1,0,3}BD^3+\binom{5}{1,0,4,0}C^4+\binom{5}{1,0,3,1}C^3D+
\\
&\quad+\binom{5}{1,0,2,2}C^2D^2+\binom{5}{1,0,1,3}CD^3+\binom{5}{1,0,0,4}D^4
\\
&=5B^4+20B^3C+20B^3D+30B^2C^2+60B^2CD
\\
&\quad+30B^2D^2+20BC^3+60BC^2D+60BCD^2+20BD^3
\\
&\quad+5C^4+20C^3D+30C^2D^2+20CD^3+5D^4.
\end{aligned}
La somme $\sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d$
\begin{aligned}
\sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{0,5,0,0}B^5+\binom{5}{0,4,1,0}B^4C+\binom{5}{0,4,0,1}B^4D
\\
&\quad+\binom{5}{0,3,2,0}B^3C^2+\binom{5}{0,3,1,1}B^3CD+\binom{5}{0,3,0,2}B^3D^2
\\
&\quad+\binom{5}{0,2,3,0}B^2C^3+\binom{5}{0,2,2,1}B^2C^2D+\binom{5}{0,2,1,2}B^2CD^2
\\
&\quad+\binom{5}{0,2,0,3}B^2D^3+\binom{5}{0,1,4,0}BC^4+\binom{5}{0,1,3,1}BC^3D
\\
&\quad+\binom{5}{0,1,2,2}BC^2D^2+\binom{5}{0,1,1,3}BCD^3+\binom{5}{0,1,0,4}BD^4
\\
&\quad+\binom{5}{0,0,5,0}C^5+\binom{5}{0,0,4,1}C^4D+\binom{5}{0,0,3,2}C^3D^2
\\
&\quad+\binom{5}{0,0,2,3}C^2D^3+\binom{5}{0,0,1,4}CD^4+\binom{5}{0,0,0,5}D^5
\\
&=B^5+5B^4C+5B^4D+10B^3C^2+20B^3CD+10B^3D^2+10B^2C^3
\\
&\quad+30B^2C^2D+30B^2CD^2+10B^2D^3+5BC^4+20BC^3D+30BC^2D^2+20BCD^3
\\
&\quad+5BD^4+C^5+5CD^4+10C^3D^2+10C^2D^3+5CD^4+D^5.
\end{aligned}
Les calculs deviennent de plus en plus longs et deviennent de moins en moins compréhensibles. Cela vous indique que cette manière de procéder n’est pas à privilégier.
Comment développer $(A+B+C+D)^5$ ? Seconde idée
Dans le développement précédent, vous constatez l’apparition de coefficients multinomiaux identiques, 1, 5, 10, 20, 30 et même 60. Il semble intéressant d’écrire la somme en factorisant ces nombres, de façon à faire apparaître des sommes symétriques.
L’idée sous-jacente consiste à décomposer 5 l’exposant de $(A+B+C+D)^5$ comme somme de 4 entiers naturels.
$5 = 5+0+0+0$ donne le coefficient multinomial égal à $\frac{5 !}{5!0!0!0 !}=1$,
$5 = 4+1+0+0$ donne celui égal à $5=\frac{5 !}{4!1!0!0 !} = 5$,
$5 = 3+2+0+0$ donne celui égal à $\frac{5 !}{3!2!0!0 !}=10$,
$5 = 3+1+1+0$ donne celui égal à $\frac{5 !}{3!1!0!0 !} = 20$,
$5 = 2+2+1+0$ donne celui égal à $\frac{5 !}{2!2!1!0 !} = 30$,
$5 = 2+1+1+1$ donne celui égal à $\frac{5 !}{2!1!1!1 !} = 60$,
Ainsi :
\begin{aligned}
(A+B+C+D)^5 &= A^5+B^5+C^5+D^5\\
&\quad+5(A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D+AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4)
\\
&\quad+10(A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2+C^3A^2+C^3B^2+C^3D^2+D^3A^2+D^3B^2+D^3C^2)
\\
&\quad+20(A^3BC+A^3BD+A^3CD+B^3AC+B^3AD+B^3CD+C^3AB+C^3AD+C^3BD+D^3AB+D^3AC+D^3BC)
\\
&\quad+30(A^2B^2C+A^2B^2D+A^2C^2B+A^2C^2D+A^2D^2B+A^2D^2C+B^2C^2A+B^2C^2D+B^2D^2A+B^2D^2C+C^2D^2A+C^2D^2B)
\\
&\quad+60(A^2BCD+B^2ACD+C^2ABD+D^2ABC).
\end{aligned}
Attaquez-vous à $A^5+B^5+C^5+D^5$
\begin{aligned}
A^5+B^5+C^5+D^5&=x_1+x_2+y_1+y_2\\
&=\frac{-75+21\sqrt{10}}{125} + \frac{-75-21\sqrt{10}}{125}\\
&\quad+ \frac{225+72\sqrt{10}}{125} + \frac{225-72\sqrt{10}}{125}\\
&=\frac{-150}{125}+\frac{450}{125}\\
&=\frac{300}{125}\\
&=\frac{60}{25}\\
&=\frac{12}{5}.
\end{aligned}
Attaquez-vous à $A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D$
\begin{aligned}
A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{21723471 \sqrt{10} – 68726475 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{6803028 \sqrt{10} – 21414375 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-1144772028\sqrt{10} +3620086425 }{125}}
\\
&\quad+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-21723471 \sqrt{10} – 68726475 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{1144772028\sqrt{10} +3620086425 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-6803028 \sqrt{10} – 21414375 }{125}}
\end{aligned}
Attaquez-vous à $AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4$
\begin{aligned}
AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-2281987971 \sqrt{10} – 7216279875 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-37556404029 \sqrt{10} – 118763777475 }{125}}
+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-712839528 \sqrt{10} – 2254195575 }{125}}
\\
&\quad+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-2281987971 \sqrt{10} – 7216279875 }{125}}
+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{37556404029\sqrt{10} – 118763777475 }{125}}
+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{712839528\sqrt{10} – 2254195575 }{125}}
\end{aligned}
Attaquez-vous à $A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2$
\begin{aligned}
A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{1240029\sqrt{10} – 4428675 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-693279\sqrt{10} – 3007125 }{125}}
+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{3664718721\sqrt{10} – 11588858325 }{125}}
\\
&\quad+…
\end{aligned}
A vous de poursuivre ! Arrivez-vous à conclure ?
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !