Pour tout entier naturel $n$, on définit le $n$-ième nombre de Fermat par l’expression $F_n = 2^{2^n}+1.$

Les puissances imbriquées doivent être comprises ainsi : $F_n = 2^{(2^n)}+1.$

Comme $2^5 =32$, le cinquième nombre de Fermat est $F_5 = 2^{32}+1.$

Il ne sera pas expliqué ici comment on peut trouver que $641$ est un bon candidat pour être un diviseur du nombre $F_5.$

Néanmoins, les congruences vous permettront d’obtenir une démonstration du fait que $641$ est effectivement un diviseur du nombre $F_5.$

Calculez $F_5$ modulo $641$

L’idée est de partir de $2^{32} = 2^4 \times 2^{28}$ et de transformer $2^4.$

En effet $641 – 16 = 625$, ce qui s’écrit $641 – 2^4 = 5^4$ avec les puissances.

Utilisez le fait que $2^4 \equiv -5^4 \pmod {641}.$

$\begin{align*}
F_5 &\equiv 2^4 \times 2^{28} + 1 &\pmod {641} \\
&\equiv -5^4 \times 2^{28} + 1 &\pmod {641}\\
&\equiv -(5\times 2^7)^4 + 1 &\pmod {641}\\
\end{align*}$

Or $5\times 2^7 = 10\times 2^6 = 640.$ Le calcul des congruences va être rapide, puisque $640 \equiv -1 \pmod {641}.$

$\begin{align*}
F_5 &\equiv -(640)^4 + 1 &\pmod {641}\\
&\equiv -(-1)^4 + 1 &\pmod {641}\\
&\equiv -1 + 1 &\pmod {641}\\
&\equiv 0. &\pmod {641}\\
\end{align*}$

Concluez

Comme $F_5$ est congru à $0$ modulo $641$, vous déduisez $641 \mid F_5$, donc le cinquième nombre de Fermat n’est pas premier.