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122. Racine de 2 est irrationnel

Le nombre $\sqrt{2}$ désigne la solution positive de l’équation $x^2=2.$

Vous allez démontrer qu’il n’existe aucun entier relatif $a\in\Z$ et aucun entier naturel non nul $b\in\NN$, tel que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$

Un tel résultat constitue l’irrationalité de $\sqrt{2}.$ Rappelez-vous que l’ensemble $\Q$ des rationnels est défini par $\left\{\frac{u}{v}, u\in\Z, v\in\NN\right\}.$

Raisonnez par l’absurde

Supposez qu’il existe $a\in\Z$ et $b\in\NN$ tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$

L’ensemble $A=\left\{m\in\NN, \exists n\in\Z, \sqrt{2}=\frac{n}{m}\right\}$ est une partie de $\N$, non vide puisque $b\in A.$

Notez $\beta$ le plus petit élément de $A$. Par définition, de $\beta$ qui appartient à $A$, il existe $\alpha\in\Z$ tel que $\sqrt{2}=\frac{\alpha}{\beta}.$ La stricte positivité de $\sqrt{2}$ et de $\beta$ impose $a\in\NN.$

La mise au carré et la multiplication par $\beta^2$ fournit $\alpha^2 = 2\beta^2.$

Quelques inégalités

Comme $\beta > 0$, $\beta^2>0$ donc $2\beta^2 < 4 \beta^2$ d’où $\alpha^2 < 4\beta^2.$ La fonction racine carrée étant strictement croissante, son application fournit $\alpha < 2\beta.$

Dans l’autre sens, $\beta^2< 2\beta^2$ donc $\beta^2 < \alpha^2$ et $\beta < \alpha.$

Et une impossibilité

$\begin{align*}
(2\beta-\alpha)^2 &= 4\beta^2+\alpha^2-4\alpha\beta\\
&= 4\beta^2 + 2\beta^2- 4\alpha\beta\\
&=2(2\beta^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\
&=2(\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\
&=2(\alpha-\beta)^2
\end{align*}$

De ce qui précède, $2\beta – \alpha > 0$ et $\alpha-\beta >0$ donc $2\beta-\alpha = \sqrt{2}(\alpha-\beta)$ et par suite $\sqrt{2} = \frac{2\beta-\alpha}{\alpha-\beta}.$ Vous en déduisez que $\alpha-\beta \in A.$ Or, $\alpha < 2\beta$ donc $\alpha-\beta< \beta.$ Comme $\beta$ est le minimum de $A$, $\alpha-\beta\notin A$ d’où la contradiction.

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