Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ où $n$ désigne un entier naturel non nul, à coefficients dans un corps $\K.$
Supposez qu’il existe une matrice $B$ telle que $AB=I$ où $I$ désigne la matrice identité d’ordre $n.$
Vous allez démontrer que le produit $BA$ est aussi égal à $I$, ce qui établira que $AB=BA=I$ et donc que $A$ est inversible, avec $A^{-1} = B.$
Justifiez l’existence d’un polynôme annulateur de $A$
La matrice $A$ fait partie de l’ensemble des matrices carrées à $n$ éléments, qui est un $\K$-espace vectoriel de dimension $n^2.$ La famille $(I, A, …, A^{n^2})$ est donc liée. D’où l’existence d’un polynôme $P\in\K[X]$ non nul tel que $P(A)=0.$
Vous considérez donc l’ensemble $Q$ des entiers naturels $m$ tels qu’il existe un polynôme de degré $m$ annulant la matrice $A.$ D’après ce qui précède cet ensemble est une partie de $\N$ non vide, donc $Q$ admet un plus petit élément noté $p.$
Vous noterez dans la suite $\pi\in\K[X]$ un polynôme non nul, de degré $p$, tel que $\pi(A)=0.$
Démontrez que la matrice $B$ est un polynôme en $A$
Notez $\pi(X)=\sum_{k=0}^p \alpha_k X^k$, avec $\forall k\in\N, 0\leq k \leq p \implies \alpha_k\in\K.$
Vous avez $0 = \pi(A) = \sum_{k=0}^p \alpha_k A^k.$
Supposez un instant que $p = 0.$ Cela s’écrit $\alpha_0 I = 0$ donc $\alpha_0 = 0.$ Donc $\pi$ est le polynôme nul. Contradiction.
Donc $p\geq 1$ ce qui s’écrit $\alpha_0 I + \sum_{k=1}^p \alpha_k A^k = 0.$
Supposez alors que $\alpha_0 = 0.$
Vous déduisez $0 = \sum_{k=1}^p \alpha_k A^k.$ Multipliez à droite par $B.$
$0 = \sum_{k=1}^p \alpha_k A^kB$ et comme $AB = I$ il vient $0 = \sum_{k=1}^p \alpha_k A^{k-1}.$ Vous avez trouvé un polynôme de degré strictement inférieur à $p$ qui annule la matrice $A.$ Cela ne peut se produire, pour ne pas contredire la définition de $p$, que si ce polynôme est nul. Vous déduisez donc $\forall k\in\N, 1\leq k \leq p \implies \alpha_k = 0.$ Et comme $\alpha_0 = 0$ vous déduisez que $\pi$ est le polynôme nul. Contradiction.
C’est donc que $\alpha_0 \neq 0.$
Du coup, vous déduisez $I = \sum_{k=1}^p \frac{-\alpha_k}{\alpha_0} A^k.$ Multipliez à droite par $B$, vous déduisez $B =\sum_{k=1}^p \frac{-\alpha_k}{\alpha_0} A^{k-1}$ ce qui prouve l’existence d’un polynôme $R\in\K[X]$ tel que $B = R(A).$
Concluez
Comme $AB = I$, vous avez $AR(A) = I.$ Or par commutation de polynômes de matrices, vous avez $R(A)A = I$ ce qui s’écrit $BA = I.$
Prolongement
Pourriez-vous démontrer que, si vous supposez l’existence d’une matrice $B$ carrée telle que $BA = I$, alors vous avez aussi $AB =I$ ?
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