La fonction réelle qui va de $\R$ dans $\R\comma$ définie par $\forall x\in\R, f(x) = \cos x$ est $2\pi$-périodique.

Pour des raisons pratiques, vous allez construire une fonction $g$ qui soit $1$-périodique, c’est-à-dire une fonction qui vérifie $\forall x\in\R, g(x+1)=g(x).$

Il suffit de poser $\forall x\in\R, g(x) = \cos (2\pi x).$

Vérifiez que cette fonction convient.

Soit $x\in \R.$

De la même façon, vous construisez la fonction $x\mapsto \sin(2\pi x)$ qui est elle aussi $1$-périodique.

La somme $x\mapsto \cos(2\pi x) + \sin(2\pi x)$ sera aussi $1$-périodique.

Comment construire une fonction non-périodique qui soit somme de deux fonctions périodiques ?

L’idée est d’ajouter une fonction paire de type cosinus avec une fonction impaire de type sinus, de façon à ce que les périodes respectives ne puissent pas être multiples l’une de l’autre.

Le nombre $\sqrt{2}$ apparaît comme un candidat potentiel, étant donné qu’il n’est pas rationnel. Autrement dit, quels que soient les entiers $a\in\Z$ et $b\in\Z^{*}\comma$ vous avez toujours $\sqrt{2}\neq \frac{a}{b}.$ Cela suffit-il ? Vous allez constater que oui.

Vous allez donc définir la fonction $h$ suivante par $\boxed{\forall x\in\R, h(x)=\cos (2\pi x) + \sin(\pi \sqrt{2} x).}$

Montrez que la fonction $h$ n’est pas périodique

Raisonnez par l’absurde en supposant qu’il existe un nombre réel $T$ non nul, tel que $\forall x\in\R, h(x)=h(x+T).$

En prenant $x=0$ vous avez $h(0)=h(T)$ d’où $1 = \cos (2\pi T) + \sin (\pi \sqrt{2} T).$

En prenant $x=-T$ vous avez $h(-T)=h(0)$ d’où $\cos (2\pi T)-\sin(\pi \sqrt{2}T) = 1\comma$ compte tenu de la parité de la fonction $x\mapsto \cos (2\pi x)$ et de l’imparité de la fonction $x\mapsto \sin(\pi \sqrt{2} x).$

Vous avez obtenu les deux relations :

Par somme, il vient $2\cos (2\pi T)= 2$ donc $\cos (2\pi T) = 1.$

Du coup, il existe $k\in\Z$ tel que $2\pi T = 2k\pi$ donc $T = k.$ Comme $T$ est non nul, l’entier $k$ est non nul.

Par soustraction, vous avez $2\sin(\pi \sqrt{2} T) = 0$ donc $\sin(\pi \sqrt{2} T) = 0$ donc il existe $\ell\in\Z$ tel que $\pi \sqrt{2} T = \ell \pi\comma$ du coup $\sqrt{2} T = \ell.$

De ce qui précède vous déduisez $\sqrt{2}\, k = \ell.$

Comme $k$ est non nul, il vient $\sqrt{2} = \frac{\ell}{k}\comma$ ce qui prouve que $\sqrt{2}$ est rationnel. Contradiction.

La fonction $h$ n’est donc pas périodique.

Terminez la démonstration

Il reste à montrer que les fonctions $x\mapsto \cos (2\pi x)$ et $x\mapsto \sin(\pi \sqrt{2} x)$ sont périodiques.

Il a déjà été montré plus haut que la fonction $x\mapsto \cos (2\pi x)$ est $1$-périodique.

Passez à la deuxième fonction.

Soit $x\in \R.$

Cette égalité montre que $x\mapsto \sin(\pi \sqrt{2} x)$ est $\sqrt{2}$-périodique.

Visualisez la fonction $h$

Un tracé de la fonction $h$ est représenté ci-dessous, vous observez l’impossibilité de repérer un motif qui se répète.