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127. Longueur d’une bissectrice

Comment calculer la longueur d’une bissectrice dans un triangle connaissant la longueur des trois côtés de ce triangle ?

Le calcul vectoriel auquel vous allez ajouter le produit scalaire permettront de répondre. Il existe bien d’autres constructions, très astucieuses, permettant d’obtenir le même résultat, mais elles ne seront pas abordées dans cet article.

Placez-vous dans le contexte avec les notations suivantes : vous considérez un triangle $ABC$ non aplati, dont on note les trois côtés selon les conventions suivantes : $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB.$

06/05/2021 - Triangleabc

Déterminez un vecteur directeur de la bissectrice issue du sommet $A$

Par définition, la bissectrice (intérieure) de l’angle $\widehat{BAC}$ est une droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Le losange constitue la figure de base dans laquelle une bissectrice est rapide à construire.

06/05/2021 - Bissectrice

On appelle vecteur unitaire un vecteur dont la norme est égale à $1$.
Vous considérez les vecteurs unitaires $\vv{u} = \frac{1}{c}\vv{AB}$ et $\vv{v} = \frac{1}{b}\vv{AC}$ et le losange construit à partir de ces deux vecteurs. Dans un losange, les diagonales sont des bissectrices…

Ainsi le vecteur $\vv{u}+\vv{v}$ constitue un vecteur directeur de la bissectrice issue de $A$.

Soit maintenant $D$ le point d’intersection de cette bissectrice avec la droite $(BC).$ Comment calculer la longueur $AD$ ? Une façon de procéder consiste à d’abord calculer le vecteur $\vv{AD}.$

Calculez le vecteur $\vv{AD}$

Le vecteur $\vv{AD}$ est colinéaire au vecteur $\vv{u}+\vv{v}.$ Par conséquent, il existe un nombre réel $k$ tel que $\vv{AD} = k(\vv{u}+\vv{v}) = \frac{k}{c}\vv{AB}+\frac{k}{b}\vv{AC}.$

Pour calculer le nombre $k$, vous allez utiliser le fait que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.

Décomposez le vecteur $\vv{DB}$ sur les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.

$\begin{align*}
\vv{DB} &= \vv{DA}+\vv{AB}\\
&= -\vv{AD}+\vv{AB}\\
&= -\frac{k}{c}\vv{AB}-\frac{k}{b}\vv{AC}+\vv{AB}\\
&= \left(1-\frac{k}{c}\right)\vv{AB}-\frac{k}{b}\vv{AC}.
\end{align*}$

Décomposez le vecteur $\vv{DC}$ sur les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.

$\begin{align*}
\vv{DC} &= \vv{DA}+\vv{AC}\\
&= -\vv{AD}+\vv{AC}\\
&= -\frac{k}{c}\vv{AB}-\frac{k}{b}\vv{AC}+\vv{AC}\\
&= \left(1-\frac{k}{b}\right)\vv{AC}-\frac{k}{c}\vv{AB} \\
&= -\frac{k}{c}\vv{AB} + \left(1-\frac{k}{b}\right)\vv{AC}.
\end{align*}$

Le vecteur $\vv{DB}$ a pour coordonnées $\left(\left(1-\frac{k}{c}\right) ; -\frac{k}{b}\right)$ dans la base $(\vv{AB}, \vv{AC}).$

Le vecteur $\vv{DC}$ a pour coordonnées $\left(-\frac{k}{c} ; \left(1-\frac{k}{b}\right) \right)$ dans la base $(\vv{AB}, \vv{AC}).$

Comme les deux vecteurs $\vv{DB}$ et $\vv{DC}$ sont colinéaires, le déterminant formé par leurs coordonnées est nul.

$\begin{vmatrix}
1-\frac{k}{c} & -\frac{k}{b} \\
-\frac{k}{c} & 1-\frac{k}{b}
\end{vmatrix} = 0$

Mutipliez la première colonne par $c$ et la seconde colonne par $b$, le déterminant est multiplié par $bc$ donc il reste nul.

$\begin{vmatrix}
c-k & -k \\
-k & b-k
\end{vmatrix} = 0$

Permutez la colonne $1$ et la colonne $2$, le déterminant est changé en son opposé et il reste nul.

$\begin{vmatrix}
-k & c-k \\
b-k & -k
\end{vmatrix} = 0$

Remplacez la ligne $2$ par la différence de la ligne $2$ avec la ligne $1$, le déterminant ne change pas et reste nul.

$\begin{vmatrix}
-k & c-k \\
b & -c
\end{vmatrix} = 0$

ce qui fournit $ck-b(c-k)=0$ d’où $k(b+c)=bc$ et $k=\frac{bc}{b+c}.$

Vous en déduisez que :

$\boxed{\begin{align*}
\vv{AD} &= \frac{k}{c}\vv{AB}+\frac{k}{b}\vv{AC} \\
&=\frac{b}{b+c}\vv{AB}+\frac{c}{b+c}\vv{AC}.
\end{align*}}$

Déduisez-en la longueur de la bissectrice que vous recherchez

Les propriétés du produit scalaire fournissent successivement :

$\begin{align*}
AD^2 &=\left(\vv{AD}\right)^2\\
&= \left(\frac{b}{b+c}\vv{AB}+\frac{c}{b+c}\vv{AC}\right)^2\\
&= \frac{b^2}{(b+c)^2}AB^2+\frac{c^2}{(b+c)^2}AC^2+\frac{2bc}{(b+c)^2}\vv{AB}\cdot\vv{AC}\\
&=\frac{b^2c^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2c^2}{(b+c)^2}+\frac{2bc}{(b+c)^2}\times \frac{c^2+b^2-a^2}{2}\\
&=\frac{2b^2c^2+bc(c^2+b^2-a^2)}{(b+c)^2} \\
&= \frac{bc(c^2+b^2+2bc-a^2)}{(b+c)^2}\\
&=\frac{bc((b+c)^2-a^2)}{(b+c^2)}\\
&=\frac{bc(b+c+a)(b+c-a)}{(b+c)^2}
\end{align*}$

Par conséquent $\boxed{AD = \frac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}}.$

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