Considérez la matrice suivante $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1& 1 & -1\end{pmatrix}.$
Il s’agit de déterminer le polynôme unitaire de plus petit degré annulant une telle matrice.
Calculez les matrices $A^2$ et $A^3$
Via le théorème de Cayley-Hamilton, vous savez que la matrice $A$ est annulée par un polynôme de degré $3.$
Vous calculez donc les puissances de la matrice $A$ jusqu’à un exposant égal à $3$, ce qui aboutit à :
A^2 = \begin{pmatrix}4 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 0\\
1 & -1 & 4
\end{pmatrix}A^3 = \begin{pmatrix}7 & 3 & 9 \\
4 & -2 & 5\\
4 & 6 & -3
\end{pmatrix}.Formez la matrice augmentée
Considérez les matrices $I$, $A$, $A^2$ et $A^3$ que vous écrivez ligne par ligne.
Vous obtenez la matrice suivante :
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 1 & -1 & 1 & 1& 1 & -1\\
4 & 2 & 1 & 1 & 3 & 0 & 1 & -1 & 4 \\
7 & 3 & 9 & 4 & -2 & 5 & 4 & 6 & -3
\end{pmatrix}.Afin de garder la trace à tout instant des opérations qui seront menées, il est commode d’y rajouter la matrice identité, ce qui fournit en tout et pour tout ceci la matrice $B$ suivante :
B = \begin{pmatrix}\begin{array}{ccccccccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 2 & 1 & -1 & 1 & 1& 1 & -1 & 0 &1 & 0 & 0\\
4 & 2 & 1 & 1 & 3 & 0 & 1 & -1 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0\\
7 & 3 & 9 & 4 & -2 & 5 & 4 & 6 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}.Déterminez le degré du polynôme minimal
Il s’agit dans un premier temps de manipuler par des opérations élémentaires sur les lignes de $B$ seulement les deux premières lignes de $B$.
Vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et obtenez la matrice suivante :
B_1 = \begin{pmatrix}\begin{array}{ccccccccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 1 & -2 & 1 & 1& 1 & -2 & -1 &1 & 0 & 0\\
4 & 2 & 1 & 1 & 3 & 0 & 1 & -1 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0\\
7 & 3 & 9 & 4 & -2 & 5 & 4 & 6 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}.Les deux premières lignes vous donnent les coefficients des matrices $I$ et $A-I.$
Montrez que ces deux matrices sont linéairement indépendantes.
Soit en effet deux scalaires $a$ et $b$ tels que $aI + b(A-I) = 0.$
Alors $a\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix} = 0.$
L’identification du premier coefficient en haut à gauche fournit $a=0$ immédiatement.
Puis, l’identification du coefficient de la ligne 1 à la colonne 2 fournit $b=0.$
Les deux matrices $I$ et $A-I$ appartiennent à l’espace vectoriel engendré par les matrices $I$ et $A$, qui est donc de dimension $2.$ Donc les matrices $I$ et $A$ sont linéairement indépendantes. Donc le polynôme minimal de $A$ est de degré supérieur ou égal à $2.$
Effectuez alors l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3-4L_1$ à partir de la matrice $B_1$, qui fournit la matrice $B_2$ suivante :
B_2 = \begin{pmatrix}\begin{array}{ccccccccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 1 & -2 & 1 & 1& 1 & -2 & -1 &1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0\\
7 & 3 & 9 & 4 & -2 & 5 & 4 & 6 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}.Vous effectuez alors l’opération élémentaire suivante $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ qui fournit une nouvelle matrice :
B_3 = \begin{pmatrix}\begin{array}{ccccccccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 1 & -2 & 1 & 1& 1 & -2 & -1 &1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -3 & -1 & 3 & -2 & -1 & -3 & 4 & -2 & -2 & 1 & 0\\
7 & 3 & 9 & 4 & -2 & 5 & 4 & 6 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}.Ce calcul montre que les matrices $I$, $I-A$ et $A^2-2A-2I$ sont linéairement indépendantes.
En effet, soient trois scalaires $a$, $b$ et $c$ tels que $aI+b(I-A)+c(A^2-2A-2I) = 0.$
Cela s’écrit :
$a\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix} + c \begin{pmatrix}0 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & -2 \\ -1 & -3 & -4\end{pmatrix}= 0.$
L’identification du coefficient de la ligne $1$ et de la colonne $1$ fournit $a=0.$
L’identification du coefficient de la ligne $1$ et de la colonne $2$ fournit $b=0.$
L’identification du coefficient de la ligne $1$ et de la colonne $3$ fournit $c=0.$
Par suite, l’espace vectoriel engendré par les matrices $I$, $A$ et $A^2$ contient une famille libre de 3 matrices, donc cet espace vectoriel est de dimension supérieure ou égale à $3$. Par suite, les matrices $I$, $A$ et $A^2$ sont linéairement indépendantes, donc le degré du polynôme minimal est supérieur ou égal à $3.$
Pour continuer, vous effectuez l’opération élémentaire $L_4\leftarrow L_4-7L_1$ depuis la matrice $B_3$ ce qui fournit :
B_4 = \begin{pmatrix}\begin{array}{ccccccccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 1 & -2 & 1 & 1& 1 & -2 & -1 &1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -3 & -1 & 3 & -2 & -1 & -3 & 4 & -2 & -2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 9 & 4 & -9 & 5 & 4 & 6 & -10 & -7 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}.Vous effectuez alors l’opération élémentaire $L_4\leftarrow L_4-3L_2$ ce qui fournit :
B_5 = \begin{pmatrix}\begin{array}{ccccccccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 1 & -2 & 1 & 1& 1 & -2 & -1 &1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -3 & -1 & 3 & -2 & -1 & -3 & 4 & -2 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 3 & 1 & -3 & 2 & 1 & 3 & -4 & -4 & -3 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}.Vous effectuez alors l’opération élémentaire $L_4\leftarrow L_4+L_3$ ce qui fournit :
B_5 = \begin{pmatrix}\begin{array}{ccccccccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 1 & -2 & 1 & 1& 1 & -2 & -1 &1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -3 & -1 & 3 & -2 & -1 & -3 & 4 & -2 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -6 & -5 & 1 & 1
\end{array}\end{pmatrix}.Ce dernier calcul montre que $A^3+A^2-5A-6I = 0$ compte tenu de la dernière ligne.
Notez $P(X) = X^3+X^2-5X-6.$ Ce polynôme est unitaire et est celui de degré minimal annulant la matrice $A.$
Ainsi, c’est le polynôme minimal de $A.$
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