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123. Une équation de degré 5

Considérez le nombre $\alpha = \sqrt[5]{\frac{-75+21\sqrt{10}}{125}} + \sqrt[5]{\frac{-75-21\sqrt{10}}{125}}+\sqrt[5]{\frac{225+72\sqrt{10}}{125}} + \sqrt[5]{\frac{225-72\sqrt{10}}{125}}.$
Il va s’agir de montrer que $\alpha$ vérifie une équation de degré 5.

Afin de calculer $\alpha^5$, vous allez poser successivement :

$\left\{\begin{align*}
x_1 &= \frac{-75+21\sqrt{10}}{125}\\
x_2 &= \frac{-75-21\sqrt{10}}{125}\\
y_1 &= \frac{225+72\sqrt{10}}{125}\\
y_2 &= \frac{225-72\sqrt{10}}{125}
\end{align*}\right.$

et

$\left\{\begin{align*}
A &= \sqrt[5]{x_1}\\
B &= \sqrt[5]{x_2}\\
C &= \sqrt[5]{y_1}\\
D &= \sqrt[5]{y_2}
\end{align*}\right.$

de sorte que $\alpha = A+B+C+D.$

Tableaux de calculs

$\begin{align*}
x_1x_2 &=\frac{-75+21\sqrt{10}}{125}\times \frac{-75-21\sqrt{10}}{125} \\
&= \frac{75^2-21^2\times 10}{125^2}\\
&=\frac{5625-4410}{125^2}\\
&=\frac{1215}{125^2}\\
&=\frac{243}{3125}
\end{align*}$

si bien que $\sqrt[5]{\frac{243}{3125}} = \frac{3}{5}.$

Comment développer $(A+B+C+D)^5$ ? Première idée

Les exposants de $A$, $B$, $C$, $D$ doivent avoir une somme égale à $5$.

Le terme $A^aB^bC^cD^d$ apparaît dans la somme autant de fois qu’il est possible de choisir $a$ fois le nombre $A$, $b$ fois le nombre $B$, $c$ fois le nombre $C$ et $d$ fois le nombre $D$. Ce nombre de fois est le coefficient multinomial $\binom{5}{a,b,c,d} = \frac{5 !}{a!b!c!d !}.$

Autrement dit

$\begin{align*}
(A+B+C+D)^5&=\sum_{a+b+c+d=5}\binom{5}{a,b,c,d}A^{a}B^bC^cD^d
\\
&=A^5 + A^4 \sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d
\\
&\quad+ A^3 \sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d + A^2 \sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d
\\
&\quad +A\sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d + \sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d
\\
\end{align*}$

La somme $\sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d$

$\begin{align*}
\sum_{b+c+d=1}\binom{5}{4,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{4,1,0,0}B + \binom{5}{4,0,1,0}C + \binom{5}{4,0,0,1}D
\\
&= 5B+5C+5D.
\end{align*}$

La somme $\sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d$

$\begin{align*}
\sum_{b+c+d=2}\binom{5}{3,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{3,2,0,0}B^2 + \binom{5}{3,1,1,0}BC + \binom{5}{3,1,0,1}BD
\\
&\quad+ \binom{5}{3,0,2,0}C^2+ \binom{5}{3,0,1,1}CD + \binom{5}{3,0,0,2}D^2
\\
&= 20B^2+5BC+5BD+20C^2+5CD+20D^2.
\end{align*}$

La somme $\sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d$

$\begin{align*}
\sum_{b+c+d=3}\binom{5}{2,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{2,3,0,0}B^3 + \binom{5}{2,2,1,0}B^2C + \binom{5}{2,2,0,1}B^2D
\\
&\quad+\binom{5}{2,1,2,0}BC^2+\binom{5}{2,1,1,1}BCD+\binom{5}{2,1,0,2}BD^2
\\
&\quad+\binom{5}{2,0,3,0}C^3+\binom{5}{2,0,2,1}C^2D + \binom{5}{2,0,1,2}CD^2+ \binom{5}{2,0,0,3}D^3
\\
&=10B^3+30B^2C+30B^2D+30BC^2+60BCD
\\
&\quad+30BD^2+10C^3+30C^2D+30CD^2+10D^3.
\end{align*}$

La somme $\sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d$

$\begin{align*}
\sum_{b+c+d=4}\binom{5}{1,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{1,4,0,0}B^4+\binom{5}{1,3,1,0}B^3C+\binom{5}{1,3,0,1}B^3D
\\
&\quad+\binom{5}{1,2,2,0}B^2C^2+\binom{5}{1,2,1,1}B^2CD+\binom{5}{1,2,0,2}B^2D^2
\\
&\quad+\binom{5}{1,1,3,0}BC^3+\binom{5}{1,1,2,1}BC^2D+\binom{5}{1,1,1,2}BCD^2
\\
&\quad+\binom{5}{1,1,0,3}BD^3+\binom{5}{1,0,4,0}C^4+\binom{5}{1,0,3,1}C^3D+
\\
&\quad+\binom{5}{1,0,2,2}C^2D^2+\binom{5}{1,0,1,3}CD^3+\binom{5}{1,0,0,4}D^4
\\
&=5B^4+20B^3C+20B^3D+30B^2C^2+60B^2CD
\\
&\quad+30B^2D^2+20BC^3+60BC^2D+60BCD^2+20BD^3
\\
&\quad+5C^4+20C^3D+30C^2D^2+20CD^3+5D^4.
\end{align*}$

La somme $\sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d$

$\begin{align*}
\sum_{b+c+d=5}\binom{5}{0,b,c,d}B^bC^cD^d &= \binom{5}{0,5,0,0}B^5+\binom{5}{0,4,1,0}B^4C+\binom{5}{0,4,0,1}B^4D
\\
&\quad+\binom{5}{0,3,2,0}B^3C^2+\binom{5}{0,3,1,1}B^3CD+\binom{5}{0,3,0,2}B^3D^2
\\
&\quad+\binom{5}{0,2,3,0}B^2C^3+\binom{5}{0,2,2,1}B^2C^2D+\binom{5}{0,2,1,2}B^2CD^2
\\
&\quad+\binom{5}{0,2,0,3}B^2D^3+\binom{5}{0,1,4,0}BC^4+\binom{5}{0,1,3,1}BC^3D
\\
&\quad+\binom{5}{0,1,2,2}BC^2D^2+\binom{5}{0,1,1,3}BCD^3+\binom{5}{0,1,0,4}BD^4
\\
&\quad+\binom{5}{0,0,5,0}C^5+\binom{5}{0,0,4,1}C^4D+\binom{5}{0,0,3,2}C^3D^2
\\
&\quad+\binom{5}{0,0,2,3}C^2D^3+\binom{5}{0,0,1,4}CD^4+\binom{5}{0,0,0,5}D^5
\\
&=B^5+5B^4C+5B^4D+10B^3C^2+20B^3CD+10B^3D^2+10B^2C^3
\\
&\quad+30B^2C^2D+30B^2CD^2+10B^2D^3+5BC^4+20BC^3D+30BC^2D^2+20BCD^3
\\
&\quad+5BD^4+C^5+5CD^4+10C^3D^2+10C^2D^3+5CD^4+D^5.
\end{align*}$

Les calculs deviennent de plus en plus longs et deviennent de moins en moins compréhensibles. Cela vous indique que cette manière de procéder n’est pas à privilégier.

Comment développer $(A+B+C+D)^5$ ? Seconde idée

Dans le développement précédent, vous constatez l’apparition de coefficients multinomiaux identiques, 1, 5, 10, 20, 30 et même 60. Il semble intéressant d’écrire la somme en factorisant ces nombres, de façon à faire apparaître des sommes symétriques.

L’idée sous-jacente consiste à décomposer 5 l’exposant de $(A+B+C+D)^5$ comme somme de 4 entiers naturels.

$5 = 5+0+0+0$ donne le coefficient multinomial égal à $\frac{5 !}{5!0!0!0 !}=1$,
$5 = 4+1+0+0$ donne celui égal à $5=\frac{5 !}{4!1!0!0 !} = 5$,
$5 = 3+2+0+0$ donne celui égal à $\frac{5 !}{3!2!0!0 !}=10$,
$5 = 3+1+1+0$ donne celui égal à $\frac{5 !}{3!1!0!0 !} = 20$,
$5 = 2+2+1+0$ donne celui égal à $\frac{5 !}{2!2!1!0 !} = 30$,
$5 = 2+1+1+1$ donne celui égal à $\frac{5 !}{2!1!1!1 !} = 60$,

Ainsi :

$\begin{align*}
(A+B+C+D)^5 &= A^5+B^5+C^5+D^5\\
&\quad+5(A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D+AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4)
\\
&\quad+10(A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2+C^3A^2+C^3B^2+C^3D^2+D^3A^2+D^3B^2+D^3C^2)
\\
&\quad+20(A^3BC+A^3BD+A^3CD+B^3AC+B^3AD+B^3CD+C^3AB+C^3AD+C^3BD+D^3AB+D^3AC+D^3BC)
\\
&\quad+30(A^2B^2C+A^2B^2D+A^2C^2B+A^2C^2D+A^2D^2B+A^2D^2C+B^2C^2A+B^2C^2D+B^2D^2A+B^2D^2C+C^2D^2A+C^2D^2B)
\\
&\quad+60(A^2BCD+B^2ACD+C^2ABD+D^2ABC).
\end{align*}$

Attaquez-vous à $A^5+B^5+C^5+D^5$

$\begin{align*}
A^5+B^5+C^5+D^5&=x_1+x_2+y_1+y_2\\
&=\frac{-75+21\sqrt{10}}{125} + \frac{-75-21\sqrt{10}}{125}\\
&\quad+ \frac{225+72\sqrt{10}}{125} + \frac{225-72\sqrt{10}}{125}\\
&=\frac{-150}{125}+\frac{450}{125}\\
&=\frac{300}{125}\\
&=\frac{60}{25}\\
&=\frac{12}{5}.
\end{align*}$

Attaquez-vous à $A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D$

$\begin{align*}
A^4B+A^4C+A^4D+AB^4+B^4C+B^4D&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{21723471 \sqrt{10} – 68726475 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{6803028 \sqrt{10} – 21414375 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-1144772028\sqrt{10} +3620086425 }{125}}
\\
&\quad+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-21723471 \sqrt{10} – 68726475 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{1144772028\sqrt{10} +3620086425 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-6803028 \sqrt{10} – 21414375 }{125}}
\end{align*}$

Attaquez-vous à $AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4$

$\begin{align*}
AC^4+BC^4+C^4D+AD^4+BD^4+CD^4&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-2281987971 \sqrt{10} – 7216279875 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-37556404029 \sqrt{10} – 118763777475 }{125}}
+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-712839528 \sqrt{10} – 2254195575 }{125}}
\\
&\quad+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-2281987971 \sqrt{10} – 7216279875 }{125}}
+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{37556404029\sqrt{10} – 118763777475 }{125}}
+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{712839528\sqrt{10} – 2254195575 }{125}}
\end{align*}$

Attaquez-vous à $A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2$

$\begin{align*}
A^3B^2+A^3C^2+A^3D^2+B^3A^2+B^3C^2+B^3D^2&=\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{1240029\sqrt{10} – 4428675 }{125}}+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{-693279\sqrt{10} – 3007125 }{125}}
+\frac{1}{25}\sqrt[5]{\frac{3664718721\sqrt{10} – 11588858325 }{125}}
\\
&\quad+…

\end{align*}$

A vous de poursuivre ! Arrivez-vous à conclure ?

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